江西省萍乡市芦溪县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年第一学期期中质量监测试卷

九年级数学

（满分：120分；时间：120分钟）

一、选择题（本大题共6个小题；每小题3分，共18分）。

1.矩形、正方形、菱形都具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线长度相等D.一组对角线平分一组对角

2.若关于x的一元二次方程（租—l）Y+2x—2=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是（）

A.m<—B.m>—C.,且加HlD.m1

222

3.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放

回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

11八11

A.-B.-C.-D.—

64212

4.已知线段AB的长度为2,点C是线段A8的黄金分割点，则AC的长度为（）

D与或且2

C.>/5-1或3-\[5

5.如图，点。为△ABC边上任一点,DE〃BC交AC于点、E,连接BE、CD相交于点F,则下列等

式中不成立的是（）

ADAEDEDFEFAE

A.---=---C”=空D.----

DBEC1BC~~FCBCECBFAC

6.如图，在矩形ABC。中，。为AC中点,EE过。点且AC分别交。。于尸，交AB于E,点G

是AE中点且NAOG=30°,则下列结论正确的个数为（）

第6题

①△OGE是等边三角形；②ZX?=3OG；

③©S=—s^

2AAOEoABCD

A.l个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

,,x2r,3x+2y

7.若一=一，则----

y34y+3x

8.四边形ABC—四边形AB'C'D.若N£)=90°,N?=108°,NC'=92。，则NA=°.

9.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,3。相交于点0,若NAOD=120°,A3=2,则AC的长为

第9题

10.已知孙〃(相是一元二次方程/+%一2023=0的两个实数根，则代数式加2+2胆+〃的值为

11.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有

木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何?”.其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A

往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树

木，则正方形城池的边长为步.

第11题

12.如图，在菱形ABCO中，对角线AC、相交于点。，点E是线段8。上的一个动点，点F为射线

。。上一点，若NABC=6()°,ZAEF=120°,AB=4,则石/可能的整数值是.

第12题

三、解答题(本大题共5个小题，每小题6分，共30分)

13.(1)解方程：x(x-2)=l；

（2）如图，已知AB〃E尸〃8,AO与3C相交于点。.如果C£=6,EB=\S,DF=4,求AO的

第13题(2)

14.如图，N1=N2,=求证：ZvlBC/\AED.

第14题

15.如图，在,ABQD中，对角线AC、BD交于点、0,E是3。延长线上的点，且△ACE是等边三角形.若

ZAED=2/EAD,求证：四边形ABC。是正方形.

第15题

16.2023年五一假期，西安进入全国热门旅游城市榜单，其中位于西安的热门景区一一大唐不夜城更是许多游

客必去的打卡地.大唐不夜城中有以下表演：A、盛唐密盒；8、华灯太白；C、贞观之治；£＞、乐舞长安.小明

和小亮同时在大唐不夜城游玩，在同一时刻他们从四个节目中随机选择一个节目进行观看.

（1）小亮选择盛唐密盒的概率是:

（2）用列表或画树状图的方法求小明和小亮刚好在同一个节目前观看的概率.

17.如图是6x6的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）如图1,在边上找一点P,使得△A3P△C84；

（2）如图2,在边AC上找一点Q,使得AACB.

四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）

18.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成

本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年

销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系.

（I）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设

备的销售单价应是多少万元？

19.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=2BC,E为AO的中点，连接6。，BE,

ZABD=90°.

第19题

（1）求证：四边形BCQE为菱形.

（2）连接AC,若BC=2,求的长.

20.已知关于x的一元二次方程V+2%+左一3=0有实数根.

（1）求实数A的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为玉，x2,若&—1乂入2-1）+石*=15,求k的值.

五、（本大题共2小题，每小题9分共18分）

21.已知，如图所示的四边形ABC。为菱形，AC.BD交于O,AFLBC于F,交BD于点、E.

第21题

(1)求证：ABFE/XDOC；

(2)求证：AD2=-DEDB；

2

（3）过点E作£G_LAb,若DE=2BE,交AB于点G,若菱形A3CO的面积为6百，求EG的长.

22.如图1,在纸片中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,D,E分别是BC,AB边上的动

点，且BE=BD,连接OE,将△8DE沿。E翻折，点3落在点F的位置，连接AE.

B

B

图3

(1)如图2,当点F在AC边上时，求BE的长.

(2)如图3,点。，£在运动过程中，当A尸〃时，求AE的长.

六、(本大题共12分)

23.如图1,已知四边形A8CO是矩形，点E在B4的延长线上，AE=AD.EC与相交于点G,与

相交于点尸，AF^AB.

图1图2

(1)求证：BD工EC；

(2)若AB=1,求AE的长；

(3)如图2,连接AG,求证：EG-DG=y[2AG.

2023-2024学年第一学期期中质量监测九年级数学参考答案

一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)。

1-5BCACC

6.C【解答】解：：EFLAC,点G是AE中点，

OG=AG=GE=-AE,

2

ZAOG=30。，

ZtMG=ZAOG=30°,

Z.GOE=90。-ZAOG=90°-30°=60°,

...△OGE是等边三角形，故①正确；

设AE=2a,则QE=OG=a,

由勾股定理得，AO=7AE2-OE2=y/(2a)2-a2=ga,

•••O为AC中点，

/.AC=2AO=2\f3a,

BC=—AC=—x2\f3a=,

22

在RtZXA5c中，由勾股定理得，AB==3a,

・・•四边形ABC。是矩形，

CD=AB=3a,

：.DC=3OG,故②正确；

•：OG=a,-BC=—a,

22

ABC^-BC,故③错误；

2

..c_1石_G2

-3矩形A8CD=ya，

S矩形438=3a•\[?>a-3\[?>cr

,,^AAOE=TS矩形ABCD,故④正确：

o

综上所述，结论正确的是①②④，共3个.故选：C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

7.-；8.70；9.4；10.2022；11.300：12.2,3,4.

3

12【解答】解：如图，连接CE,

•.•在菱形ABCD中，AB=BC,ZABE=NCBE=30。,BE=BE,

：.AABE2CBE,

AE=CE,

设NOCE=a,ZOAE=a,NA£O=90°—a,

ZDEF=120°-（90°—a）=30。+a,

AEFC=ACDE+/LDEF=30°+30°+a=60°+a,

•••ZECF=ZDCO+ZOCE=600+a,

/ECF=NEFC,

：.CE=EF,

AE=EF,

'：AB=4,ZABE^30°,

...在Rt/XABO中，AO=2,

---OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

AE的长的整数值可能是2,3,4,即砂的长的整数值可能是2,3,4.

故答案为：2»3,4.

三、解答题(本大题共5个小题，每小题6分，共30分)

13.(1)x(x-2)=l,

x2—2x=1,

x2—2x+1=2,

(x—1)~=2，

x-1=±5/2,

解得玉=1+及，=1—V2；3分

RF

(2)-AB//EF//CD,=

CEDF

VCE=6,£3=18,DF=4,

1OAZ7

,解得：AF=12,

64

AD=AF+DF^}2+4=16……6分

14.证明：•••/1=N2,N1+NC4E=N2+NC4£,

即：ZBAC=/EAD,……2分

•••ABAD=ACAE,

•ABAC」公

AEAD

：./XABCAAED,……6分

15.证明：•.•四边形ABC。是平行四边形,

AO=OC,

,/△ACE是等边三角形，

AEO1AC(三线合一)，

即瓦)_LAC,

ABCD是菱形，……2分

AEO1AC,AO=OC,

•••△ACE是等边三角形，ZE4C=60°,

ZAEO=Z.OEC=30°,△AOE是直角三角形,

ZE4O=60°,

NAED=2/EAD,

ZEAD=15°,

：.ZDAO=ZEAO-ZEAD=45°,

•.ZABC。是菱形，

，ABAD=2ADAO=9Q°,

，菱形ABC。是正方形.……6分

16.解：(1)小亮选择盛唐密盒的概率=,；……2分

4

(2)画树状图为：

共用16种等可能的结果，其中小明和小亮刚好在同一个节目前观看的结果数为4种，

41

所以小明和小亮刚好在同一个节目前观看的概率=二……6分

164

17.解：(1)如图所示，点尸即为所求.……3分

(2)如图所示，确定点M,然后连接连接AW交AC于点。，点。即为所求.……6分

图1图2

四、(本大题共3个小题，每小题8分，共24分)

瓜解：⑴设年销售量y与销售单价x的函数关系式为>

将（40,600）、（45,550）代入y=6+6,得:

‘40左+〃=600,仅=一10

\,解得：《,

[45攵+0=550,=1000

...年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000.……3分

(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数量为(-lOx+1000)台,

根据题意得：(x—30乂-10x+l(XX))=l(XXX),……5分

整理，得：%2-130^+4000=0,

解得：玉=50,x2=80.……6分

•••此设备的销售单价不得高于70万元，

x=5().

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

19.(1)证明：•••NAB£>=90°,E是的中点，

/•BE-DE-AE，

•：AD=2BC,

/.BC=DE,

・；AD//BC,

：.四边形8C0E为平行四边形，……2分

BE=DE,

四边形8C0E为菱形；……4分

(2)解：由(1)得：四边形3CDE为菱形，

BC=BE,

•••AD//BC,

：.四边形ABCE为平行四边形，

：ACLBE,

四边形ABCE为菱形，……6分

:.BC=AB=2,AD=2BC=4,

•••ZABO=90°,

BD=yjAD2-AB2=A/42-22=2"……8分

20.W：(1)解：..•一元二次方程/+2%+左一3=0有实数根.

AA>0,即2?—4(%—3)20,

解得ZW4；……3分

(2)•.•关于x的一元二次方程x2+2x+k-3=0的两个实数根分别为当，

/.玉+/=-2,x}x2=k-3t...4分

—])(%2-1)+=15,

**•石&—(玉+W)+1+X；%；=15,

.•.&-3+2+1+(左-3『=15,

解得攵=6或Z=-1,……7分

•：k<4,

/.k=—1...8分

五、（本大题共2小题，每小题9分共18分）

21.（1）证明：•.•四边形A3C。菱形，

/.且BC=OC,

/.NOBC=NODC,

,/AFLBC,：.ZAFB=ZCOD=90°，

:./XBFEADOC；……3分

（2）证明：由（1）得AC_L8。，BO=OD,

:.ZCAE+ZAEC=90°,

•••四边形ABC。是菱形，

/.AD//BC,BD=2OD,

：.AEA.AD即ZEAD=90°=ZCAE+ZOAD,

：.ZAEO=ZOAD,ZAOE=ZAOD=90,

/XAOD4EAD,……5分

.ADED

••----=-----,

ODAD

：.AD?=OD・ED,

：.AD2=-DExBD；……6分

2

（3）解：•.•菱形ABC。面积为6出，AFA.BC,：.AFxBC=6y/3,

,：DE=2BE,：.BE=-BD,：.AE=-AF,

33

设BE=m,则DE=2m,BD=3m,

由（2）得：AD2=-DExBD,:.AD=®n,

2

在RtZ\AO£）中，AD->/3m,OD='m,：.AO=^~m,

22

iion

此时S选形ABC。=万A。•BD=-x垂>mx3m=in2=6乖）,/•tri1=4,

解得：m=2或机=-2（不合题意，舍去），...8分

GEBE

VEGLAE,AD±AF,：.GE//AD,

ADBD

...GE=—.……9分

3

22.（1）BE的长为"；（2）275.

4

解：（1）在RtZXABC中，•；ZACB=90°,AC=8,BC=6,：.AB=>JAC2+BC2=10,

由翻折可知：BE=FE,BD=FD,IBE=BD,：,BE=FE=BD=FD,

，四边形BEFD是菱形，...AB〃。/，，空=生，.•.里=―匚，

DFDC