高二年级上册期数学期末复习《直线和圆的方程》单元知识总结

高二上期数学期末复习《直线和圆的方程》单元知识总结

万三中谭青春

一、直线的方程

1、倾斜角:

L

,范围OWa<71,

若/〃x轴或与x轴重合时，a=O°。

2、斜率：k=tintze与K的关系：C=0OK=0

已知L上两点Pi（xi,y,）0vav—^>0

2

P2（x2,y2）a=—<=>K不存在

2

一<2<7T=K<0

^2-^12

当X1=》2时，a=90°,K不存在。当KNO时，a=arctank,KVO时，a=7r+arctank

3、截距（略）曲线过原点O横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

已知方程说明几种特殊位置的直线

斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平①x轴：y=0

于y轴的直线

点斜式Pi=(xi,yi)y-yi=k(x-xi)不含y轴和平行②y轴:x=0

k于y轴的直线

两点式Pi(xi,yi)不含坐标辆和③平行于x轴：y=b

P2(X2»2)平行于坐标轴

当一必x-x,

2的直线

截距式a^b2+2=1不含坐标轴、平④平行于y轴：x=a

ab行于坐标轴和⑤过原点：y二kx

过原点的直线

一般式Ax+by+c=0A、B不同时为0

两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。

②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：po（x0,yo）为定值，k为参数y-yo=k（x-x0）

特别：y=kx+b,表示过（0、b）的直线系（不含y轴）

（2）平行直线系：①丫:收+卜k为定值，b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系

③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系

(3)过LiL交点的直线系A"+Biy+G+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)

6、三点共线的判定：①|A月+|明=陷,②KAB=KBC，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

1、

Li：y=kix+b|Li：A1X+B]Y+Ci=0L与L2组成的方程组

L2：y=k2X+b2L2：A2X4-B2Y+C2=0

平行=Ki=k2且b¥b2无解

A〕_G

———丰—

A2B2C2

重合=K产k2且bi=b2有无数多解

A=A=£L

A2B2C2

相交=3k2a有唯一解

---丰----

A,B2

垂直。Kbk2=-1A1A2+BIB2=0

（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）

k-k

2、L］到L2的角为0,则tan6=T—卜（左/2。一1）

1+&,匕

3、夹角：tan0=----L

1+k)k、

\AX(.+By(}+cl

4、点到直线距离：d=J~:।(已知点(po(xo,yo),L：AX+BY+O0)

7A2+B2

C|

①两行平线间距离：LI=AX+BY+CI=0L2：AX+BY+C2=0=>d=|

4A2+%

②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±A2+B2=0

③与AX+BY+C]=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是

C,+C)

AX+BY+-^——^=0

2

5^对称：(1)点关于点对称：p(xi,yD关于M(xo,yo)的对称P(2Xo—X1,2为一匕)

（2）点关于线的对称：设p（a、b）

对称轴对称轴

对称点p'对称点p'

X轴Y=-x

p'(a、-b)〃'（一/?、_〃）

Y轴X=m(mW0)

p'(-。、b)p'Qm—a、b)

y=xy=n(nW0)

p'S、a)p\a>2n-b)

一般方法:

如图：（思路1）设P点关于L的对称点为Po（xo,yo）则Xppo.KL=-l

tp,Po中点满足L方程

解出Po（xo,yo）

（思路2）写出过PLL的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出Po（x°,yo）的坐标。

（3）直线关于点对称

L：AX+BY+C=O关于点P（Xo^Yo）的对称直线/'：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0

（4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f（x、y）=0

关于x轴对称曲线是f（x、-y）=0关于y=x对称曲线是f（y、x）=0

关于y轴对称曲线是f（-x、y）=0关于y=-x对称曲线是f（-y、-x）=0

关于原点对称曲线是f（-x、-y）=0关于x=a对称曲线是f（2a-x、y）=0

关于y=b对称曲线是f（x、2b-y）=O

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。

三、简单的线性规划

不等式表示的区域

AX+BY+C=0

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。

要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。

四、园的方程

1、园的方程：①标准方程（x—ay+（y—b）=r2,c（a、b）为园心，r为半径。

②一般方程：x2+y2+DX+EY+F=O,

VD2+£2-4F

r-----------------

2

当。2+七2-4尸=0时，表示一个点。

当+F2-4/<0时，不表示任何图形。

③参数方程：rx=a+rcosO

y=/?+rsin^。为参数

以A（Xi，YI）,B（X2,Y2）为直径的两端点的园的方程是

（X-Xi）（X-X2）+（Y-Y|）（Y-Y2）=0

2、点与园的位置关系：考察点到园心距离d,然后与r比较大小。

3、直线和园的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：^〉。一相交、△二。一相切、△<00

相离

②利用园心c（a、b）到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：

dVrO相交、d=rO相切d>rO相离

（直线与园相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kta）

4、园的切线：（1）过园上一点的切线方程

与园/+y?=/相切于点（xi、yi）的切线方程是X1X+yy=/

与园（x-a）2+（y-b）2=U相切于点（xi、yi）的切成方程

为:（Xj-aX^-«）+（?i-b）（y-b）=r2

与园—+：/+加+石丫+/?=0相切于点（x|、yi）的切线是

X|X+yy+£）（£±^L）+£（2±2L）+/=0

（2）过园外一点切线方程的求法：己知：po（xo，yo）是园（x-a）?+（y-b）2=/外一点

（玉一a）2+（以一份2=/

①设切点是pi（xi、y。解方程组-1[

（尤o—。）（范一a）+（yo一①（%一份2=/

先求出pi的坐标，再写切线的方程

②设切线是y-%=k（x-xn）即kx-y-kxn+打=0

\ka-b-kxr，+yn|

再由J----'"」!=一求出k,再写出方程。

（当k值唯一时，应结合图形、考察是