离散傅里叶变换快速算法的研究与MATLAB算法实现

离散傅里叶变换快速算法的研究与MATLAB算法实现1.本文概述快速傅里叶变换（FastFourierTransformation,FFT）是一种将大点数N的离散傅里叶变换（DFT）分解为若干小点的DFT组合的算法。这种分解大大降低了DFT的运算工作量，从而显著提高了其计算速度。由于FFT技术在各个科学技术领域得到广泛应用，它极大地推动了信号处理技术的进步，已成为数字信号处理的强有力的工具。本论文旨在全面叙述各种快速傅里叶变换算法的原理和特点，并基于MATLAB平台实现了这些算法。通过本文的研究，读者将对快速傅里叶变换有更深入的理解，并能够利用MATLAB实现这些算法，为实际的信号处理应用提供有力支持。2.离散傅里叶变换()的推导方法：周期延拓中的搬移通过与e{j2piknN}的卷积来实现。表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。处理后信号的连续时间傅里叶变换是离散函数，仅在离散频率点fkf_0处存在冲激，强度为a_k，其余各点为0。同时，它是周期函数，周期为Nf_0，每个周期内有N个不同的幅值。时域的离散时间间隔（或周期）与频域的周期（或离散间隔）互为倒数。DFT的定义如下：设h(nT_s)是连续函数h(t)的N个抽样值n0,1,ldots,N1，这N个点的宽度为N的DFT为：H(k)sum_{n0}{N1}h(nT_s)e{j2piknN}H(k)是连续频率函数的N个抽样值，k0,1,ldots,N1。DFT的变换核函数为W_Ne{j2piN}，它们具有正交性，即：sum_{k0}{N1}W_N{nk}W_N{mr}Ndelta(nr)h(n)frac{1}{N}sum_{k0}{N1}H(k)W_N{nk}DFT具有周期性和对称性，并且离散谱具有周期性、共轭对称性和幅度对称性。DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，并不要求该序列具有周期性。由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为N、离散间隔为f_0。如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，则重建信号是离散的周期函数，周期为NT_s（对应离散谱的离散间隔的倒数）。3.快速傅里叶变换()算法原理快速傅里叶变换（FastFourierTransform,FFT）是一种用于快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。它通过将DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来提高计算效率。FFT算法的基本思想是在1965年普及的，但它的推导可以追溯到1805年。FFT算法的核心优势在于其能够将计算DFT的复杂度从O(N2)降低到O(NlogN)，其中N为数据大小。这种复杂度的降低使得FFT在工程、科学和数学领域得到广泛应用。例如，在信号处理中，FFT可以用于分析信号的频率成分。FFT算法的基本原理是利用DFT的周期性和对称性，将输入序列分解为越来越小的子序列进行离散傅里叶变换计算，最后将这些子序列的结果合成为完整的N点离散傅里叶变换。这种分解和合成的过程可以通过蝶形运算来实现，蝶形运算包括复数乘法和加法操作。FFT算法有多种变体，其中最著名的是按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。按时间抽取的FFT算法将时域信号序列按偶奇分排，而按频率抽取的FFT算法将频域信号序列按偶奇分排。这些算法都能够有效地减少计算量，提高计算效率。快速傅里叶变换（FFT）算法通过利用DFT的周期性和对称性，将计算DFT的复杂度从O(N2)降低到O(NlogN)，从而实现了对离散傅里叶变换的快速计算。它在信号处理、图像处理、通信等领域具有广泛的应用。4.各种快速傅里叶变换算法的特点按时间抽取的FFT算法（DecimationinTimeFFT）蝶形计算：该算法的基本操作是蝶形计算，包含一次复数乘法和两次复数加法。原位计算：算法可以原位计算，即在输入序列上直接进行计算，不需要额外的存储空间。码位倒置：在计算过程中需要进行码位倒置，即将输入序列按照二进制反转的顺序进行重新排列。按频率抽取的FFT算法（DecimationinFrequencyFFT）蝶形计算：与按时间抽取的FFT算法类似，该算法也使用蝶形计算作为基本操作。基于二进制分解：该算法利用序列长度的二进制表示进行递归分解，因此只适用于序列长度为2的幂的情况。高效的蝶形运算：由于二进制分解的特性，基2FFT算法中的蝶形运算可以非常高效地实现。灵活的基数选择：该算法可以根据序列长度选择不同的基数进行分解，从而在非2的幂的情况下也能应用。自适应性能：通过选择合适的基数，混合基FFT算法可以自适应地调整计算复杂度和存储需求。这些不同的FFT算法在计算效率、存储需求和适用场景上有所差异，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。5.基于的算法实现在这一部分，我们将使用MATLAB编程语言来实现离散傅里叶变换的快速算法。MATLAB提供了丰富的函数和工具箱，使得实现这些算法变得更加简单和高效。我们需要导入必要的MATLAB工具箱，例如信号处理工具箱（SignalProcessingToolbox）。我们可以使用MATLAB的内置函数来生成测试信号，例如使用randn函数生成随机噪声信号。我们将使用MATLAB的fft函数来计算离散傅里叶变换。fft函数可以接受一个时域信号作为输入，并返回其频域表示。我们可以使用不同的参数来控制fft函数的行为，例如设置fft函数的点数（n）和采样频率（Fs）。在实现快速傅里叶变换算法时，我们可以使用蝶形运算（Butterflyoperation）来减少计算量。蝶形运算是一种将输入信号划分为奇偶两部分，并对每一部分进行DFT运算的方法。通过迭代应用蝶形运算，我们可以将N点DFT运算分解为多个小点的DFT运算，从而大大减少计算量。在MATLAB中，我们可以使用循环结构来实现蝶形运算。具体来说，我们可以使用两个嵌套的循环来迭代应用蝶形运算。在外层循环中，我们将输入信号划分为奇偶两部分。在内层循环中，我们将对每一部分进行DFT运算。我们可以使用MATLAB的绘图函数来可视化结果。例如，我们可以使用plot函数绘制时域信号和频域信号的图形，以便更好地理解和分析算法的性能。通过以上步骤，我们可以在MATLAB中实现离散傅里叶变换的快速算法，并使用实际信号进行测试和验证。这将有助于我们深入理解这些算法的原理和应用，并为进一步的研究和开发奠定基础。参考资料：库利－图基快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）是最常见的快速傅里叶变换算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为N=N1N2的DFT分解为长度分别为N1和N2的两个较短序列的DFT，以及与旋转因子的复数乘法。这种方法以及FFT的基本思路在1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey合作发表AnalgorithmforthemachinecalculationofcomplexFourierseries之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。库利－图基快速傅里叶变换算法是将序列长为N的DFT分区为两个长为N/2的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和库利与图基都指出的那样，库利－图基算法也可以用于序列长度N为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管库利－图基算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显示的递归算法改写为非递归的形式。因为库利－图基算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。离散傅立叶变换的复杂度为（可引用大O符号）。快速傅立叶变换的复杂度为，分析可见下方架构图部分，级数为而每一级的复杂度为，故复杂度为。在FFT算法中，针对输入做不同方式的分组会造成输出顺序上的不同。如果我们使用时域抽取（Decimation-in-time），那么输入的顺序将会是比特反转排列（bit-reversedorder），输出将会依序排列。但若我们采取的是频域抽取（Decimation-in-frequency），那么输出与输出顺序的情况将会完全相反，变为依序排列的输入与比特反转排列的输出。我们可以将DFT公式中的项目在时域上重新分组，这样就叫做时域抽取（Decimation-in-time），在这里将会被代换为旋转因子（twiddlefactor）。我们可以将DFT公式中的项目在频域上重新分组，这样就叫做频域抽取（Decimation-in-frequency）。利用库利－图基算法进行离散傅立叶拆解时，能够依需求而以2,4,8…等2的幂次方为单位进行拆解，不同的拆解方法会产生不同层数快速傅里叶变换的架构，基底越大则层数越少，复数乘法器也越少，但是每级的蝴蝶形架构则会越复杂，因此常见的架构为2基底、4基底与8基底这三种设计。2基底-快速傅立叶算法（Radix-2FFT）是最广为人知的一种库利－图基快速傅立叶算法分支。此方法不断地将N点的FFT拆解成两个'N/2'点的FFT，利用旋转因子的对称性借此来降低DFT的计算复杂度，达到加速的功效。而其实前述有关时域抽取或是频域抽取的方法介绍，即为2基底的快速傅立叶转换法。以下展示其他种2基底快速傅立叶算法的连线方法，此种不规则的连线方法可以让输出与输入都为循序排列，但是连线的复杂度却大大的增加。4基底快速傅立叶变换算法则是承接2基底的概念，在此里用时域抽取的技巧，将原本的DFT公式拆解为四个一组的形式：在这里再利用的特性来进行与2基数FFT类似的化减方法，以降低算法复杂度。在库利－图基算法里，使用的基底（radix）越大，复数的乘法与存储器的访问就越少，所带来的好处不言而喻。但是随之而来的就是实数的乘法与实数的加法也会增加，尤其计算单元的设计也就越复杂，对于可应用FFT之点数限制也就越严格。在表中我们可以看到在不同基底下所需的计算成本。在DFT的公式中，我们重新定义x=T,=T，则DFT可重写为=FN‧x。FN是一个N×N的DFT矩阵，其元素定义为ij=WNij(i,j∈)，当N=8时，我们可以得到以下的F8矩阵并且进一步将其拆解。在拆解成三个矩阵相乘之后，我们可以将复数运算的数量从56个降至24个复数的加法。底下是8基底的的SFG。要注意的是所有的输出与输入都是复数的形式，而输出与输入的排序也并非规律排列，此种排列方式是为了要达到接线的最优化。在2/8基底的算法中，我们可以看到我们对于偶数项的输出会使用2基底的分解法，对于奇数项的输出采用8基底的分解法。这个做法充分利用了2基底与4基底拥有最少乘法数与加法数的特性。当使用了2基底的分解法后，偶数项的输出如下所示。以上式子就是2/8基底的FFT快速算法。在架构图上可化为L型的蝴蝶运算架构，如图5所示。为了改进Radix2/8在架构上的不规则性，我们在这里做了一些修改，如下表.。此修改可让架构更加规则，且所使用的加法器与乘法器数量更加减少，如下表所示。在这里我们最小的运算单元称为PE（ProcessElement）,PE内部包含了2/8基底、2/4基底、2基底的运算，简化过的信号处理流程与蝴蝶型架构图可见图6基底的选择越大会造成蝴蝶形架构更加复杂，控制电路也会复杂化。因此ShoushengHe和MatsTorkelson在1996提出了一个2^2基底的FFT算法，利用旋转因子的特性：。而–j的乘法基本上只需要将被乘数的实部虚部对调，然后将虚部加上负号即可，这样的负数乘法被定义为'简单乘法'，因此可以用很简单的硬件架构来实现。利用上面的特性，22基底FFT能用串接的方式将旋转因子以4为单位对DFT公式进行拆解，将蝴蝶形架构层数降到log4N，大幅减少复数乘法器的用量，而同时却维持了2基底蝴蝶形架构的简单性，在性能上获得改进。2^2基底DIFFFT算法的拆解方法如下列公式所述：然后套用CommonFactorAlgorithm（CFA）如上述公式所示，原本的DFT公式会被拆解成多个，而又可分为BF2I与BF2II两个层次结构，分别会对应到之后所介绍的两种硬件架构。一个16点的DFT公式经过一次上面所述之拆解之后可得下面的FFT架构可以看出图6的架构保留了2基底的简单架构，然而复数乘法却降到每两级才出现一次，也就是次。而BF2I以及BF2II所对应的硬件架构如图7：其中BF2II硬件单元中左下角的交叉电路就是用来处理-j的乘法。其中图8下方的为一7比特宽的计数器，而此架构的控制电路相当单纯，只要将计数器的各个比特分别接上BF2I与BF2II单元即可。下表将2基底、4基底与22基底算法做一比较，可以发现22基底算法所需要的乘法气数量为2基底的一半，加法弃用量是4基底的一半，并维持一样的存储器用量和控制电路的简单性。如上所述，22算法是将旋转因子视为一个简单乘法，进而由公式以及硬件上的化简获得硬件需求上的改进。而借由相同的概念，ShoushengHe和MatsTorkelson进一步将旋转因子的乘法化简成一个简单乘法，而化简的方法将会在下面讲解。在2基数FFT算法中的基本概念是利用旋转因子的对称性，4基数算法则是利用的特性。但是我们会发在这些旋转因子的对称特性中出现。─并没有被利用到。主要是因为的乘法运算会让整个FFT变得复杂，但是如果借由近似的方法，我们便可以将此一运算化简为12个加法。我们可以从上式注意到，可以被近似为五个加法的结果，所以就可以被简化为只有六个加法，再算入实部与虚部的计算，总共只需12个加法器就可以运用到此一简化特性。经由与基底类似的推导，并用串接的方式将旋转因子以8为单位对DFT公式进行拆解，基底FFT算法进一步将复数乘法器的用量缩减到log8N，并同时维持硬件架构的简单性。推导的方法与基底相当类似。借由这样的方法，基底能将乘法器的用量缩减到2基底的1/3，并同时维持一样的存储器用量以及控制电路的简单性。离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示离散傅里叶变换是x(n)的频谱(ejω)在上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.如果1（n）和2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=A1(N)+B2(N)式中表明将(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列'(N)=((N))下标n，再将'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性(1)从序列DFT与序列FT之间的关系考虑(k)是对频谱(ejω)在上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在时，那么k的取值就在以外，从而形成了对频谱(ejω)的等间隔采样。由于(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列(2)从DFT与DFS之间的关系考虑。(k)=∑n={0,N-1}x(n)WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数n(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)=xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到(k)则是x(n)的傅里叶变换(ejω)在频率区间上的N点等间隔采样，这里x(n)和(k)都是有限长序列傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度（a）对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT=xa(nT)=x(n),由于(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*Tx（nT）≈1/2π{0,Ωs}(JΩ)*e^jΩnTDω（b）将序列x(n)=xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频域的一个周期中取N个样点，fs=NF0,每个样点间隔为F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为T0=1/F0。因此有Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞}dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT判断系统是否为最小相位系统的简单方法是：如果两个系统的传递函数分子和分母的最高次数都分别是m，n，则频率ω趋于无穷时，两个系统的对数幅频曲线斜率均为－20（n－m）dB/dec但对数相频曲线却不同：最小相位系统趋于－90°（n－m），而非最小相位系统却不这样。根据采样定理，只有当采样频率大于信号最高频率的两倍时，才能避免频域混叠。实际信号的持续时间是有限的，因而从理论上来说，其频谱宽度是无限的，无论多大的采样频率也不能满足采样定理。但是超过一定范围的高频分量对信号已没有多大的影响，因而在工程上总是对信号先进行低通滤波另一方面，DFT得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为F0，即频率分辨力。为了对全部信号进行采样，必须是抽样点数N满足条件从以上两个公式来看，信号最高频率分量fc和频率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，则抽样间隔T就要减小，而FS就要增加，若在抽样点数N不变的情况下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加记录长度内的点数N，在fc和F0给定的条件下，N必须满足在实际中遇到的序列x(n)，其长度往往是有限长，甚至是无限长，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截断为长度为N的有限长序列原序列x(n)的频谱是离散谱线，经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱，就好像使谱线向两边延申，通常将这种是遇上的截断导致频谱展宽成为泄露，泄露使得频谱变得模糊，分辨率降低因截断使主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，成为谱间干扰，这不仅影响频谱分辨率，严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线。N点DFT是在频率区间上对信号的频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散点(k)，且它们之限制为基频F0的整数倍，这部好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮拦，所以称为栅栏效应。减小栅栏效应，可以在时域数据末端增加一些零值点，是一个周期内的点数增加在时域内对信号长度的选择会影响DFT运算的正确性。实际的信号往往是随机的，没有确定的周期，因此在实际中，应经可能估计出几个典型的、带有一定周期性的信号区域进行频谱分析，然后在取其平均值，从而得到合理的结果。图像处理已经成为了当今社会的热门领域，它广泛应用于各个领域，如医学影像、安全监控、数字娱乐等。傅里叶变换是一种重要的数学工具，在图像处理中有着广泛的应用。本文将详细介绍基于傅里叶变换的MATLAB图像处理方法，包括傅里叶变换的基本原理、图像处理基础、基于傅里叶变换的图像处理方法以及实例分析。图像是一种用像素阵列表示的二维函数，其定义在某个空间范围内。图像可以由相机、扫描仪等设备获取，也可以由计算机生成。在图像处理中，我们通常的是像素值的改变，如亮度、对比度、色彩等。常见的图像类型有灰度图像、彩色图像、二进制图像等。傅里叶变换是一种将图像从空间域转换到频率域的数学变换。它将图像分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。通过傅里叶变换，我们可以将图像的空域信息转换为频域信息，这在图像处理中非常有用。在MATLAB中，我们可以使用fft2函数对图像进行傅里叶变换。下面是一个简单的示例：img_fft=fft2(double(img));%对图像进行傅里叶变换基于傅里叶变换的图像处理方法有很多，下面我们介绍几种常见的应用：傅里叶变换可以将图像的噪声从频域移除。通常情况下，我们可以将图像进行傅里叶变换后，滤除高频部分，然后再进行逆傅里叶变换，以达到降噪的效果。img_noise=imnoise(img,'gaussian',0,01);%添加高斯噪声img_fft_noise=fft2(double(img_noise));%对噪声图像进行傅里叶变换img_fft_denoised=img_fft_noise(1:4:end,1:4:end);%滤除高频部分img_denoised=irfft2(img_fft_denoised);%进行逆傅里叶变换傅里叶变换可以将图像的能量集中在低频部分，我们可以只保留低频部分而滤除高频部分，以达到压缩的效果。img_fft=fft2(double(img));%对图像进行傅里叶变换img_fft_low=img_fft(1:4:end,1:4:end);%保留低频部分img_compressed=irfft2(img_fft_low);%进行逆傅里叶变换为了更好地说明傅里叶变换在图像处理中的应用效果，我们举一个简单的例子。假设我们有一张加了高斯噪声的图像，我们先使用傅里叶变换进行降噪，然后对降噪后的图像进行压缩。从上面的结果可以看出，经过傅里叶变换进行降噪后，图像的噪声明显减少，图像质量得到