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文档简介
宁夏六盘山某中学2023届高三年级第三次模拟考试数学(文科)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置,并将核对后的条形码
贴在答题卡条形码区域内.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书
写,字体工整,笔迹清楚.
3.做答时,务必将答案写在答题卡相应位置上,写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区
域的答案一律无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.
1.已知集合"={<一'-2,T0,1,2,3,4},'=卜M>2},则4()
A.{-4,—3,3,4}B.—2)u(2,+8)
C.{-2,-1,0,1,2}D.[-2,2]
2.已知z=l—2i,且z+应+/?=(),其中小6为实数,则()
A.a=l,b=-2B.a=-l,b=2C.a=l,b=2D.ci=—l,b=-2
3.已知命题P:对任意xeR,总有尤2_工+120;q:若则。<匕.则下列命题为真命题的是
()
A.B.PLQC.D.PM
4.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女
子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”译文是"今有一女子很会织布,每日加倍增长,5天共织5
尺,问每日各织布多少尺?”,则该女子第二天织布()
卜盘尺10「15「得尺
B.五尺C记尺D.
22
5.若点A/是圆C:x+y-4x=0上的任一点,直线/:%+丁+2=0与无轴、y轴分别相交于A、B两
点,则NM46的最小值为()
It71兀兀
A.—B.-C.一D.
12436
07
6.已知。=log25,b=log53,c=2-.,则()
A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a
7.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,一年气象图将二十四节气配以太极图,
说明一年之气象,来氏认为“万古之人事,一年之气象也,春作夏长秋收冬藏,一年不过如此如图是来
氏太极图,其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的,若在大圆内随机
取一点,则该点落在黑色区域的概率为()
8.已知奇函数Ax)在R上单调递增,且/(1)=2,则41(x)<2的解集为()
A.(0,1)B.[0,1)C.(-1,1)D.(-1,0)
9.已知函数〃x)=2sin(2x-m〕T,以下说法中,正确的是()
(TTAjrjr
①函数〃尤)关于点正,0对称;②函数“X)在一不,不上单调递增;
(jr27r\
③当无[了彳)时,"X)的取值范围为(一2,0);
④将函数/(x)的图像向右平移展个单位长度,所得图像对应的解折式为g(x)=2sin2x-l.
A.①②B.②③④C.①③D.②
丫22
10.如图,Ft,6分别为椭圆・+方=1(。>人>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,P。鸟是面积为4百
的正三角形,则e的值是()
A.V2-1B.V3-1C.后D.4-2>/3
11.已知函数/(x)=Asin(ox+o)的部分图象如图所示,其中4>0,。>0,一弓<°<0.在已知上的条件
2%
下,则下列选项中可以确定其值的量为()
A.(0B.9C.—D.Asin。
co
12.已知集合"={a"3)=0},N={#|g(0=O}.若存在aeM,匹N,使|a-0<〃,则称
函数/(x)与g(x)互为“〃度零点函数若函数/(x)=e2T—1与函数g(x)=/—ae,互为力度零点函
数,,.则实数”的取值范围为()
fl4
A.
Iee
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴,且它的一个顶点为A(2,0),它的一条渐近线方程为y=则双
曲线的标准方程为.
14.设向量,=(2,1),/?=(-1,%),若。工仅一力,则忖=.
15.设S,,是等差数列{4}的前“项和,%=-7,$5=2%,当取得最小值时,〃=.
16.如图所示为某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为.
二、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数
据如下表所示:
文艺节目新闻节目总计
20至40岁401858
大于40岁152742
总计5545100
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应抽取几名?
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
18.在①^/^=a卜inC+^/§cosC);(2)<zsinC=csin-^—:@acosC+^c-b,这三个条件中任选
一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在;A3C中,内角A,B,C的对边分别为“,
b.c.已知.
(1)求角A;
(2)若Z?=l,c=3,求3C边上的中线A。的长.
注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答进行计分.
19.如图,在直角梯形ABCZ)中,AD//BC,AD1CD,四边形CDEF为平行四边形,平面。。防_1平
®ABCDfBC=2AD.
71
(2)若AT>=1,CD=ED=2,NFCD=一,求三棱锥3—AQE的体积.
3
3r
20.已知abwO,曲线/(x)=上f在x=l处的切线方程为6x+力-3=().
a-x
(1)求“,6的值;
(2)证明:当时,/(x)<tanx.
21.已知中心为坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆C经过点M(G,后),N1).
(1)求C方程;
(2)已知点。(3,0),直线/:兀="+〃(〃。3/。0)与。交于4,8两点,且直线斜率之和为
证明:点(,,")在一条定抛物线上.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上
将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;
多答按所答第一题评分.
[选修4一4:坐标系与参数方程]
x=1+cosa
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为<.为参数),直线/:x+y—4-0,以坐
y=1+sina
标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线/和曲线C的极坐标方程;
(2)若直线/°:。=尸(夕eR)与直线/相交于点4,与曲线C相交于不同的两点M,M求
|QM|+|CW|+|Q4|的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知关于x函数/(x)=|2x-2]+|x+3|(xeR).
(1)求关于x的不等式/(%)>7的解集.
(2)若函数“X)的最小值为如且实数“,b满足^+2/=m,求2a+匕的最大值.
参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.
1,已知集合尾㈠,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},'=卜旧>2},则A3=()
A.{-4,-3,3,4}B.(-<x>,-2)。(2,+00)
C.{-2,-1,0,1,2}D.[-2,2]
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合B,利用交集的定义可求得集合AcB.
【详解】因为5={刈尤|>2}=",<-2或x>2},A={T,—3,—2,-1,0,1,2,3,4},
因此,A8={T,-3,3,4}.
故选:A.
2.已知z=l—2i,且z+应'+/?=0,其中a,6为实数,则()
A.a-l,b--2B.a--1,b-2C.a=l,b=2D,a=-\,b=-2
【答案】A
【解析】
【分析】先算出5,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】z=l-2i
z+应+b=1-2i+a(l+2i)+b=(1+a+。)+(2a-2)i
由z+a乞+〃=(),结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,
l+a+/?=Ofa=1
得《,即《
[2a-2=0[b^-2
故选:A
3.已知命题P:对任意xeR,总有%2_%+120;q:若/</,则。.则下列命题为真命题的是
()
A.F八qB.P人fC.-f>HD.〃人4
【答案】B
【解析】
【分析】先判断命题",命题q的真假,在判断选项的真假
,1,3
详解】由V—》+1=(》——)2+->0
24
所以命题"真命题
令。=0,。=-1,则/<〃,但是
所以命题。为假命题
故〃为真
故选:B.
4.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女
子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”译文是"今有一女子很会织布,每日加倍增长,5天共织5
尺,问每日各织布多少尺?”,则该女子第二天织布()
【答案】B
【解析】
【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列,根据前5项和得第二天织布数.
【详解】由题,设每日织布数的数列为{q},则{4}为以2为公比的等比数列,
由题知4;得4=康,所以第二天织布尺数为《2=捺'2=郎.
故选:B.
5.若点M是圆。:/+卜2一4》=0上的任一点,直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A、B两
点,则的最小值为()
兀兀兀兀
A.—B.-C.-D.一
12436
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形,分析可知当直线A"与圆。相切,且切点位于x轴下方时,NM45取最小值,求出
ZOAB.NC4M的大小,可求得的最小值.
【详解】如下图所示:
x
直线/的斜率为-1,倾斜角为——,故?OAB今,
44
圆。的标准方程为(x—2)2+9=4,圆心为C(2,0),半径为厂=2,
易知直线/交x轴于点A(—2,0),所以,|AC|=4,
由图可知,当直线AM与圆C相切,且切点位于x轴下方时,取最小值,
由圆的几何性质可知。AM,且仁加|=2=34。|,贝IJNCAM=4,
26
故/M452NOA5—巴=四一二=E.
64612
故选:A.
6.已知。=log25,b=log53,C=2°,7,则()
A.h<a<cB.a<c<hC.c<a<hD.h<c<a
【答案】D
【解析】
【分析】容易得出Iog25>2,log53<l,l<2°7<2,从而得出。,b,c的大小关系.
'.•a=log25>log24=2,
b=log53<log55=1,
1=2°<2°7<21=2,即l<c<2,
所以b<c<a.
故选:D.
7.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,一年气象图将二十四节气配以太极图,
说明一年之气象,来氏认为“万古之人事,一年之气象也,春作夏长秋收冬藏,一年不过如此如图是来
氏太极图,其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的,若在大圆内随机
取一点,则该点落在黑色区域的概率为()
【答案】D
【解析】
【分析】求出大圆,小圆面积,进而求出阴影部分面积,利用几何概型求概率公式得到答案.
【详解】设大圆面积为$,小圆面积邑,则S]=兀、42=16兀,S?=71X12=兀.则黑色区域的面积为
|x(s,-s2)=^,所以落在黑色区域的概率为「邑)=15,
22E32
故选:D
8.已知奇函数AN在R上单调递增,且/⑴=2,则4>(x)<2的解集为()
A.(0,1)B.[0,1)C.(-1,1)D.(-1,0)
【答案】C
【解析】
【分析】判断/(力=犷(力奇偶性和单调性,由此求得不等式的解集.
【详解】令尸(x)=4(x),
依题意/(x)是R上递增的奇函数,
所以尸(一%)=一犷■(一x)=M'(x)=F(x),即F(x)为偶函数,
任取%>x2>0,则/&)>“£)>/(0)=0,
所以尸(%)—)=玉/(与)一w/(工2)>0,
故厂(x)在(0,侄)上递增,在(-8,0)上递减,
由于/⑴=2,所以4(此<2。?(%)<1・〃1)。尸(%)<*1),
所以一1<X<1.
所以必"(x)<2的解集为(—1,1).
故选:C
【点睛】判断函数的奇偶性,可根据奇偶性的定义,判断/(-x)=-/(x)或〃f)=〃x)来确定.
9.已知函数/(x)=2sin(2x-f1-l,以下说法中,正确的是()
(7T|IT7T
①函数/(X)关于点后必对称;②函数“X)在-1彳上单调递增;
③当丁)时,/(x)的取值范围为(—2,0);
④将函数“X)的图像向右平移展个单位长度,所得图像对应的解折式为g(x)=2sin2x-l.
A.①②B.②③④C.①③D.②
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质,解决函数图像的对称中心、单调区间、值域和平移问题.
【详解】由题意可得,
f(.x)=2sin(2x--^1-1,令2%—工=E(keZ),贝ijx=@+eZ),
6212
fl^rrjr\
所以/(X)图像的对称中心为彳+五,-1仅eZ),说法①错误;
71Tl7171兀71
当xw则2x一二£是函数y=2sinx-l单调递增区间,说法②正确;
6'6625626
当时,2%_看€(右看),所以sin(2x_[Je(_5,l,则/(x)的取值范围为(一2,1],
说法③错误;
将函数/(x)的图像向右平移专个单位长度,所得图像对应的解折式为
g(x)=2sin21一专)一£—l=2sin12x—三卜1,说法④错误.
故选:D
22
10.如图,片,B分别为椭圆、+*=1(4>人>0)的左、右焦点,点尸在椭圆上,P。鸟是面积为46
A.72-1B.73-1C.石D.4-273
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三角形可得。及点P坐标,将点P代入椭圆方程,可得。,b,进而可得离心率.
由于^。鸟是面积为46的正三角形,
过点P作轴于〃,则b为。工的中点,
的”1V3
Cf
所以yp=—
所以S.POF,=^xc2=4百,解得C=4,
所以「(2,2班),
解得从=86,/=8百+16,
e——1f
故选:B.
11.已知函数/(x)=Asin(0x+e)的部分图象如图所示,其中4>0,。>0,—;<夕<0.在已知?的条件
下,则下列选项中可以确定其值的量为(
D.Asincp
【答案】B
【解析】
X,71-6?
【分析】根据函数图象可知,知X,是函数/*)的两个零点,即可得=一上,利用已知条件即可确定9
玉~(P
的值.
【详解】根据图象可知,函数“X)的图象是由尸Asinox向右平移-义个单位得到的;
由图可知/(%1)=/(%2)=0,利用整体代换可得力玉+8=0,+。=兀,
X,兀一X,(P-------
所以—=一上,若一为已知,则可求得1X2.
不~(P%
Al
故选:B
12.已知集合“={&|/3)=0},N={mg(尸)=0}.若存在aeM,teN,使|。一夕|<〃,则称
函数/(X)与g(x)互为“«度零点函数若函数/(x)=e2-r-l与函数g(x)=/—aex互为力度零点函
数''.则实数”的取值范围为()
fl412
A.B.e2eJD.
e
【答案】A
【解析】
【分析】由/(x)=e2r—l=0,得x=2,设g(x)=V一ae'=0的解为而,根据函数/(x)=e?-'—1与
函数g(x)=Y一ae*互为“1度零点函数",由瓜-1<1,得到1</<3,再由无2=ae1转化为
丫2
a\,在xe(l,3)时有解求解.
【详解】解:由/(x)=e2T—l=0,得x=2,
由g(x)=x2-aex=0,得x2=ae',设其解为厮,
因为函数/(x)=e2r—l与函数g(x)=f_ae'互为"1度零点函数”,
所以%-2|<1,解得1co<3,
r2
由炉=加、,得〃=土,%£(1,3)时有解,
2
令/z(x)哈,
2r-r2
则“(x)=,l<x<3,
当l<x<2时,h'(x)>0,〃(x)单调递增,当2<x<3时,〃⑺<0,力(力单调递减,
41a
所以〃(6皿=〃(2)=/,M1)=9人(3)=/,
(141
所以实数”的取值范围为一,T,
lee-J
故选:A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴,且它的一个顶点为A(2,0),它的一条渐近线方程为y=则双
曲线的标准方程为.
【答案】--/=1
4-
【解析】
【分析】由双曲线的一个顶点为A(2,0),可得焦点在x轴上,且。=2,根据渐近线方程
求出〃的值即可得双曲线的标准方程
【详解】由双曲线一个顶点为A(2,0),
所以可得双曲线的焦点在x轴上,且。=2,
由双曲线的一条渐近线方程为y=^x
所以2所以匕=1
a2
r2
所以双曲线的标准方程为土■-/=].
4
丫2
故答案为:----)2=1.
4'
14.设向量)=(2,1),b=(-l,x),若aa),则%=.
【答案】50
【解析】
【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解
【详解】人一a=(—3,x—1),由题意得a•(8一a)=0,即-6+x-l=0,得x=7
忖=J1+49=5收
故答案为:5A/2
15.设S,是等差数列{a,,}的前n项和,4=-7,另=2%,当\Sn\取得最小值时,〃=.
【答案】8
【解析】
【分析】先利用题给条件求得等差数列{。,,}的首项与公差,进而求得|S,J的表达式,再利用单调性去求
|S,J的最小值即可解决.
【详解】等差数列{4}中,%=-7,S5=2a-
a}+d=-7d=3
则《,解之得s,则。〃=3〃-13,
5。1+104=2a]4=-10
llo.〃(一10+3〃—13)||3/23、
则6,|=-―2---------|=|-»(«-y)
23
当1<〃<一,〃wN即1W〃W3,〃eN时,|S,J单调递增;
6
当一<n<一,即4<〃<7,〃£NB寸,单调递减;
63
23
当〃27,即〃28,时,|Sj单调递增,
3393
又图=闻=1(),冈=向7*(7-亍)=7,冈=回8、(8—丁=4,
则当|S,J取得最小值时,〃=8.
故答案为:8.
16.如图所示为某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为.
侧视图
【答案】20万
【解析】
【分析】作出原几何体的直观图,找出该几何体的外接球球心,计算出外接球的半径,结合球体体积公式
可得结果.
【详解】由三视图还原原几何体如下图所示,由图可知,原几何体为三棱锥P-ABC,
且平面PAC,平面ABC,
取AC的中点。,连接P。、8。,则AD=CO=K,BD=PD=3,
由三视图可知8D_LAC,PD1AC,
QBDcPD=D,则AC,平面P3D,
由勾股定理可得A8=6C=B4=PC=J?M=26=AC,
则ABC、ZXB4c均为正三角形,
因为平面PACJ_平面ABC,平面PAC。平面ABC=AC,PDA.AC,PDu平面尸AC,
平面ABC,
(35。(=平面48。,二尸。,加,
过一ABC的外心E在平面PBD内作EO,8D,
过△PAC的外心/在平面PBO内作FOLPD,设EOIFO=O,
因为AC_L平面P5D,£0(=平面正皮),则£O_LAC,
因为EOLBO,AC8。=。,.•.E0,平面ABC,同理,FO_L平面PAC,
所以,。为三棱锥P—4BC的外接球球心,
因为£为等边_A3C的外心,则力E=」BO=1,同理。尸=1,
3
在平面P8/)内,因为OEJ.DF,DE上DF,OEA.DE,DE=DF,
所以,四边形。奴才'为正方形,所以,OF=DE=1,
因为PF=PD—DF=2,所以,OP=Jo。?+pF=也,
因此,该几何体外接球的表面积为4万-OP2=20%.
故答案为:207r.
二、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数
据如下表所示:
文艺节目新闻节目总计
20至40岁401858
大于40岁152742
总计5545100
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应抽取几名?
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
【答案】(1)有关(2)3
⑶3
5
【解析】
【分析】(1)通过数据的直观分析即可得到结论;
(2)利用分层抽样的方式进行抽取即可求解;
(3)通过列举法举出所有的取法,和恰有1名观众年龄为20至40岁的取法,即可求解
【小问1详解】
因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新
闻节目.所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.
【小问2详解】
273
应抽取大于40岁的观众人数为一x5=—x5=3(名)
455
【小问3详解】
用分层抽样方法抽取的5名观众中,20至40岁有2名(记为X,公),大于40岁有3名(记为4,4,4),5名观
众中任取2名洪有io种不同取法:
设A表示随机事件“5名观众中任取2名,恰有1名观众年龄为20至40岁”.
则A中的基本事件有6种:KA,K4,XA,NA占4泻4,
故所求概率为尸(A)=^=|.
18.在①6〃=。卜足。+百cos。);②asinC=csin';0;③acosC+;c=。,这三个条件中任选
一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在cABC中,内角A,B,C的对边分别为“,
h,c.已知.
(1)求角A;
⑵若b=l,c=3,求BC边上的中线A。的长.
注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答进行计分.
【答案】(1)任选一个,答案均为?
(2)反.
2
【解析】
【分析】(1)选①,由正弦定理化边为角,然后由诱导公式,两角和的正弦公式,商数关系求得A;
选②,由正弦定理化边为角,由诱导公式、二倍角公式变形可求得A;
选③,由余弦定理化角为边,再由余弦定理求得A;
(2)在△A5O和,A0D中分别应用余弦定理后相加可得AO.
【小问1详解】
选①6b=a卜inC+Geos,
由正弦定理得GsinB=sinA(sinC+geosC),
V3sin(A+C)=sinAsinc+v3sinAcosC>
5/3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+A/3sinAcosC,
x/3cosAsinC=sinAsinC>三角形中sinCwO,所以tanA=J^,又Ae(0,〃),
TT
所以A=§;
、咫/^\.厂BC
选②。sinC=csin-------
2
由正弦定理得sinAsinC=sinCsin—=sinCcos—,三角形中sinCwO,
22
AAAAA1
所以2sin—cos—=cos—,又三角形中cos—。0,所以sin—=—,Ae(0,^),
222222
A7T71
所以一=一,即A=w;
263
选③acosC+L=b,
2
由余弦定理得~—+-c=b,整理得加+,2-/=oc,
2b2
所以cosA="+c2-/=J,,而4e((),〃),A=fL.
2bc23
小问2详解】
由(1)a2=b2+c2-2Z?ccosA=l+9-2xlx3cos—=7,〃=近,
由余弦定理得:b2=AD2+CD2-2AD-CDcosZCDA
c2=AD2+BD2-2AD-BDcosABDA,又BD=CD,cosZCDA=-cosZBDA,
所以。2+/=2AD?+BO?+CD2=2A£>2+J,
2
所以A£>2=L(1+9_,X7)=U,AO=巫.
2242
19.如图,在直角梯形ABC。中,AD//BC,ADLCD,四边形CDEF为平行四边形,平面。。上尸_1平
jElABCD,BC=2AD.
(1)证明:DF1,平面ABE;
71
(2)若AD=1,CD=ED=2,ZFCD=-,求三棱锥6-ADE的体积.
3
【答案】(1)证明见解析
(2)显
3
【解析】
【分析】(1)连接CE交。产于点”,取3E的中点G,连接AG,G",根据条件证明四边形AO"G为平
行四边形,然后得到。/AG即可;
(2)取C£>的中点为。,连接0尸,依次证明。尸,平面ABC。、E产〃平面ABC。,然后可求出点E
到平面A8CO的距离,然后根据匕一A°E=算出答案即可.
【小问1详解】
B
证明:连接CE交DF于点H,取砥的中点G,连接AG,G",
因为四边形CO所为平行四边形,所以〃为CE的中点,
所以GH〃BC,GH=>BC,
2
因为AD〃BC,BC=2AD,所以GH〃AD,GH=AD,
所以四边形AO”G为平行四边形,所以DH//AG,即0f7/AG,
因为AGu平面AfiE,平面ME,所以力平面ABE,
【小问2详解】
取CO的中点为0,连接O尸,
71
因为cr>=皮>=2,ZFCD=-,所以一CDF为等边三角形,
所以。尸=百,0F1CD,
因为平面CDEF±平面ABCD,平面CDEF|平面ABCD=CD,O产u平面CDEF,
所以OE_L平面ABCD,所以点尸到平面ABCD的距离为,
因为EF//CD,所2平面A8C。,。。<=平面48。。,
所以E/〃平面ABCQ,
所以点E到平面ABCD的距离为OF=B
因为ABC。是直角梯形,AD//BC,ADLCD,AO=1,CD=2,
所以S"o=g.AZ)C£)=l,
所以匕ADE=VEABD=—x1x6=.
B-ADEt,—AHL)3^3
3r
20.已知就wO,曲线/(%)=——7在x=l处的切线方程为6x+勿—3=().
a—x''
(1)求a,b的值;
(2)证明:当工£(0,1]时,/(%)<tanx.
【答案】(1)a=3,b=-2
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据切点和斜率求得
(2)化简/(x)<tanx,利用构造函数法,结合导数证得不等式成立.
【小问1详解】
3-3
由题可知/(1)=——=——,即匕=l-a.
a-1b
3(a-x2)+6x23a+3x2,〃八3a+36
又/*)=二7-;一不,所以尸(])=1一^=一工,
(a-x2)(a-x2)(«-1)b
a—3
解得《,即a=3]=—2.
匕=一2
【小问2详解】
3Y
/(%)=——xe(O,l],
3-r
—々,3xsinx
要证f(x)<tanx,-----<----,
3—xcosx
只需证3sinx-3xcosx-x2sinx>0»
令g(x)=3sinx-3XCOSX-X2sinx,
则g'(x)=3cosx-3cosx+3xsinx-2xsinx-x2cosx=x(sinx-xcosx),
令/z(x)=sinx—xcosx.xe(0,1],则hr(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx>0,
所以〃(x)在(0,1]上单调递增,所以以工)>人(0)=0,即g'(x)>(),
所以g(x)在(0J上单调递增,则g(x)>g(0)=0,即当XE(0,1]时,/(x)<tanx.
21.已知中心为坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆C经过点N(瓜-1).
(1)求C的方程;
(2)已知点0(3,0),直线/:尤=9+〃(〃。3/。0)与。交于4,5两点,且直线QAQB的斜率之和为
证明:点(/,〃)在一条定抛物线上.
22
【答案】(1)L+2_=I
93
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据椭圆标准方程求法,列方程组解决即可;
22
(2)设直线ZM,DB的斜率分别为占,k2,A(x,y),B(x2,y2).将x="+〃代入土-+匕=1,得
93
(t2+3)/+2/町+1-9=0,匕+&=3)2=0,根据韦达定理化简得〃=2/+3即可解决.
【小问1详解】
依题意设C的方程为px2+qy2=1,
因为C经过点N(J8-
P
3〃+2g=19
所以《;「解得
6〃+q=1£
q
3
22
故C的方程为二+二二1.
93
【小问2详解】
证明:设直线的斜率分别为匕,k2,4(%,%),8(看,%).
将x=(y+〃代入匕+2_=1,得(/+3)/+2my+/-9=0.
93'八
由题设可知八=12(3/一〃2+9)>0,y+%=-'%%=〃,一;'
所以女+女=X।%)1(£—3)+),2(内一3)_.\"),2+〃―3)+),2(5+〃-3)
12
x1-3x2-3(xj-3)(X2-3)-3)(3+〃-3)
=2与%+(〃_3)(y+乂)=1
/弘必+«〃-3)(乂+%)+("3)'t'
所以/,%一(“一3)2=。,
所以『^|一("-3)2=(〃-3)产^|一(〃-3)=0.
因为"片3,
所以产背:一(〃-3)=0,
所以〃=2/2+3,
故点&〃)在抛物线y=2/+3上,即点&〃)在一条定抛物线上.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上
将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;
多答按所答第一题评分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
元=]+COSCC
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为《.(戊为参数),直线
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