宁夏银川市六盘山某中学2023届高三三模数学（文）试题（含答案与解析）

宁夏六盘山某中学2023届高三年级第三次模拟考试数学（文科）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置，并将核对后的条形码

贴在答题卡条形码区域内.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书

写，字体工整，笔迹清楚.

3.做答时，务必将答案写在答题卡相应位置上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区

域的答案一律无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

1.已知集合"={＜一'-2,T0,1,2,3,4},'=卜M＞2},则4（）

A.{-4,—3,3,4}B.—2）u（2,+8）

C.{-2,-1,0,1,2}D.[-2,2]

2.已知z=l—2i,且z+应+/?=（）,其中小6为实数，则（）

A.a=l,b=-2B.a=-l,b=2C.a=l,b=2D.ci=—l,b=-2

3.已知命题P：对任意xeR,总有尤2_工+120；q：若则。＜匕.则下列命题为真命题的是

（）

A.B.PLQC.D.PM

4.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女

子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是"今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5

尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（）

卜盘尺10「15「得尺

B.五尺C记尺D.

22

5.若点A/是圆C:x+y-4x=0上的任一点，直线/：%+丁+2=0与无轴、y轴分别相交于A、B两

点，则NM46的最小值为（）

It71兀兀

A.—B.-C.一D.

12436

07

6.已知。=log25,b=log53,c=2-.，则（）

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

7.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，

说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此如图是来

氏太极图，其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机

取一点，则该点落在黑色区域的概率为（）

8.已知奇函数Ax）在R上单调递增，且/（1）=2,则41（x）＜2的解集为（）

A.（0,1）B.[0,1）C.（-1,1）D.（-1,0）

9.已知函数〃x）=2sin（2x-m〕T，以下说法中，正确的是（）

（TTAjrjr

①函数〃尤）关于点正,0对称；②函数“X）在一不，不上单调递增；

（jr27r\

③当无[了彳）时，"X）的取值范围为（一2,0）；

④将函数/（x）的图像向右平移展个单位长度，所得图像对应的解折式为g（x）=2sin2x-l.

A.①②B.②③④C.①③D.②

丫22

10.如图，Ft,6分别为椭圆・+方=1（。＞人＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，P。鸟是面积为4百

的正三角形，则e的值是（）

A.V2-1B.V3-1C.后D.4-2＞/3

11.已知函数/（x）=Asin（ox+o）的部分图象如图所示，其中4＞0,。＞0,一弓＜°＜0.在已知上的条件

2%

下，则下列选项中可以确定其值的量为（）

A.(0B.9C.—D.Asin。

co

12.已知集合"={a"3)=0},N={#|g(0=O}.若存在aeM,匹N,使|a-0<〃，则称

函数/(x)与g(x)互为“〃度零点函数若函数/(x)=e2T—1与函数g(x)=/—ae，互为力度零点函

数，，.则实数”的取值范围为()

fl4

A.

Iee

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为A(2,0),它的一条渐近线方程为y=则双

曲线的标准方程为.

14.设向量，=(2,1),/?=(-1,%),若。工仅一力，则忖=.

15.设S,,是等差数列{4}的前“项和，%=-7,$5=2%,当取得最小值时，〃=.

16.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为.

二、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数

据如下表所示：

文艺节目新闻节目总计

20至40岁401858

大于40岁152742

总计5545100

(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

(2)用分层抽样方法在收看新闻节目观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？

(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.

18.在①^/^=a卜inC+^/§cosC)；(2)<zsinC=csin-^—:@acosC+^c-b,这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在；A3C中，内角A,B,C的对边分别为“，

b.c.已知.

(1)求角A;

(2)若Z?=l,c=3,求3C边上的中线A。的长.

注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.

19.如图，在直角梯形ABCZ)中，AD//BC,AD1CD,四边形CDEF为平行四边形，平面。。防_1平

®ABCDfBC=2AD.

71

(2)若AT>=1,CD=ED=2,NFCD=一，求三棱锥3—AQE的体积.

3

3r

20.已知abwO,曲线/(x)=上f在x=l处的切线方程为6x+力-3=().

a-x

(1)求“，6的值；

(2)证明:当时，/(x)<tanx.

21.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点M(G,后)，N1).

(1)求C方程；

(2)已知点。(3,0),直线/:兀="+〃(〃。3/。0)与。交于4,8两点，且直线斜率之和为

证明：点(，,")在一条定抛物线上.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上

将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；

多答按所答第一题评分.

［选修4一4：坐标系与参数方程］

x=1+cosa

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<.为参数)，直线/:x+y—4-0,以坐

y=1+sina

标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

(2)若直线/°：。=尸(夕eR)与直线/相交于点4,与曲线C相交于不同的两点M，M求

|QM|+|CW|+|Q4|的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知关于x函数/(x)=|2x-2］+|x+3|(xeR).

(1)求关于x的不等式/(%)>7的解集.

(2)若函数“X)的最小值为如且实数“，b满足^+2/=m，求2a+匕的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

1,已知集合尾㈠，-3,-2,-1,0,1,2,3,4},'=卜旧>2},则A3=()

A.{-4,-3,3,4}B.(-<x>,-2)。(2,+00)

C.{-2,-1,0,1,2}D.［-2,2］

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合B,利用交集的定义可求得集合AcB.

【详解】因为5={刈尤|>2}=",<-2或x>2},A={T,—3,—2,-1,0,1,2,3,4},

因此，A8={T,-3,3,4}.

故选：A.

2.已知z=l—2i,且z+应'+/?=0,其中a,6为实数，则()

A.a-l,b--2B.a--1,b-2C.a=l,b=2D,a=-\,b=-2

【答案】A

【解析】

【分析】先算出5,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2i

z+应+b=1-2i+a(l+2i)+b=(1+a+。)+(2a-2)i

由z+a乞+〃=(),结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

l+a+/?=Ofa=1

得《，即《

[2a-2=0[b^-2

故选:A

3.已知命题P：对任意xeR,总有％2_%+120；q：若/</，则。.则下列命题为真命题的是

()

A.F八qB.P人fC.-f>HD.〃人4

【答案】B

【解析】

【分析】先判断命题"，命题q的真假，在判断选项的真假

,1,3

详解】由V—》+1=(》——)2+->0

24

所以命题"真命题

令。=0,。=-1,则/<〃，但是

所以命题。为假命题

故〃为真

故选：B.

4.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女

子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是"今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5

尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布()

【答案】B

【解析】

【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数.

【详解】由题，设每日织布数的数列为｛q｝,则｛4｝为以2为公比的等比数列，

由题知4；得4=康，所以第二天织布尺数为《2=捺'2=郎.

故选：B.

5.若点M是圆。：/+卜2一4》=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A、B两

点，则的最小值为()

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

12436

【答案】A

【解析】

【分析】作出图形，分析可知当直线A"与圆。相切，且切点位于x轴下方时，NM45取最小值，求出

ZOAB.NC4M的大小，可求得的最小值.

【详解】如下图所示：

x

直线/的斜率为-1,倾斜角为——，故？OAB今，

44

圆。的标准方程为(x—2)2+9=4,圆心为C(2,0),半径为厂=2,

易知直线/交x轴于点A(—2,0),所以，|AC|=4,

由图可知，当直线AM与圆C相切，且切点位于x轴下方时，取最小值,

由圆的几何性质可知。AM,且仁加|=2=34。|,贝IJNCAM=4,

26

故/M452NOA5—巴=四一二=E.

64612

故选：A.

6.已知。=log25,b=log53,C=2°,7，则（）

A.h<a<cB.a<c<hC.c<a<hD.h<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】容易得出Iog25>2,log53<l,l<2°7<2,从而得出。，b,c的大小关系.

'.•a=log25>log24=2,

b=log53<log55=1,

1=2°<2°7<21=2，即l<c<2,

所以b<c<a.

故选：D.

7.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，

说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此如图是来

氏太极图，其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机

取一点，则该点落在黑色区域的概率为()

【答案】D

【解析】

【分析】求出大圆，小圆面积，进而求出阴影部分面积，利用几何概型求概率公式得到答案.

【详解】设大圆面积为$,小圆面积邑，则S]=兀、42=16兀，S?=71X12=兀.则黑色区域的面积为

|x(s,-s2)=^,所以落在黑色区域的概率为「邑)=15,

22E32

故选：D

8.已知奇函数AN在R上单调递增，且/⑴=2,则4>(x)<2的解集为()

A.(0,1)B.[0,1)C.(-1,1)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】判断/(力=犷(力奇偶性和单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】令尸(x)=4(x),

依题意/(x)是R上递增的奇函数，

所以尸(一%)=一犷■(一x)=M'(x)=F(x),即F(x)为偶函数，

任取%>x2>0,则/&)>“£)>/(0)=0,

所以尸(%)—)=玉/(与)一w/(工2)>0，

故厂(x)在(0,侄)上递增，在(-8,0)上递减，

由于/⑴=2,所以4(此<2。？(%)<1・〃1)。尸(％)<*1),

所以一1<X<1.

所以必"(x)<2的解集为(—1,1).

故选：C

【点睛】判断函数的奇偶性，可根据奇偶性的定义，判断/(-x)=-/(x)或〃f)=〃x)来确定.

9.已知函数/(x)=2sin(2x-f1-l,以下说法中，正确的是()

(7T|IT7T

①函数/(X)关于点后必对称；②函数“X)在-1彳上单调递增；

③当丁)时，/(x)的取值范围为(—2,0)；

④将函数“X)的图像向右平移展个单位长度，所得图像对应的解折式为g(x)=2sin2x-l.

A.①②B.②③④C.①③D.②

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦函数的性质，解决函数图像的对称中心、单调区间、值域和平移问题.

【详解】由题意可得，

f(.x)=2sin(2x--^1-1,令2%—工=E(keZ),贝ijx=@+eZ),

6212

fl^rrjr\

所以/(X)图像的对称中心为彳+五,-1仅eZ),说法①错误;

71Tl7171兀71

当xw则2x一二£是函数y=2sinx-l单调递增区间，说法②正确;

6'6625626

当时，2%_看€(右看)，所以sin(2x_[Je(_5，l,则/(x)的取值范围为(一2,1],

说法③错误；

将函数/(x)的图像向右平移专个单位长度，所得图像对应的解折式为

g(x)=2sin21一专)一£—l=2sin12x—三卜1,说法④错误.

故选：D

22

10.如图，片，B分别为椭圆、+*=1(4＞人＞0)的左、右焦点，点尸在椭圆上，P。鸟是面积为46

A.72-1B.73-1C.石D.4-273

【答案】B

【解析】

【分析】根据正三角形可得。及点P坐标，将点P代入椭圆方程，可得。，b,进而可得离心率.

由于^。鸟是面积为46的正三角形，

过点P作轴于〃，则b为。工的中点,

的”1V3

Cf

所以yp=—

所以S.POF,=^xc2=4百，解得C=4,

所以「（2,2班）,

解得从=86，/=8百+16,

e——1f

故选：B.

11.已知函数/（x）=Asin（0x+e）的部分图象如图所示，其中4＞0,。＞0,—；＜夕＜0.在已知?的条件

下，则下列选项中可以确定其值的量为（

D.Asincp

【答案】B

【解析】

X,71-6?

【分析】根据函数图象可知，知X,是函数/*）的两个零点，即可得­=一上，利用已知条件即可确定9

玉~（P

的值.

【详解】根据图象可知，函数“X）的图象是由尸Asinox向右平移-义个单位得到的；

由图可知/（%1）=/（%2）=0，利用整体代换可得力玉+8=0,+。=兀，

X,兀一X,（P-------

所以—=一上，若一为已知，则可求得1X2.

不~（P%

Al

故选：B

12.已知集合“={&|/3）=0},N={mg（尸）=0}.若存在aeM,teN,使|。一夕|＜〃,则称

函数/（X）与g（x）互为“«度零点函数若函数/（x）=e2-r-l与函数g（x）=/—aex互为力度零点函

数''.则实数”的取值范围为()

fl412

A.B.e2eJD.

e

【答案】A

【解析】

【分析】由/(x)=e2r—l=0,得x=2,设g(x)=V一ae'=0的解为而，根据函数/(x)=e?-'—1与

函数g(x)=Y一ae*互为“1度零点函数"，由瓜-1<1,得到1</<3,再由无2=ae1转化为

丫2

a\,在xe(l,3)时有解求解.

【详解】解：由/(x)=e2T—l=0,得x=2,

由g(x)=x2-aex=0,得x2=ae'，设其解为厮，

因为函数/(x)=e2r—l与函数g(x)=f_ae'互为"1度零点函数”,

所以%-2|<1,解得1co<3,

r2

由炉=加、，得〃=土，%£(1,3)时有解，

2

令/z(x)哈，

2r-r2

则“(x)=，l<x<3,

当l<x<2时，h'(x)>0,〃(x)单调递增，当2<x<3时，〃⑺<0,力(力单调递减,

41a

所以〃(6皿=〃(2)=/，M1)=9人(3)=/，

(141

所以实数”的取值范围为一,T,

lee-J

故选：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为A(2,0),它的一条渐近线方程为y=则双

曲线的标准方程为.

【答案】--/=1

4-

【解析】

【分析】由双曲线的一个顶点为A(2,0),可得焦点在x轴上，且。=2,根据渐近线方程

求出〃的值即可得双曲线的标准方程

【详解】由双曲线一个顶点为A(2,0),

所以可得双曲线的焦点在x轴上，且。=2,

由双曲线的一条渐近线方程为y=^x

所以2所以匕=1

a2

r2

所以双曲线的标准方程为土■-/=].

4

丫2

故答案为：----)2=1.

4'

14.设向量)=(2,1),b=(-l,x),若aa),则%=.

【答案】50

【解析】

【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解

【详解】人一a=(—3,x—1),由题意得a•(8一a)=0,即-6+x-l=0,得x=7

忖=J1+49=5收

故答案为：5A/2

15.设S,是等差数列｛a,,｝的前n项和，4=-7,另=2%,当\Sn\取得最小值时，〃=.

【答案】8

【解析】

【分析】先利用题给条件求得等差数列｛。,,｝的首项与公差，进而求得|S,J的表达式，再利用单调性去求

|S,J的最小值即可解决.

【详解】等差数列｛4｝中，%=-7,S5=2a-

a｝+d=-7d=3

则《,解之得s，则。〃=3〃-13,

5。1+104=2a]4=-10

llo.〃(一10+3〃—13)||3/23、

则6，|=-―2---------|=|-»(«-y)

23

当1<〃<一，〃wN即1W〃W3,〃eN时，|S,J单调递增；

6

当一<n<一，即4<〃<7,〃£NB寸，单调递减；

63

23

当〃27，即〃28,时，|Sj单调递增，

3393

又图=闻=1（）,冈=向7*（7-亍）=7,冈=回8、（8—丁=4,

则当|S,J取得最小值时，〃=8.

故答案为：8.

16.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为.

侧视图

【答案】20万

【解析】

【分析】作出原几何体的直观图，找出该几何体的外接球球心，计算出外接球的半径，结合球体体积公式

可得结果.

【详解】由三视图还原原几何体如下图所示，由图可知，原几何体为三棱锥P-ABC,

且平面PAC，平面ABC,

取AC的中点。，连接P。、8。，则AD=CO=K，BD=PD=3,

由三视图可知8D_LAC,PD1AC,

QBDcPD=D,则AC,平面P3D,

由勾股定理可得A8=6C=B4=PC=J?M=26=AC，

则ABC、ZXB4c均为正三角形，

因为平面PACJ_平面ABC,平面PAC。平面ABC=AC,PDA.AC,PDu平面尸AC,

平面ABC,

（35。（=平面48。，二尸。，加，

过一ABC的外心E在平面PBD内作EO，8D,

过△PAC的外心/在平面PBO内作FOLPD,设EOIFO=O,

因为AC_L平面P5D,£0（=平面正皮），则£O_LAC，

因为EOLBO,AC8。=。，.•.E0,平面ABC,同理，FO_L平面PAC，

所以，。为三棱锥P—4BC的外接球球心，

因为£为等边_A3C的外心，则力E=」BO=1,同理。尸=1,

3

在平面P8/）内，因为OEJ.DF,DE上DF，OEA.DE,DE=DF，

所以，四边形。奴才'为正方形，所以，OF=DE=1,

因为PF=PD—DF=2，所以，OP=Jo。？+pF=也，

因此，该几何体外接球的表面积为4万-OP2=20%.

故答案为：207r.

二、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数

据如下表所示：

文艺节目新闻节目总计

20至40岁401858

大于40岁152742

总计5545100

（1）由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.

【答案】（1）有关（2）3

⑶3

5

【解析】

【分析】（1）通过数据的直观分析即可得到结论；

（2）利用分层抽样的方式进行抽取即可求解；

（3）通过列举法举出所有的取法，和恰有1名观众年龄为20至40岁的取法，即可求解

【小问1详解】

因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新

闻节目.所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.

【小问2详解】

273

应抽取大于40岁的观众人数为一x5=—x5=3（名）

455

【小问3详解】

用分层抽样方法抽取的5名观众中,20至40岁有2名（记为X，公），大于40岁有3名（记为4,4,4）,5名观

众中任取2名洪有io种不同取法：

设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”.

则A中的基本事件有6种：KA，K4，XA，NA占4泻4,

故所求概率为尸（A）=^=|.

18.在①6〃=。卜足。+百cos。）；②asinC=csin'；0；③acosC+；c=。，这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在cABC中，内角A,B,C的对边分别为“，

h,c.已知.

（1）求角A；

⑵若b=l,c=3,求BC边上的中线A。的长.

注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.

【答案】(1)任选一个，答案均为？

(2)反.

2

【解析】

【分析】(1)选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商数关系求得A；

选②，由正弦定理化边为角，由诱导公式、二倍角公式变形可求得A;

选③，由余弦定理化角为边，再由余弦定理求得A;

(2)在△A5O和，A0D中分别应用余弦定理后相加可得AO.

【小问1详解】

选①6b=a卜inC+Geos,

由正弦定理得GsinB=sinA(sinC+geosC)，

V3sin(A+C)=sinAsinc+v3sinAcosC>

5/3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+A/3sinAcosC，

x/3cosAsinC=sinAsinC>三角形中sinCwO,所以tanA=J^,又Ae(0,〃)，

TT

所以A=§；

、咫/^\.厂BC

选②。sinC=csin-------

2

由正弦定理得sinAsinC=sinCsin—=sinCcos—,三角形中sinCwO,

22

AAAAA1

所以2sin—cos—=cos—,又三角形中cos—。0,所以sin—=—，Ae（0,^）,

222222

A7T71

所以一=一,即A=w；

263

选③acosC+L=b，

2

由余弦定理得~—+-c=b,整理得加+,2-/=oc，

2b2

所以cosA="+c2-/=J,,而4e（（）,〃），A=fL.

2bc23

小问2详解】

由（1）a2=b2+c2-2Z?ccosA=l+9-2xlx3cos—=7,〃=近，

由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD-CDcosZCDA

c2=AD2+BD2-2AD-BDcosABDA，又BD=CD,cosZCDA=-cosZBDA,

所以。2+/=2AD?+BO?+CD2=2A£>2+J,

2

所以A£>2=L（1+9_，X7）=U,AO=巫.

2242

19.如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ADLCD,四边形CDEF为平行四边形，平面。。上尸_1平

jElABCD,BC=2AD.

（1）证明：DF1，平面ABE；

71

（2）若AD=1，CD=ED=2,ZFCD=-,求三棱锥6-ADE的体积.

3

【答案】（1）证明见解析

（2）显

3

【解析】

【分析】（1）连接CE交。产于点”，取3E的中点G,连接AG,G",根据条件证明四边形AO"G为平

行四边形，然后得到。/AG即可；

（2）取C£＞的中点为。，连接0尸，依次证明。尸，平面ABC。、E产〃平面ABC。，然后可求出点E

到平面A8CO的距离，然后根据匕一A°E=算出答案即可.

【小问1详解】

B

证明：连接CE交DF于点H，取砥的中点G,连接AG,G",

因为四边形CO所为平行四边形，所以〃为CE的中点，

所以GH〃BC,GH=>BC,

2

因为AD〃BC，BC=2AD,所以GH〃AD,GH=AD,

所以四边形AO”G为平行四边形，所以DH//AG,即0f7/AG,

因为AGu平面AfiE,平面ME,所以力平面ABE,

【小问2详解】

取CO的中点为0,连接O尸，

71

因为cr>=皮>=2,ZFCD=-,所以一CDF为等边三角形，

所以。尸=百，0F1CD,

因为平面CDEF±平面ABCD,平面CDEF|平面ABCD=CD,O产u平面CDEF,

所以OE_L平面ABCD,所以点尸到平面ABCD的距离为,

因为EF//CD,所2平面A8C。，。。<=平面48。。，

所以E/〃平面ABCQ,

所以点E到平面ABCD的距离为OF=B

因为ABC。是直角梯形，AD//BC,ADLCD,AO=1，CD=2,

所以S"o=g.AZ)C£)=l,

所以匕ADE=VEABD=—x1x6=.

B-ADEt,—AHL)3^3

3r

20.已知就wO,曲线/(%)=——7在x=l处的切线方程为6x+勿—3=().

a—x''

(1)求a,b的值；

(2)证明：当工£(0,1］时，/(%)<tanx.

【答案】(1)a=3,b=-2

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据切点和斜率求得

(2)化简/(x)<tanx,利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【小问1详解】

3-3

由题可知/(1)=——=——，即匕=l-a.

a-1b

3(a-x2)+6x23a+3x2，〃八3a+36

又/*)=二7-;一不，所以尸(])=1一^=一工，

(a-x2)(a-x2)(«-1)b

a—3

解得《，即a=3]=—2.

匕=一2

【小问2详解】

3Y

/(%)=——xe(O,l],

3-r

—々，3xsinx

要证f(x)<tanx,-----<----,

3—xcosx

只需证3sinx-3xcosx-x2sinx>0»

令g(x)=3sinx-3XCOSX-X2sinx，

则g'(x)=3cosx-3cosx+3xsinx-2xsinx-x2cosx=x(sinx-xcosx),

令/z(x)=sinx—xcosx.xe(0,1],则hr(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx>0,

所以〃(x)在(0,1]上单调递增，所以以工)>人(0)=0,即g'(x)>(),

所以g(x)在(0J上单调递增，则g(x)>g(0)=0,即当XE(0,1]时，/(x)<tanx.

21.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点N(瓜-1).

(1)求C的方程；

(2)已知点0(3,0),直线/:尤=9+〃(〃。3/。0)与。交于4,5两点，且直线QAQB的斜率之和为

证明：点(/,〃)在一条定抛物线上.

22

【答案】(1)L+2_=I

93

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可;

22

(2)设直线ZM,DB的斜率分别为占，k2,A(x，y),B(x2,y2).将x="+〃代入土-+匕=1,得

93

(t2+3)/+2/町+1-9=0,匕+&=3)2=0,根据韦达定理化简得〃=2/+3即可解决.

【小问1详解】

依题意设C的方程为px2+qy2=1,

因为C经过点N(J8-

P

3〃+2g=19

所以《；「解得

6〃+q=1£

q

3

22

故C的方程为二+二二1.

93

【小问2详解】

证明：设直线的斜率分别为匕，k2,4(%,%),8(看,%).

将x=(y+〃代入匕+2_=1,得(/+3)/+2my+/-9=0.

93'八

由题设可知八=12(3/一〃2+9)>0,y+%=-'%%=〃，一；'

所以女+女=X।%)1(£—3)+)，2(内一3)_.\")，2+〃―3)+)，2(5+〃-3)

12

x1-3x2-3(xj-3)(X2-3)-3)(3+〃-3)

=2与%+(〃_3)(y+乂)=1

/弘必+«〃-3)(乂+%)+("3)'t'

所以/,%一(“一3)2=。,

所以『^|一("-3)2=(〃-3)产^|一(〃-3)=0.

因为"片3,

所以产背：一(〃-3)=0,

所以〃=2/2+3,

故点&〃)在抛物线y=2/+3上，即点&〃)在一条定抛物线上.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上

将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分;

多答按所答第一题评分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

元=］+COSCC

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《.（戊为参数），直线