2023-2024学年北京市怀柔区高二年级上册期末检测数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市怀柔区高二上册期末检测数学

模拟试题

一、单选题

1.若直线的倾斜角为60。，则直线的斜率为()

A.√3B.-√3C.2D.-3

33

【正确答案】A

【详解】因为直线的倾斜角为60。，所以直线的斜率A=tan60=√L故选A.

2.若直线2x+y-l=0与直线x-my=0垂直，贝IJm=()

A.—2B.—C.2D.~

【正确答案】C

【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1,列出方程求解即可.

【详解】•••直线2*+丫-1=0与直线》-m),=。垂直，

/.-2×—=-1(A∕Z≠0)

tn

/.m=2

故选：C

3.已知抛物线C:V=4.y,则焦点坐标为()

A∙GMβ∙(0⅛)C.(1,0)D.(0,1)

【正确答案】D

【分析】根据抛物线的方程直接求出焦点即可.

【详解】由抛物线C:/=分可得其焦点在＞轴上，其焦点坐标为(0,1).

故选:D.

4.若点A(l,2,3),点B(4,T0),且AC=2CB,则点C的坐标为()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

)(

c∙[132'~23'~32]D-[25^123)1

【正确答案】A

【分析】设C(X,y,z),根据AC=2CB列方程组即可求解.

【详解】设C(X,y,z),则Ae=(X—l,y—2,z—3),C⅛=(4-x,T—y,—Z),

x-l=2(4-x)x=3

因为AC=2CB,所以,>-2=2(-l-y),解得y=o.

z-3=2(-z)Z=1

故点。的坐标为(3,0,1).

故选:A.

5.若圆O∣d+y2=/与圆O√(x-2)2+y2=9相内切，则"为()

A.1B.2C.5D.1或5

【正确答案】D

【分析】根究两圆内切满足的圆心距和半径差的关系即可求解.

【详解】圆。I：V+V=产的圆心和半径为α(O,O),r,圆。2：(X—2)2+V=9的圆心和半径

为Q(2,0),R=3,由两圆内切，所以IQQITRfn2=∣3Tnr=I或r=5,

故选：D

6.将单位圆χ2+丁=1上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得

到的曲线方程为()

A.9x2+4∕=1B.-+4/=1

9

D.9X2+-^-=1

c+1

∙TT=4

【正确答案】C

y=3x

【分析】由题意可知：单位圆Y+尸=1经过伸缩变换3-2/将其整理代入圆的方程即

可求解.

【详解】设得到曲线上任意一点(χ',y'),由题意可知：单位圆Y+V=ι经过伸缩变换

_x,

(x,=3xx~3ʌɔ

,C，整理可得：)，又(x,y)在单位圆/+y2=ι上，

I2

所以(!)2+(()2=1，整理变形可得:-+^-=∖,

3294

所以单位圆f+V=I上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得

到的曲线方程为《+t=1,

94

故选.C

2

7.已知双曲线UY—方=1仅>0）的离心率是2,则其渐近线的方程为（）

A.x±y∕3y-OB.>∕3x±y=O

C.x±3y=0D.3x±y=O

【正确答案】B

【分析】根据双曲线的离心率求出b的值，进而可得答案.

【详解】由双曲线C:χ2-/=le>o）可得ɑ=l,c=Ji市，

；.e，=叵=2nb<,

a1

所以双曲线的渐近线方程为y=±,x=±JGx,

即6X±jy=O.

故选：B

8.在长方体ABCo-A耳GR中，AB=√3,BC=Q,AA=L则直线Ael与平面BBCC

内直线所成的角中最小角为（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正确答案】B

【分析】设/是平面88CC内任一直线，”是/的一个方向向量.

当〃/BC或/与BC重合时，NBeA即等于线线角，在RlZV14G中，求出即可；当/与BC

不平行且不重合时.设84=α,BC=b,BBt=c,则｛4涉,c｝可以作为空间向量的一个基底.

则AG=-α+b+c,根据平面向量基本定理以及共线向量可得到/的一个方向向量

4=9+2.设线线角为6»,则CoS6*=kos（AG,叫一..令f=（。"~■],用

1'71√6√2∕∕Z2+1L√6√2∕n2+1）

1万

判别式法求出0≤f≤;,即可得到0≤cos9≤在,从而求出结果.

22

【详解】如图，连接44.

设/是平面BACC内任一直线，”是/的一个方向向量.

①当〃/3C或/与BC重合时，NBCA即等于直线AG和/所成的角.

又BClLABI,BC=∣AB2+BB^=2,

11=√2,AB1y

A8f—

则在RtZ∖A8C中，tanNBCA="U=及；

BC

②当/与3C不平行且不重合时.

设8A=α,BC=b,BBl=c,贝∣J{〃力,。}可以作为空间向量的一个基底,

且Id=G,W=0,H=1,α,瓦(:两两垂直，

贝IJACl=-BA+BC+BBl=-a+b+c,且IAG卜后.

根据平面向量基本定理，可知m∕l,∕∕∈R,n=λBC+μBBγ,显然〃*0,

贝iJ〃=XBC+〃34与向量々BC+BBt共线，

所以％=ABC+8用也是/的一个方向向量.

设机=',贝I]%=mBC+BB∣=mb+c.

设直线和/所成的角为则

AG6,cos0=∣cos(ACI,H1)∣.

-a+b+[mbmb+c=2m∣ACj∣=>∕6,

AC1.n1=c)∙+c)=+1

m2h+c2=2m2所以裙

Iπ11=(ι%b+c)=+1,W=，2+1,

2∕H+1

∖∕6λ∕2m2+1

Z∖22

令/=_2"'+1=4w^~4w+1,整理可得(12r-4)∕√-4m+6f-l=0,

;√6√2wr+l)12/+6

该方程有解，即△=(-4)2-4(⑵-4)(6r-1)=-144(2r2-z)≥0,

Iɔ>774-1

解得0≤f≤-,即04-泮3<—

2<√6√2WJ2+1-2

5

所以04Cosθ≤*.

2

因为qijg,90,CoSe在［0,90］上单调递减,

所以当COSe=立时，夕取最小值为45.

2

又tanZB1C1A=√2>1,即NMGA>45.

综上所述，直线AG与平面BqGC内直线所成的角中最小角为45.

故选：B.

9.在平面内，A、5是两个不同的定点，C是动点，若二二=2,则点C的轨迹为()

DC

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【正确答案】A

【分析】建系设出A、8、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即

可.

【详解】在平面内，A,8是两个定点，C是动点，以AS方向为X正方向，线段AB的中点

为原点，

建立平面直角坐标系，设IABI=2α,

则A(-α,0),B(α,0),设点C的坐标为(苍历，

所以AC=(x+α,y),BC=(x-a,y)

AC

才ACl2C,即

因为=2,

BC

所以(％+4)2+γ2=4(x-0)2÷4y2,即3x2÷3>,2-∖0ax+3a2=0,

化简得［x-g4j+y2=等,

所以点C的轨迹为圆.

故选：A.

10.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三

天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为()

A.C；A；B.C；A：C.C；C；D.C；A；

【正确答案】D

【分析】用分步计数原理.先选出2人安排在第一天，再选出2人安排在后两天，将结果乘

起来即可.

【详解】用分步计数原理.

第一步，从7个人中选2人的负责值班第一天，不同安排方式的种数C；；

第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数A；.

所以，不同安排方式的种数可表示为C；A；.

故选：D.

二、双空题

11.圆χ2+∕-2x=0的圆心为,半径为.

【正确答案】(1,0)1

【分析】先对圆的一般方程进行配方转化为标准方程，从而得到圆心的坐标与半径.

【详解】因为圆f+V-2x=0可化为(X-I)

所以所求圆心为(1,0),半径为L

故(1,0):1.

2

12.设双曲线2-V=I的左右焦点分别是K,F2,点P在双曲线上，则

3'

IIpGHPKll=；若N"弱为直角，则点P的纵坐标的是.

【正确答案】士；

【分析】根据双曲线的方程及定义可求出IIp月ITP乙Il,设P(X再利用向量数量积为

零求解即可.

【详解】由土-y2=1可知α=G,c=2,

3

故IlPKI-IPElI=2α=2√5,K(-2,0),Λ(2,O),

3

设P(X°，%),则由=(χ0+2,y0),f√=(⅞-2,y0)>

因为N^PF?为直角，

所以前∙4P=J⅞2-4+%2=0,

因为----=1'

所以3%2+3-4+%2=4%2-1=0,

解得%=-g或%=g

故2石；i-.

三、填空题

13.过点且与直线Lx+y+l=0平行的直线方程为.

［正确答案］χ+y-ι=o

【分析】根据平行直线系设直线方程为χ+y+c=θ,(c∙Hi),代入(-1,2)即可求解.

【详解】设与与直线/：x+y+i=0平行的直线方程为χ+y+c=0,(c∙Hi),将点(-1,2)代入得

C=T,所以所求方程为χ+yT=0,

故x+y-l=O

14.在(2x-l)'的展开式中，X的系数为.

【正确答案】IO

【分析】写出(2X-1)5展开式的通项为J=(TyX25T∙G∙X5L令5T=1,解出,代入即

可得到结果.

5rr5r

［详解1(2x-l)展开式的通项为Tr+i=C；∙(2x广×(-l)=(-l)×2-∙C;■尸,

/*=0,1,2,3,4,5.

令5-r=l,可得r=4.

所以，X的系数为(T)4χ25Y∙C=10.

故10.

15.数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法

等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线u∕+y2=W+3,(如图所示)，给

①曲线C关于直线y=χ对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都小于夜；

③曲线C围成的图形的面积是2+兀.

其中，正确结论的序号是.

【正确答案】①③

【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，X,y轴对称，当χ≥0,

y≥0时，可得χ2+∕-χ-y=0,可得(X一;所以可得曲线为为圆

心，r=也为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题②③的真

2

假.

【详解】设点A(x,y)在曲线C上，则d+y2=W+∣y∣,Aay)关于直线V=X对称的点

A(y,x),将A(y,x)代入曲线C中得V+x2=3+W,因此A[y,x)在曲线C上，故①正确,

曲线可知曲线关于原点，X,轴对称，

C:/+/=IXl+∣y∣Cy

当x±0,y≥0时，Piw√+y2-χ-γ=θ,可得(x-{∣+卜-£|=3,所以可得曲线为

为圆心，r=*为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为

∣OC∣+r=^+^=√2,曲线C上任意一点到原点的距离都小于或等于血,故命题②错误；

根据对称性可知曲线C围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为√2的正方形的面

积，即夜χTi+4xgχπχ∣1)=2+π,故命题③正确;

故①③

四、解答题

16.在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线y=-2χ上，且与直线χ+y-l=()相切于

点P(2,—1).

⑴求圆M的方程：

(2)若定点A(3,0),点B在圆上，求∣Aδ∣的最小值.

【正确答案】(I)(X-I)?+(尹2)2=2

⑵及

【分析】(1)利用待定系数法设得圆M(X-4y+(y-A)2=产，再根据题意得到关于。涉的

方程，进而求得r,由此得到圆M的方程；

(2)利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可.

【详解】⑴设圆M为(x-ay+(y—4=/，则"(a,。)，半径为,，

因为圆心M(a,b)在直线y=-2x上，所以6=—2”,

因为直线χ+yτ=θ与圆”相切于点P(2,T),所以直线χ+y-i=0与直线PM垂直，

所以即M=1,即空=1,则三空1=1,解得。=1,则6=-2,

a-2a-2

22

所以r=IPMI=λ∕(l-2)+(-2+1)=0,

故圆M为(X-iy+(y+2)2=2.

(2)因为(3—iy+(0+2)2>2,所以点A(3,0)在圆M外，

2

因为MM=λ∕(3-l∕+(0+2)=2√2,

所以IABL“=∣A"∣-r=夜，B∣JIABI的最小值为√L

17.已知抛物线C:/=2"X(P>0)的焦点为F(l,0).

(1)求P的值;

(2)过点/的直线/与抛物线C交于A,8两个不同点，若A3的中点为M(3,-2),求OAB的

面积.

【正确答案】(1)2；

⑵2万

【分析】(1)解]=1，即可得出答案；

(2)点差法求出直线AB的斜率，得到直线/的方程，根据抛物线的定义求出IAB∣=8,根

据点到直线的距离公式求出点。到直线/的距离d,即可求出面积.

【详解】⑴由已知可得，所以P=2.

(2)由(1)知，抛物线的方程为∕=4x.

设力(x∣,y∣),B(¾,J2),则有W=4*1，贝=4々,显然再≠W,

两式作差可得，yι-yl即々).

=4XI-4X2,(χ+%)(y∣-％)=4(χ∣-

因为AB的中点为M(3,-2),所以χ+必=-4,则X-%=-(Xlr2)，

即三巨=-i,所以直线/斜率为τ,此时直线方程为y=-(x-l),即x+y-l=0.

ɪl~x2

[χ+y-l=O

联立/与抛物线的方程2，可得，/+4y-4=0,

[y=4X

Δ=42-4×(^)=32>0,直线与抛物线有两个交点，满足.

所以，直线/方程为χ+y-l=0.

又占+々=6,根据抛物线的定义可知IM=Xl+々+P=8.

点0到直线1的距离d=叱°一,"=冬,

√12+122

所以.OAB的面积S=JXM8∣∙d='x8x变=2√L

21122

18.如图，在长方体ABeD-A用£。中，AB=3,AD=AA=2,点E在A8上，且AE=L

Dl

⑴求直线BG与AC所成角的大小；

(2)求BC1与平面A1EC所成角的正弦值.

【正确答案】(1)90

⑵正

6

【分析】(1)以C为原点，QADc,。A的方向分别为X轴、y轴、Z轴正方向，建立空间

直角坐标系，求出AC,BG=(-2,0,2),利用空间向量的数量积求解直线AC与BG所成角

的余弦值即可.

(2)求出平面AEC的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角

【详解】(1)以。为原点，DA,£)C,£)A的方向分别为X轴、y轴、Z轴正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系.

则A(2,0,2),C(0,3,0),8(2,3,0),G(0,3,2),E(2,l,0),

A1C-BC4-4

所以4C=(-2,3,-2),fiC1=(-2,0,2),所以CoS〈年,3〉=为南=Kfr。，

所以ACLBG,故直线AC与Ba所成角为90.

(2)因为EC=(-2,2,0),AE=(0,l,-2),

∕M∙AE=0,fy-2z=0,

设平面AEC的法向量为加=(x,y,Z),则即,

m-EC=0,1-2x+2y=0.

令y=2,则χ=2,z=l,于是相=(2,2,1),

设BG与平面AEC所成角为6,

则sinθ=∣cos(BC1,πi)∖=

所以Ba与平面AEC所成角的正弦值为也

6

19.如图，四棱锥P-A3CO中，平面皿>，平面ABa>,底面ABCO为直角梯形,

AB=3,CD=AD=2,PA=2下＞.

（2）求平面与平面Per）所成角的大小.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵2

【分析】（1）由题意可得AB〃CO,然后根据线面平行的判定定理即可得到结果；

（2）以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为X轴，），轴，Z轴建立空间直角坐标系，结合

法向量即可求得二面角的大小.

【详解】（1）因为在四棱锥P-ABC。中，ZDAB=ΛADC=^,

所以AB〃CE>,

因为ABU平面R4B,CDeZ平面力3,

所以CZ）〃平面P4B

因为平面Λ4E>J_平面ABC。，且平面尸At)C平面ABCo=AD,

又因为F4_LAQ,所以PA_L平面ABC。，

以点A为坐标原点，分别以AB,4),4P为X轴，，轴，Z轴建立空间直角坐标系A-初z,

则A(O,O,O),P(O,O,2√3),B(3,O,O),P(O,2,O),C(2,2,O),

设平面PCl)的法向量为〃=(X,y,z)

n-CD=O∖-2x=0X=O_

由｛=>ir解得I/r'令z=l,则y=6

n∙PD=O[2y-2√3z=0y=√3z

所以〃=(o,G,ι)

又因为ADJ_平面B4B,平面的一个法向量“7=(0,1,0)

设平面M与平面PCZ)所成角为巴

则ICOSθ∖-∣cos<tn,n>=

∣∕n∣∙∣n∣2

显然二面角为锐角，所以COSe=Y3TT

即e=2

26

所以平面Q48与平面PCz)所成角为ETT

O

22

20.已知椭圆C:£+}=l(稣b>0)的左、右焦点分别为月，F2,且田司=4,Kα=√⅛.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点”的直线/与椭圆C交于A,8两个不同的点，求证：X轴上存在定点P,使得直线RA

与直线P3的斜率之和为零.

22

【正确答案】(1)1+幺=1；

84

(2)证明见解析.

【分析】(I)利用待定系数法求出椭圆C的方程；(2)对直线/的斜率是否存在，进行分类

讨论：当直线/的斜率存在时，设直线∕∙y=%(x+2)设X轴上存在定点Pa0),利用“设而不

求法”表示出总+%i=0,求出P(T,0):再由对称性判断出直线/的斜率不存在时符合题意.

2c=4c=2

22

【详解】(1)由题意可得：7=/+C?,解得:a2=8,所以椭圆C的方程为j+二1.

,C84

a=41bb=2

(2)设Aa,M),8(Λ2,%).

当直线/的斜率存在时，设为人,则直线/.y=Mχ+2)

(29

ɪ+r

-----π----------1

联立84消去y可得.(1+2女2卜2+认2》+跳2-8=0

y=⅛(x+2)

2⅛28⅛2-8

所以Xl+x2=-j^j,xv2=

r∖+2k2

V,—O

设X轴上存在定点p(r,θ),则即A=士;

所以％JX-2"：LO

因为L+G=无+合=0,+k

所以PAPB-GT)(X2T)一，

所以XX(X2-r)+y2(xl-r)=O,即⅛(xl+2)×(x,-∕)+⅛(x,+2)(x1-∕)=0,

整理得：2xlx,+(2-∕)(xt+x,)-4z=0,

所以2'≡⅛+(2τ)-8⅛2

-4/=0,

1+2吃

所以16公一16-16f+8后一4，-8於2=0,解得」=，

即P(TO).

当直线/的斜率不存在时，由对称性可知：A,B关于X轴对称，由P(T,0),可知直线R4