2023-2024学年广东省珠海市斗门一中高二（上）第一次段考数学试卷（含解析）

2023・2024学年广东省珠海市斗门一中高二（上）第一次段考数学试卷

（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在正方体4BCD-&B1C1C1中，BC-DC+AB=（）

A.BDB.而C.ADD.'DA

2.已知向量为=（一1,1,1）,方=（2,m-l,n+1），且dJ.方，则实数m+n=（）

A.—2B.2C.3D.-3

3.某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学

生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高

二年级学生人数为（）

A.18B.20C.22D.30

4.已知应=（1,一2,1）,a+b=（-1,2,-1）.则加等于（）

A.（2,-4,2）B.（-2,4,-2）C.（-2,0,-2）D.（2,1,-3）

5.新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、

历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，则学生甲选

考的科目中包含物理和生物的概率是（）

A-2B1ClD1

6.如图，三棱锥。-ABC中，M,N分别是AB,OC的中点，设耐=a，OB=b,

OC=c＜用心3，0表示而，则而7=()

A.3(—a+b+c)

B.1(a+b-c)

C.I(a-b+c)

D.j(-a-b+c)

7.一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600,另两位员

工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）

A.6800B.7000C.7200D.7400

8.正方体4BCD-&B1GD1的棱长为2,若动点P在线段上运动，则前•方的取值范围是（）

A.[0,4]B.[-4,4]C.[-4,0]D.[0,2]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知空间向量1=(1,-1,2),则下列说法正确的是()

A.|a|=6

B,向量d与向量B=(-2,2,-4)共线

C.向量，关于％轴对称的向量为(1,1,-2)

D.向量益关于yOz平面对称的向量为(-1,1,一2)

10.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若直线/的方向向量为3=(1,0,3),平面a的法向量为元=(一2,0,|),则直线”/a

111

+*

B.若对空间中任意一点0,有0P=4-4-4-OC则P,A,B,C四点共面

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量五=(9,4,一4),b=(1,2,2),则,在彼上的投影向量为(1,2,2)

11.从高一某班抽三名学生参加数学竞赛，记事件4为“三名学生都是女生"，事件B为“三名学生都是男

生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生"，事件。为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是()

A.PQ4)B.事件4与事件B互斥

C.P(C)力P(D)D.事件4与事件C对立

12.为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)，分别为53,57,45,

61,79,49,X,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3,贝"的值可能为()

A.58B.59C.62D.64

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知五=(1,-2,m),h=(-1,2,-1)>若&〃另，则m_.

14.在已知四面体048c中，已知。4、OB、OC两两垂直，且04=3,OB=6,OC=9,若G是△ABC的重

心，则|OG|=.

15.社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为：，|,

则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.

16.已知斗用药是空间单位向量，可遂=瓦.瓦=瓦阳=W，若空间向量日满足五=xe；+ye2(x>0,y>

0),同=4,则五•%的最大值是.

四、解答题(本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题10.0分）

从2名男生（记为A】，4）和2名女生（记为/，4）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可

能性相同）.

（I）请写出该试验的样本空间O；

（II）设事件M为“选到1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率.

（III）若2名男生4,4所处年级分别为高一、高二，2名女生当，外所处年级分别为高一、高二，设事件N为

“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N发生的概率.

18.（本小题12.0分）

已知在四棱锥P—HBCD中，底面4BCD是矩形，且4。=2,AB=1,PA1平面力BCD,E、尸分别是线段48、

BC的中点.

（1）证明：PF1FD；

（2）在线段R4上是否存在点G,使得EG〃平面PFD,若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由.

19.（本小题12.0分）

现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如表:

投资股市：

投资结果获利40%不赔不赚亏损20%

11

概率3

288

购买基金:

投资结果获利20%不赔不赚亏损10%

1

概率P

3q

(1)当p=；时，求q的值；

(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利

的概率大于土求p的取值范围.

20.(本小题12.0分)

俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为

此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组［20,30),第2组

［30,40),第3组［40,50),第4组［50,60),第5组［60,70］,得到的频率分布直方图如图所示.

⑴求样本中数据落在［50,60)的频率；

(2)求样本数据的第50百分位数；

(3)若将频率视为概率，现在要从［20,30)和［60,70］两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取

2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在［20,30)组的概率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：7DC=AB，

：.BC-DC+AB=BC=AD>

故选：C.

利用空间向量的线性运算法则求解.

本题主要考查了空间向量的线性运算，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由日J.B，可得一1x2+1x(m-1)+1x(n+1)=0,

整理得m+n=2.

故选：B.

由向量垂直的坐标关系，列方程即可求解.

本题考查向量垂直的坐标关系，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由分层抽样的定义可知，从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查,

则抽取的高二年级学生人数为6。xI］。。+黑+90。=20.

故选：B.

根据己知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目.

根据空间向量的线性运算，求出向量石的坐标即可.

【解答】

解：•.•方=a+b=(-1,2,-1).

.,.b=a+b—a(—1—1,2—(—2),一1—1)(—2,4,-2)•

故选:B.

5.【答案】B

【解析】【分析】

根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

£1£1£1_1

【解答】解：由题意可得，学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率P

C2C44

故选：B.

6.【答案】D

【解析】解：根据M,N分别是AB,0C的中点可得，MN=-0M+0N=-^(OA+~OB)+^OC=^(-a-

K+c).

故选：D.

结合向量线性运算即可求解.

本题考查向量的线性运算，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：•.•该公司6名员工的月工资分别为6200,6300,6500,7100,7500,7600,

二当其余两名员工的工资分别小于6300时，中位数：(6300+6500)+2=6400,

当其余两名员工的工资分别大于7500时，中位数：(7100+7500)+2=7300,

8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400,7300],

•••8位员工月工资的中位数不可能是7400.

故选：D.

根据中位数的定义，由已知数据确定中位数的范围，由此判断正确选项.

本题考查中位数的定义，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：以后，DC，西所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系，

则。(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,0),B(2,2,0),(0,0,2),

DC=(0,2,0).西=(-2,-2,2)，AB=(0,2,0)-

•・,点P在线段BDi上运动，故可设前=4・西=(一24,-2尢24)，且OS/IS1,

•■AP=AB+BP=(-2A,2-2A,24)，

DC-AP=(0,2,0)•(-22,2-22,22)=4-4A)

••<0<A<1,•••0<4-4Z<4,即比.9e[0,4].

故选：A.

根据图形建立空间直角坐标系，利用向量共线定理引入参数；I，将刀的坐标用;I表示出来,进而表示出配•前,

根据;I的范围求得数量积范围即可.

本题考查空间向量的数量积运算，考查坐标法表示空间向量及空间向量的坐标运算，属中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：对于A,I弓I=>/M+（—1）2+2?=故A正确；

对于B,=—2五，二方与坂=（—2,2,—4）共线，故8正确；

对于C,设益=（1,-1,2）的起点为坐标原点，则该向量的终点为

•••点（1,一1,2）关于x轴对称的点的坐标为（1,1,一2）,

.响量江关于x轴对称的向量为（1,1,一2）,故C正确；

对于D,设日=（1,一1,2）的起点为坐标原点，该向量的终点为（1,一1,2）,

•••（1,一1,2）关于yOz平面对称的点的坐标为（一1,一1,2）,

•响量，关于yOz平面对称的向量为（-1,-1,2）,故。错误.

故选：ABC.

根据向量模的公式，结合共线向量、线对称、面对称逐一判断能求出结果.

本题考查命题真假的判断，考查向量模的公式、共线向量、线对称、面对称等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

10.【答案】CD

【解析［解：选项A,由已知直线/的方向向量为E=（1,0,3）,平面a的法向量为五=（一2,0,|）,

所以3•元=-2+2=0,所以31记，所以直线，ua或，〃a,故A错误；

选项8,因为赤=；市+J而+J灵，74-7+7=7*1.根据空间向量四点共面条件可知，P，A,B,C四

4444444

点不共面，故B错误；

选项C,三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一

个基底，则这两个向量共线，故C正确；

选项力，由五=（9,4,一4）,石=（1,2,2），日在让的投影向量为噌《=里笑・空凶=（1,2,2）,故。正确.

故选：CD.

选项A,因为3•元=0,直线珀勺方向向量3与平面a的法向量记垂直，直线，可能在平面a内，也可能与平面a平

行；选项8,根据空间向量四点共面条件即可判断B；选项C,根据平面向量基底的定义可判断C；选项。，

根据投影向量的公式即可判断£>.

本题主要考查了空间向量的概念及基本运算，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由所抽学生为女生的概率均为今则P(A)=G)34,A正确；

4B两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；

C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为A,。正确；

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与C事件含义相同，故P(C)=

P(D),C错误.

故选：ABD.

由独立乘法公式求P(A),根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、。即可.

本题主要考查互斥事件与对立事件的概念，属于基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79,

若x<57,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,

他们的差为4,不符合条件，

若X279,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,

它们的差为18,不符合条件，

若57<x<79,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和为，

则|%-61|=3,解得x=58或x=64,符合条件.

故选：AD.

先对数据从小到大排序，分XW57,%>79,57<x<79三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，即

可求解.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

13.【答案】1

【解析】解：由,〃b，可设方=tb，BP(1,—2,m)=t(—1,2,—1),

(1=-t

则有，—2=2t,解得m=L

(m=­t

故答案为：1.

由勿不，可设丘=ta再根据坐标关系得方程组，即可求解.

本题考查空间向量平行的坐标表示，属基础题.

14.【答案】V14

【解析】解：根据题意，如图所示，连接4G并延长与8c相交于点D,

由于点G是底面△4BC的重心，则四=|而=索+确=家丽+

0C-2O4).

即。G-04=^(0B+OC-20A),

变形可得：OG=^(OB+0C+0A),

又由。4、OB、0C两两垂直，则瓦？.布=0，OC-OA=0,OBOC=0,

故|附2=g颂+灵+丽2=g而2+1^2+1^-2=I*

故|时=<14.

故答案为：V14.

由三角形重心的性质和向量的三角形法则得出面=9赤+元+瓦5),再由向量模的计算公式计算可得答

案.

本题考查空间向量数量积的应用，涉及向量模的计算，属于基础题.

15.【答案】I

O

【解析】解：由题意知，两人能完成该项任务的概率分别为:，|,且两人是否完成任务是相互独立的,

可得两人都未完成任务的概率为Pl=(l-i).(l-|)=j,

则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为P=1-Pi=10="

OO

故答案为：I.

根据两人是否完成任务之间是相互独立的，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.

本题考查相互独立事件和对立事件的概率计算公式，属基础题.

16.【答案】亨

【解析】解：依题意％,瓦,石是空间单位向量，且五="瓦+y石。>0,y>0),

|五|=|x部+y要|=J(x^+y矽2=Ix2+|xy+y2=4>

所以％2+|%y+y2=16,

-i

则日•瓦=(X否'+y孩)•言=X宕•益+y慈•可=§(x+y),

16=x2+y2+|xy=(x+y)2-^xy>(x+y)2-x(攀/=|(x+y)2)

当且仅当x=y=时等号成立，所以(乂+丫)2324,即久+yW2，^^,

所以丘-e^=^(x+y)<1x2-/~6=

故答案为：号.

直接利用向量的数量积，向量的模的运算，基本不等式的应用求出结果.

本题考查向量的数量积运算，向量的模的运算，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维

能力，属中档题.

17.【答案】解:(I)该实验的样本空间。为{4,&}，{&，&},&,%},{&，丛},{A2,B2),$1，82拱6种

情况，

(II)事件M为“选到1名男生和1名女生”共有4种情况，

则所求事件的概率为好热

DD

(川)事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”共有3种情况，

故所求事件的概率为卜上

OL

【解析】(I)利用列举法即可求解；(H)利用古典概型的概率计算公式即可求解；(111)：利用古典概型的概

率计算公式即可求解.

本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：连接4F,则AF=DF=21

・・・AD=2,

:.AF2+DF2=AD2

・・・AFJLDF,

•・•PA_L平面48C0,

・・・PA1DF9

•・•PAC\AF=A

・•・DF，平面PAF,

...pFu平面PAF,

APF1FD.

(2)解：过点E作E//〃FD,交AD于点H,则EH〃平面PFD,且

再过点H作HG〃DP交P4于点G,则HG〃平面PFD且4G=；4P,

平面GEH〃平面PFD.

•••EGu平面GE”,

•••EG〃平面PFD.

确运用线面垂直，线面平行的判定定理