河北省保定市竞秀区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

河北省保定市竞秀区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

（解析版）

一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题

给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）

1.（3分）近些年来我国基建发展迅质，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天

2.（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

（）

-1012

A.x>-1B.x<-IC.xW2D.-l<x<^2

3.（3分）小明为了计算回ABC。的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示

4.（3分）若包=M（aW6）,则M可以是（）

b

A.a-3B.空ZC.①D.—

b-3b+33b/

5.（3分）如图，已知CDA.BD,若用“血”判定RtZVLBD和RtZ\CDB全等,

则需要添加的条件是（）

6.（3分）对于①x-3p=x（1-3y）,②（x+3）（x-1）=7+2%-3,从左到右的变形，表

述正确的是（）

A.都是因式分解

B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算

D.①是乘法运算，②是因式分解

7.（3分）如图，E尸过I3A8C。对角线的交点。，交4。于点E,交BC于点E下列结论:

①OE=OF；

®ZABC=ZADC；

③△AOEg/XC。。；

@SSABFE—S^ABC.

其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

8.（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：

①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以“，会出现1>2的错误结论;

②如果a>6,c>d,那么一定会得到a--d：

下列判断正确的是（）

A.①②义B.①X,②XC.①②JD.①X,②J

9.（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（)

化简：」2a-3b

a-bb-a

解：原式二」-也生

a-ba-b

=a+2a-3b…①通分

a-b

=纥能…②合并同类项

a-b

=3（a-b）…③提公因式

a-b

=3…④约分

A.①B.②C.③D.@

10.（3分）如图给出了四边形A8CD的部分数据，若使得四边形A8CD为平行四边形，还

需要添加的条件可以是（）

A.BC=3B.CD=2C.BD=5D.BD=3

11.（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中a的度数是（）

C.140°D.150°

12.（2分）如图，直线与的交点坐标为（1,2）,则使不等式上ix+aV

22X+）成立的x取值范围是（)

C.x<2D.x<l

13.（2分）在正方形网格中，M,N,P,。均是格点，/A08的位置如图所示，则到/A08

的两边距离相等的格点是（）

0

A.点MB.点NC.点尸D.点。

14.（2分）在4X4的正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点，老师要求同学们

作边AC上的高.现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，

对于方案I,II,下列说法正确的是（）

①以点B为圆心适当长为半①按如图方式取点P,

径画弧，交AC于点D,E;点P为小正方形的顶点;

②分别以点为圆心，大于②连接BP交边AC于

jDE长为半径画弧，两弧交点Q.

于点F;BQ即为所求.

③链接BF,变边AC于点G.

BG即为所求.

A.I可行、n不可行B.I不可行、I［可行

c.I、II都可行D.I、n都不可行

15.（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人

分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达

电影院.设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（）

1800,2400

-------+4^—

v3

1800240018002400

2

yv

16.（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：

“如图，在aABC中，ZC=30°，点。是AC的中点，OELAC交8c于E；点。在

£»上，OA=OB,OD=2,OE=4",

甲说：CE=12；

乙说：CB=20；

丙说：AAOB为等边三角形；

丁说：过点。作OFLCB,可以求出2F=10.

若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是（）

。二0

A.甲B.乙

C.丙D.四个人都不是卧底

二、填空题（本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.

把答案写在题中横线上）

17.（3分）因式分解：4a2b-h=.

18.（3分）如图，在平面直角坐标系中，将折线ABC向右平移得到折线。EF,则折线

ABC在平移过程中扫过的面积是

19.（4分）如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为a（00<a<90°）且腰长为1

的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正〃边

形.若〃=5,则。=；设所围成的正多边形的周长为c,请写出c与a之间

图②

三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.）

20.（8分）已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和；

（1）列出不等式；

（2）解该不等式，求x的非正整数值.

21.（8分）己知分式A：（-L.-X+2）+上，解答下列问题：

x-22-x

（1）化简分式4

（2）分式A的值能等于-2吗？请说明理由.

22.（8分）发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

验证：（1）9X7+1的结果是哪个正整数的平方？

（2）差为2的两个正整数中，设较小的一个为〃，写出这两个正整数的积与1的和，并

说明和是一个正整数的平方.

延伸：（3）差为4的两个正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a.

23.（8分）如图，四边形A8CD的对角线AC,BZ）交于点。，已知。是AC的中点，AE=

CF,DF//BE.

(1)求证：OD=OB.

(2)求证：四边形ABC。是平行四边形.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(-1,1),B(-4,2),C(-

3,3).

(1)平移△A8C,若点A的对应点A1的坐标为(3,-1),画出平移后的△A1B1C1.

(2)将AABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的△Z!282c2.

(3)已知将△48C1绕某一点旋转可以得到282c2,则旋转中心是.

(4)若将282c2继续平移5个单位得到△43B3c3,点P,。分别是A2c2,83c3的中

桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶

多花12元.

(1)求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？

(2)学校打算按(1)中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾

桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费

用是多少？

26.(14分)八年级同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展了如

下数学探究活动：将两个全等的等腰三角形△ABC(AB=AC)和aAOE(AQ=AE)按

图1所示方式摆放，其中点C和点£＞重合.

图1图2

E

C(D)

①AABC固定不动，将△4OE绕点A逆时针旋转120°,连接BE.过点A作AFA.BE

于点F,如图2所示，则/EBC=°,AF与BE的数量关系

是

②△ABC固定不动，将△4OE绕点4顺时针旋转30°,连接BE,过点A作AELBE于

点尸，如图3所示，求此时NE8C的度数及A尸与BE的数量关系.

(2)当时N8AC=ND4E=90°时，ZiABC固定不动，如图4所示方式摆放.将△ACE

绕点A旋转，连接BE.过点4作A尸，BE于点F.在旋转过程中，当NEBC=15°时,

直接写出AF与BE的数量关系.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题

给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）

1.（3分）近些年来我国基建发展迅质，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天

【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋

转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

【解答】解：4该图不是中心对称图形，故不符合题意；

B.该图是中心对称图形，故符合题意；

C.该图不是中心对称图形，故不符合题意；

D.该图不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的

关键.

2.（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

（）

A.x>-1B.x<-1C.尤<2D.-l<x<W2

【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可.

【解答】解：由数轴知该不等式组的解集为X<-1.

故选：B.

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴得到两个解集的公共部分

是解答此题的关键.

3.（3分）小明为了计算团ABC。的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示

回ABCD的高的是（）

A.BFB.GHC.DED.BD

【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可.

【解答】解：•••从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的

线段叫做平行四边形的高，

由图可知，8。并不垂直于B点的对边C£）,

：.BD不能表示团A8C£>的高，

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点

向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键.

4.（3分）若包=M则M可以是（）

b

A.a-3B.a+3C.至D..

b-3b+33b炉

【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答.

【解答】解：4、包故A不符合题意；

bb-3

B、且#色里，故B不符合题意；

bb+3

C、A=3a；故c符合题意；

b3b

3

D、旦£3_,故。不符合题意；

bb3

故选：c.

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

5.（3分）如图，已知CD1BD,若用“HL”判定RlZVlBO和RtZXCOB全等,

则需要添加的条件是（）

A.AD=CBB.ZA=ZCC.BD=DBD.AB=CD

【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可.

【解答】解：'JABVBD,CDLBD,

：.NAB£）=NCOB=90°,

A.AD=CB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理“L能推出RtZ\AB£＞和Rt

△CDB全等，故本选项符合题意；

B./A=/C,NABD=NCDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理AAS,不

是两直角三角形全等的判定定理，心故本选项不符合题意；

C.NABD=NCDB,BD=DB,不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出RtAABD

和全等，故本选项不符合题意；

D.AB^CD,NABD=/CDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理SAS,不

是两直角三角形全等的判定定理”人故本选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的

关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有

HL笔.

6.（3分）对于①x-3孙=x（1-3y）,②（x+3）（x-1）=xL+lx-3,从左到右的变形，表

述正确的是（）

A.都是因式分解

B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算

D.①是乘法运算，②是因式分解

【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也

叫分解因式）判断即可.

【解答】解：①x-3-=x（1-3），），从左到右的变形是因式分解；

②（x+3）（x-1）=/+2x-3,从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；

所以①是因式分解，②是乘法运算.

故选：C.

【点评】此题考查了因式分解.解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为

几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

7.（3分）如图，EF过12ABe。对角线的交点0,交AD于点E,交BC于点E下列结论:

®0E=0F；

②NABC=NAQC；

③四△C。。；

@S@ABFE=SMBC.

其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】根据平行四边形的性质得到AO=CO,AD//BC,根据全等三角形的性质得到

OE=OF,进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.

【解答】解：：四边形A8C。是平行四边形，

：.A0=C0=1AC,AD//BC,ZABC=AADC,故②正确，

2

：.ZDAO^ZBCA,NAEO=NCFO,

.♦.△AEOdCF。（AAS）,

：.OE=OF；故①正确，

■:MAEgMCFO,

无法得出△AOE彩/XCOD,故③错误，

△AE09XCF0,

S四边形A8FE=Sz^A8C；

故④正确；

故选:B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边

形的性质是解题的关键.

8.（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：

①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以小会出现1>2的错误结论；

②如果c>d,那么一定会得至！Ja--"；

下列判断正确的是（）

A.①J,②XB.①X,②XC.①②JD.①X,②J

【分析】根据不等式的性质分析即可求解.

【解答】解：①不等式a>2a,当a<0时成立，故①错误，

②例如3>2,5>1,则3-5V2-1,故②错误，

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

9.（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（）

化简：」2a-3b

a-bb-a

解：原式=-—+2a-3b

a-ba-b

=a+2a-3b…①通分

a-b

=包曲■…②合并同类项

a-b

=3（a-b）…③提公因式

a-b

=3…④约分

A.①B.②C.③D.④

【分析】根据分式运算的相应的法则进行分析即可.

［解答］解：-2a；3b

a-bb-a

_a2a-3b

―----+-------

a-ba-b

=a+2a-3b…①分式的基本性质

a-b

=纥至…②合并同类项

a-b

=3（a-b）…③提公因式

a-b

=3…④约分

故选：A.

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则.

10.（3分）如图给出了四边形ABC。的部分数据，若使得四边形ABC。为平行四边形，还

需要添加的条件可以是（）

【分析】由,得D4〃BC,由D4=BC=3,可根据“一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABC。是平行四边形，可判断A符合题意；

由D4〃8c可知四边形A8CZ）是平行四边形的条件是D4=BC,而D4=BC的条件是4

AB哈ACDB,而由4B=C£>=2,BD=DB,/C8O不能证明△AB。与△COB

全等，可判断B不符合题意；由BD=DB=5,NADB=NCBD或BD=DB=3,NADB

=NCBQ都不能证明△ABD与△CQ8全等，可判断C不符合题意，。不符合题意，于

是得到问题的答案.

【解答】解：'：ZADB^ZCBD=25°,

：.DA//BC,

*：BC=3,DA=3,

：.DA=BC,

：.四边形ABCD是平行四边形，

符合题意；

"：CD=2,AB=2,

：.AB=CD,

但是，由AB=C。，BD=DB,不能证明△ABD与△CZ）B全等，

与CB不一定相等，

...四边形ABCD不一定是平行四边形，

故B不符合题意；

由8。=。8=5,NADB=NCBD或BD=DB=3,NC83都不能证明△ABD与

△CQB全等，

.♦.4。与C8不一定相等，

•••四边形ABCD不一定是平行四边形，

故C不符合题意，。不符合题意，

故选：A.

【点评】此题重点考查平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，正确理解和运用

平行四边形的判定定理是解题的关键.

11.（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中a的度数是（）

【分析】根据等边三角形的性质解答即可.

【解答】解：：三角形是等边三角形，

.*.Za=540°-60--60°-（180°-70°）-160°=150°.

故选：D.

【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据三角形的邻角互补解答.

12.（2分）如图，直线yi=%ix+a与”=无4+6的交点坐标为（1,2）,则使不等式kix+a<

女”+匕成立的x取值范围是（)

【分析】根据函数的图象和交点的横坐标得出不等式的解集即可.

【解答】解：•.•直线yi=Zix+“与）2=日+方的交点坐标为（1,2）,

•,♦使不等式k\x+a<kix+b成立的x取值范围是%<1,

故选：D.

【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数与一元一次不等式等知识点，

能根据图象得出正确的信息是解此题的关键，用了数形结合思想.

13.（2分）在正方形网格中，M,N,P,。均是格点，NAOB的位置如图所示，则到/AOB

的两边距离相等的格点是（）

A.氤MB.点NC.点尸D.点。

【分析】根据角平分线的性质求解即可.

【解答】解：由图可知，

OA=OB,AM=BM,OM=OM,

CSSS）,

：./AOM=ZBOM,

...点M在/AOB的角平分线上，点P、Q、N不在N4OB的角平分线上

...点M到N40B的两边的距离相等，

故选A.

I---------1—I---------1—I---------1

0

【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

14.（2分）在4义4的正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点，老师要求同学们

作边AC上的高.现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，

对于方案I,II,下列说法正确的是（）

①以点B为圆心适当长为半①按如图方式取点P,

径画弧，交AC于点D,E;点P为小正方形的顶点;

②分别以点为圆心，大于②连接BP交边AC于

长为半径画弧，两弧交

}DE点Q.

于点F;BQ即为所求.

③链接BF,变边AC于点G.

BG即为所求.

A.I可行、H不可行B.I不可行、I［可行

C.I、H都可行D.I、H都不可行

【分析】根据''过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”“网格线的特征”进行判断.

【解答】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行；

方案II是根据网格线的特征作图，故方案II可行；

故选：C.

【点评】本题考查了基本作图，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的

基本做法是解题的关键.

15.（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人

分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达

电影院.设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（）

1800“24001800，2400

A.-----+4=-----B.+4-„

2v3vv3

2v

18002400,18002400,

C.D.

V-2c+4v-3c+4

百V工”

【分析】根据嘉嘉的速度丫米每分钟，嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,可以得到琪琪的速

度，然后根据嘉嘉比琪琪晚4分钟到达电影院，可以得到相应的分式方程.

【解答】解：：嘉嘉的速度为v米/每分钟，嘉嘉和琪琪的速度比是2：3,

琪琪的速度为：包米每分钟，

2

由题意可得：空弛+4=等色，

v包

2

故选：B.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量

关系，列出相应的分式方程.

16.（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：

“如图，在△ABC中，NC=30°，点。是AC的中点，£>E_LAC交8c于E；点。在

EC上，OA=OB,0D=2,0E=4",

甲说：CE=12；

乙说：CB=20；

丙说：△AOB为等边三角形；

丁说：过点。作OFLC8,可以求出BF=10.

若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是（）

C.丙D.四个人都不是卧底

【分析】连接OC,作OFJ_BC于点F,根据含30°的直角三角形的性质求出CE,根据

线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可.

【解答】解：连接。C,作。尸，8c于点尸，

E

O,

由题意得：DE=OD+OE=6,

在Rt^CDE中，ZDCE=30°,

：.CE=2DE=\2,NOEF=60°,所以甲对；

'：AD=DC,EDLAC,

：.OA=OC,

；OA=OB,

：.OB=OC,

,：OFA.BC,

：.CF=FB,

在Rt^OFE中，ZOEF=60°,

：.ZEOF=30°,

:.EF=LOE=2,

2

：.CF=CE-EF=W,

：.CB=20,所以乙对；

；.BE=20-12=8,

.•.BF=aBC=10,所以丁对；

2

在RtACQE中，CE=n,DE=6,由勾股定理可得C£>=6料,

：.AC=2CD=n4?»

过8作BMJ_AC于M点，

VZC=30°,BC=20,

.•.BM=』BC=10,CM=MBM=10如,

2

：.AM=AC-CM=243,

在RtAAfiM中，

由勾股定理可得：AB=d疑2+BM=4夜,

在RtZXC。。中，8=6我，0D=2,

22=4

由勾股定理可得：CO=7CD+D0V7-

:.CO=OA=OB=m，

：.AB=AO=OB,

...△40B为等边三角形，丙对，

故四人都不是卧底，

所以。选项说法正确，

故选：D.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直

平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键

二、填空题(本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.

把答案写在题中横线上)

17.(3分)因式分解：4a-b=b(2a+l)⑵-1).

【分析】先提公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：4a2b-b

=b(4a2-1)

=b(2a+1)(2a-1),

故答案为：b(2a+l)(2a-1).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题

的关键.

18.(3分)如图，在平面直角坐标系中，将折线ABC向右平移得到折线。E凡则折线

A2C在平移过程中扫过的面积是12.

【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形都为平行四边形，然后由

平移过程中扫过的面积=5®ABED+SMBCFE,根据平行四边形的面积公式进行计算即可.

【解答】解：•••折线A8C向右平移得到折线OEF,

四边形ABED和四边形BCFE都为平行四边形，

折线4BC在平移过程中扫过的面积=SEIABED+SmBCFE=40,8E+C0・BE=BE(A0+C0)

=BEMC=[3-(-1)]X12-(-1)]=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查了坐标与图形-平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线

移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同：连接各组对应点的线段平行且相等

是解决问题的关键.

19.(4分)如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为a(00<a<90°)且腰长为1

的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正〃边

形.若〃=5,则a=72。；设所围成的正多边形的周长为c,请写出c与a之间的

【分析】先根据已知条件求出正多边形的边数和一个内角的度数，再由两种求多边形内

角和的方法，列出个等式，变形即可.

【解答】解：•••当〃=5时，正多边形的每个内角都为18°X(5-2)=]08。，两个正方

5

形的两个直角内角、多边形的1个内角与a形成一个周角,

.•.当”=5时，a=360°-90°-90°-108°=72°,

：正多边形的周长为c,边长为1,

正多边形是正c边形，

...正c边形的每个内角为：360°-90°-90°-a=180°-a,

Ac(180-a)=180°(c-2),

360°

c=a

360

故答案为：72：c=°.

ca

【点评】本题主要考查了正多边形的内角和内角和，解题关键是能够根据已知条件判断

正多边形的边数，会用两种方法求多边形内角和.

三、解答题(本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.)

20.(8分)已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和；

(1)列出不等式—(%-3)<2x+l；

-2

(2)解该不等式，求x的非正整数值.

【分析】(1)根据实数x与3的差的一半即为工(x-3),x的2倍与1的和即为2x+l,

2

用不等号连接即可；

(2)根据解一元一次不等式的方法即可得到结论.

【解答】解：(1)根据题意得，1(x-3)<2x+\,

2

故答案为：—(x-3)<2x+l；

2

(2)A(x-3)<2x+l,

2

x-3<4x+2,

x-4x<2+3,

-3x<5,

•\x>一—.

3

・・・x的非正整数值为-1.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意并根据题意建立不等

关系是解题的关键.

21.（8分）已知分式A：（_^-x+2）4-^,解答下列问题：

x-22-x

（1）化简分式4

（2）分式4的值能等于-2吗？请说明理由.

【分析】（1）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可；

（2）先判断，然后令（1）中的结果等于-2,求出相应的x的值，再观察此时x的值是

否使得原分式有意义即可.

【解答】解：⑴（-^-x+2）+上

x-22-x

=4-（x-2）（x-2）•2-x

x-2x

9

=4-x+4x-4.2-~x

x-2x

=-x（x-4）.2-x

x-2x

=x-4；

（2）分式4的值不能等于-2,

理由：令x-4=-2,

解得x=2,

当x=2时，原分式无意义，

分式A的值不能等于-2.

【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

22.（8分）发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

验证：（1）9X7+1的结果是哪个正整数的平方？

（2）差为2的两个正整数中，设较小的一个为〃，写出这两个正整数的积与1的和，并

说明和是一个正整数的平方.

延伸：（3）差为4的两个正偶数，它们的积与常数”的和是一个正整数的平方，求a.

【分析】（1）计算9X7+1,即可求解；

（2）设较小的一个正整数为小那么这两个正整数积与1的和即为（〃+2）Xn+1,计算

即可求解；

（3）设较小的正偶数为兼，计算2%（2Z+4）+a=4必+8k+a=4Ck1+2k+—'）,求出a=4.

4

【解答】解：（1）V9X7+1=64=82,

...9X7+1是8的平方;

(2)和为(〃+2)Xn+1,

,/(〃+2)Xn+l=n2+2n+l=(n+1)2,

...原式为正整数(〃+l)的平方；

(3)设较小的正偶数为2k,

：.2k(2Z+4)+a=4好+8%+“=4(F+2A+旦)，

4

由配方法可知a=4,

原式=4(F+2&+1)=[231)]2,

综上：a—4.

【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，完全平方公式，掌握运算法

则是解题的关键.

23.(8分)如图，四边形A8C。的对角线AC,BQ交于点0,已知。是AC的中点，AE=

CF,DF//BE.

(1)求证：0D=0B.

(2)求证：四边形A8C。是平行四边形.

【分析】(1)由点。是AC中点，得出。4=0C,因为AE=CF,则0E=0F,因为DF

//BE,则N0EB=/0F£),

利用AAS证明△B0E和△Q0F全等即可，

(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.

【解答】(1)证明：••,点。是AC中点，

：.OA=OC,

"：AE=CF,

：.OE=OF,

'：DF//BE,

:.N0EB=N0FD,

在△BOE和△。。尸中,

，ZOEB=ZOFD

，ZBOE=ZDOF-

OE=OF

：./\BOE^/\DOFCAAS),

：.OD=OB,

(2)证明：'：OA=OC,OD=OB,

四边形ABCD是平行四边形.

【点评】此题是平行四边形的判定，主要考查了线段的中点，平行线的性质，全等三角

形的判定和性质，解本题的关键是判断△BOE四△OOF.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△4BC的顶点A(-1,1),8(-4,2),C(-

3,3).

(1)平移△ABC,若点A的对应点4的坐标为(3,-1),画出平移后的△4B1C1.

(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的282c2.

(3)已知将△A181C1绕某一点旋转可以得到4A282c2,则旋转中心是(2,1).

(4)若将282c2继续平移5个单位得到△4383C3,点P,。分别是A2c2,83c3的中

【分析】(1)根据平移的性质即可平移△ABC,利用点A的对应点Ai的坐标为(3,-1),

画出平移后的△481C1；

(2)根据中心对称的性质即可将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°画出旋转后

对应的△A282c2;

(3)根据旋转的性质即可将△4B1G绕某一点旋转可以得到282c2,进而可得旋转

中心；

(4)取A3c3的中点P',尸'为P的对应点，将AA282c2继续平移5个单位得到323c3,

根据点P，。分别是A2c2,B3c3的中点，得P'。为383c3的中位线，利用PQWPP'

+P'。(当且仅当p、P'、。共线时取等号)，即可得尸。的最大值.

【解答】解：(1)如图，△4BICI即为所求；

(2)如图，Z\A282c2即为所求；

(3)如图，旋转中心是。(2,1)；

•.•将282c2继续平移5个单位得到△A3B3c3,

：.PP'=5,

是83c3的中点，

：.P'。为383c3的中位线,

22

♦:PQWPP1+P'Q（当且仅当P、P'、。共线时取等号），

即PQW5+由或

2_

；.P。的最大值是5+运_.

2

故答案为：5+1R.

2

【点评】本题考查了作图-旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的

性质.

25.（12分）为增强学生的环保意识，维护校园环境.某学校购进绿色和蓝色两种分类垃圾

桶，购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾

桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶

多花12%.

（1）求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？

（2）学校打算按（1）中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾

桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费

用是多少？

【分析】（1）设绿色垃圾桶的单价是x元，蓝色垃圾桶的单价是G+12）元，根据购买

绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾桶数量是

购买蓝色垃圾桶数量的2倍，列方程；

（2）设购入。个蓝色垃圾桶，则购入（50-a）个灰色垃圾桶，设两种垃圾桶总费用为

W,求出〃的取值范围，再利用W=-12a+1500解答即可.

【解答】解：（1）设绿色垃圾桶的单价是x元，蓝色垃圾桶的单价是G+I2）元，

依题意得：驷_=2'3",