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文档简介
2023届云南省楚雄州大姚县大姚一中高三第一次段考数学试题试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的
位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
22
1.设F1,尸2分别是椭圆E:=+二=1(。>人>0)的左、右焦点,过尸2的直线交椭圆于A,B两点,且居=0,
a
AF2=2F2B,则椭圆E的离心率为()
23D,立
A.-B.-75
3434
/、log/l-x)x<0/、
2.定义在R上的函数/(x)满足/(尤)=,、,则“2019)=()
/(x—x>U
A.-1B.0C.1D.2
3.等差数列{%}中,4+%=10,4=7,则数列{4}前6项和S6为O
A.18B.24C.36D.72
4.已知正三棱锥A—3c。的所有顶点都在球。的球面上,其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱A8,AC,AD
的中点.若。在三棱锥A-BC£)内,且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥O-3CD体积的4倍,则此外接球的体积与
三棱锥O-EFG体积的比值为()
A.6辰B.8辰C.12岳D.246万
1.UUIUUCIU
5.已知A8C是边长为3的正三角形,若=则=
315
A.——B.—
22
315
C.一D.——
22
6.运行如图所示的程序框图,若输出的i的值为99,则判断框中可以填()
(开始)
I是
A.S>1B.S>2C.S>lg99S>lg98
7.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l—x)},则AB=()
A.{2}B.{-1,0}C.{-1}{-1,0,1)
8.中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫禅头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是
禅头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示
为两个素数(即质数)的和“,如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等
于20的概率是()
D.以上都不对
10.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取i(i=l,2)个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后
放回,此时盒中黑球的个数X,(i=l,2),贝!!()
A.P(X1=3)>P(X2=3),EXi>EX2B.尸(区=3)<P(X?=3),EXx>EX2
C.尸(乂=3)>尸”2=3),EXt<EX2D.P(X]=3)<P(X2=3),EX{<EX2
2X+'+2,x<0,
11.已知函数/(x)=若关于x的方程[/(x)F-2af(x)+3a=0有六个不相等的实数根,则实数”的
|log2x|,x>0,
取值范围为()
A.B.^3,—C.(3,4)D.(3,4]
12.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范
围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学
生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()
频率.
O.ldL------------
OS.10
608
04
0.002
17.52022.52527.5自习时间/小时
A.56B.60C.140D.120
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=qe'",〉0)转化为线性回归方程,即
两边取对数,令z=lny,得到2=,2%+1119.受其启发,可求得函数丁=工唾式阳(x>0)的值域是.
14.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭;令上方六尺:问亭方几何?”
大致意思是:有一个四棱锥下底边长为二丈,高三丈;现从上面截取一段,使之成为正四棱台状方亭,且四棱台的上
底边长为六尺,则该正四棱台的高为________尺,体积是_______立方尺(注:1丈=10尺).
15.厂3(》+2)6的展开式中的常数项为.
16.已知数列{4}的各项均为正数,满足4=1,az-q=《.(i<k,k=1,2,3,若{4}是等比数列,
数列{an}的通项公式%=.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)等差数列N*)中,%,%,生分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数
不在下表的同一列.
第一列第二列第三列
第一行582
第二行4312
第三行1669
(1)请选择一个可能的{4,4,%}组合,并求数列{4}的通项公式;
(2)记(1)中您选择的{4}的前〃项和为S“,判断是否存在正整数Z,使得%,4,Sh2成等比数列,若有,请
求出女的值;若没有,请说明理由.
2
18.(12分)已知椭圆C:5+y2=l,点产(毛,%)为半圆炉+产=3(>20)上一动点,若过P作椭圆C的两切线分
别交x轴于"、N两点.
(1)求证:PMLPN;
(2)当-1,|时,求|MN|的取值范围.
zxz,x()[an,〃为奇数
19.(12分)已知数列{4},{bn},数列c,,}满足c"="衣/申物,"eN*.
bH,〃为偶数
(1)若a”=〃,bn=T,求数列{%}的前2〃项和七;
(2)若数列{%}为等差数列,且对任意“eN*,c.+i>c“恒成立.
①当数列也}为等差数列时,求证:数列{叫,也}的公差相等;
②数列也}能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列也};若不能,请说明理由.
20.(12分)已知函数/@)=加一5x+21nx.
(1)求/*)的极值;
(2)若./■(石)=/(赴)=/(七),且用<%2<工3,证明:%+々>1.
21.(12分)已知”,j,z均为正数.
(1)若盯VI,证明:|x+z|-ly+z|>4xjz;
(2)若一——=-,求2"V'-2我的最小值.
x+y+z3
22.(10分)如图,已知四棱锥P-ABCZ),底面ABCO为边长为2的菱形,E4±¥®ABCD,NA5C=6O°,E
是BC的中点,PA=AB.
(I)证明:AE±PDt
(H)若口为上的动点,求EF与平面PAD所成最大角的正切值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据表示出线段长度,由勾股定理,解出每条线段的长度,再由勾股定理构造出。,c关系,求出离心率.
【详解】
AF2=2F2B
设BF2=x,则AF2-2x
由椭圆的定义,可以得到A耳=2a—2x,B耳=2a-x
AFtAF2=0,.-.AFt±AF2
在股..A48中,有(2a—2x『+(3x『=(2a—力2,解得%=@
…2a-4a
A6=}•,4"T
在居中,
c25cV5
整理得二=3e==—
a29a3
故选C项.
【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率,是求椭圆离心率的一个常用方法,通过几何关系,构造出“,c关系,得到离心率.属于
中档题.
2、C
【解析】
推导出“2019)=0(403x5+4)=/(4)=/(-1)=log22,由此能求出/(2019)的值.
【详解】
/\flog2(l-x)x<0
•.•定义在R上的函数/(x)满足=丫>0'
.,./(2019)=/(403x5+4)=/(4)=/(-l)=log22=l,故选C.
【点睛】
本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.
3、C
【解析】
由等差数列的性质可得%=5,根据等差数列的前〃项和公式S6=幺詈x6=2/9x6可得结果.
【详解】
•.•等差数列{4}中,q+%=1°,,2。3=10,即4=5,
«L1^6X6=£11^X6=^X6=36>
6222
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前»项和公式的应用,属于基础题.
4、D
【解析】
如图,平面EFG截球。所得截面的图形为圆面,计算AH=40”,由勾股定理解得??=6,此外接球的体积为
丝也),三棱锥。-EFG体积为交,得到答案.
33
【详解】
如图,平面EFG截球。所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A-BCD中,过A作底面的垂线AH,垂足为H,与平面EFG交点记为K,连接8、HD.
依题意匕_88=4%_88,所以4〃=40”,设球的半径为/?,
在R/0HD中,0D=R,HD=—BC=—,OH=-OA=—,
3333
由勾股定理:收=竽+用,解得R=",此外接球的体积为笞住乃,
由于平面EFGH平面BCD,所以AH,平面EFG,
球心0到平面EFG的距离为K0,
则KO=QA—KA=QA—LA”=R—2R=0=2^,
2333
所以三棱锥0-EFG体积为lxLEX4^逅=也,
34433
所以此外接球的体积与三棱锥0-EFG体积比值为24G万.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题,三棱锥体积,球体积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5、A
【解析】
由:8c可得AO=A8+BO=A8+!BC,因为ABC是边长为3的正三角形,所以
33
AD-BC=(AB+-BC)BC=AB-BC+-BC=3x3cosl200+-x32=--,故选A.
3332
6、C
【解析】
模拟执行程序框图,即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序:
第一次,i=l,S=lg2;
第二次,i=2,S=lg2+lgg=lg3;
4
第三次,i=3,S=lg3+lg-=lg4,
♦♦・;
99
第九十八次,i=98,S=lg98+lg—=lg99;
第九十九次,i=99,S=lg99+lg詈=lgl00=2,
此时要输出i的值为99.
此时S=2>/g99.
故选:C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.
7、B
【解析】
求出集合3,利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由i-x>0,得x<l,则集合B={x|x<l},
所以,AnB={-l,O}.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合B是解决本题的关键,属于基础题.
8、A
【解析】
详解:由题意知,题干中所给的是梯头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有
一不可见的长方形,
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。
9、A
【解析】
首先确定不超过2()的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.
【详解】
不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,
从这8个素数中任选2个,有=28种可能;
其中选取的两个数,其和等于20的有(3,17),(7,13),共2种情况,
21
故随机选出两个不同的数,其和等于20的概率「=二=77.
2814
故选:A.
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.
10、C
【解析】
根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.
【详解】
C]2C11
X1=3表示取出的为一个白球,所以/乂=3)=才=^.X|=2表示取出一个黑球,p(X1=2)=沙=可,所以
91Q
E(X,)=3x-+2x-=-.
*2=3表示取出两个球,其中一黑一白,P(X2=3)=-^=—,x?=2表示取出两个球为黑球,
「2A
x2=4表示取出两个球为白球,尸(Xz=4)=^=百,所以
E(X2)=3x§+2x-!-+4x9=W.所以=3)>P(X2=3),EXt<EX2.
1515153
故选:C
【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.
11、B
【解析】
令/&)=,,则尸—2故+3a=0,由图象分析可知/一2"+3a=0在(2,4]上有两个不同的根,再利用一元二次方程
根的分布即可解决.
【详解】
令.f(x)=f,则»一2内+3。=0,如图
O
2
y=r与y=/(x)顶多只有3个不同交点,要使关于x的方程[/(x)]-2叭幻+3a=0有
六个不相等的实数根,则户一2G+3a=0有两个不同的根八,灰e(2,4J,
设g(7)=/_2at+3a由根的分布可知,
A=4a2-12a>0
ae(2,4)16
二:,解得3<a«U.
g⑵>05
g(4)>0
故选:B.
【点睛】
本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中
档题.
12、C
【解析】
试题分析:由题意得,自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时
的频率为0.7x200=140,故选C.
考点:频率分布直方图及其应用.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
⑶[卜H
【解析】
2
转化y=1(9*)(x>0)为log3y=(log3x+1)-1,即得解.
【详解】
由题意:
%嘀logy=logx•(log9x)=logx-(2+logx)=(log./+1)2-1>-l
y=(X>Q)33333
故答案为:—>+°°j
【点睛】
本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
14、213892
【解析】
根据题意画出图形,利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高,再计算它的体积.
【详解】
如图所不:
正四棱锥尸-ABC。的下底边长为二丈,即A8=20尺,高三丈,即尸0=30尺,
截去一段后,得正四棱台ABCD-A,B,C。,且上底边长为川少=6尺,
2X6
30-。0'
所以~30~
-x20
2
解得00'=21,
所以该正四棱台的体积是
V=1X21X(202+20X6+62)=3892,
故答案为:21;3892.
【点睛】
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题,也考查了棱台的体积计算问题,属于中档题.
15、160
【解析】
先求(x+2)6的展开式中通项,令x的指数为3即可求解结论.
【详解】
解:因为(x+2)6的展开式的通项公式为:C;-x6-r-2r=2,-q-x6-r;
令6-r=3,可得尸=3;
x-Xx+2)6的展开式中的常数项为:2-3•=16().
故答案为:160.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.
16、2”T
【解析】
利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为%-q=q,所以。2=2《,
因为{4}是等比数列,所以数列{4}的公比为1.
又%+1-%=484%/=1,2,3,,/?-1),
所以当i=左时,有%+I=2q.
这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以4=2"一,
故答案为:2",
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)见解析,。“=4〃+4或。“=2〃;(2)存在,k=6.
【解析】
(1)满足题意有两种组合:①q=8,a2=12,%=16,②%=2,%=4,%=6,分别计算即可;
(2)由(1)分别讨论两种情况,假设存在正整数心使得外,4,S*2成等比数列,即a/=4•1”,解方程是否
存在正整数解即可.
【详解】
(1)由题意可知:有两种组合满足条件:
①q=8,4=12,%=16,此时等差数列{a“},q=8,"=4,
所以其通项公式为““=4〃+4.
②q=2,4=4,4=6,此时等差数列{4},q=2,d=2,
所以其通项公式为4=2〃.
(2)若选择①,S„=2n2+6n.
则S«+2=2(左+2)2+6(女+2)=2代+14左+20.
若为,ak,S*+2成等比数列,则42=46£+2,
即(必+4)2=8(2F+14Z+2O),整理,得%2+2%+1=公+7左+io,即女=一9,
此方程无正整数解,故不存在正整数左,使4,4,既+2成等比数列.
2
若选则②,Sn=n+n,
则S«+2=(左+2『+(A:+2)=A:2+5Z+6,
若%,4,S"2成等比数列,则
即(22)2=2(左2+5攵+6),整理得炉一5左一6=0,因为人为正整数,所以2=6.
故存在正整数攵=6,使4,%,S»2成等比数歹!J.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前〃项和,涉及到等比数列的性质,是一道中档题.
18、(1)见解析;(2)[26,2#].
【解析】
(1)分两种情况讨论:①两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时,求出两切线的方程,验证结论成立;②两
切线PM、PN的斜率都存在,可设切线的方程为丁一%=%(%-/),将该直线的方程与椭圆的方程联立,由A=0
可得出关于左的二次方程,利用韦达定理得出两切线的斜率之积为-1,进而可得出结论;
2,(4一片)(3一片)
(2)求出点M、N的坐标,利用两点间的距离公式结合韦达定理得出|MN|=换元
|2-4
f=2一片可得出眼'|=2,2弓+;)-1,利用二次函数的基本性质可求得|MN|的取值范围.
【详解】
(1)由于点尸在半圆x2+y2=3(yN0)上,则焉+y;=3.
①当两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时,可求得两切线方程为》=夜,y=i或尤=-&,y=i,此时
PM1PN;
②当两切线PM、PN的斜率都存在时,设切线的方程为>一为=攵@一/)(PM、PN的斜率分别为尤、心),
<[kx2];+)。=0+2左2卜2+4%(%―5卜+2(%_[)2_2=0
x+=,
△=16左2(为_5)2_4(1+2公)[2(%_依0)2_2]=0,
.・.(看一2八2一2x0yJ+(y:-1)=0,.•M「E=4^=^^=-1,,W/W.
%0-2x0-2
综上所述,PMA.PN;
(2)根据题意得MX。一空,0、NAo-y-,0,
IK)Ik2J
24-%3-
"片y;-4(¥-2)(y;-1)_7(O)(XO)
»V|fV|IV|^2||27^|
令f=2_*则|MN|=Rj'+j)('+l)
8
所以,当1=1时,|M7V|=2瓜,当!=,时,|M/V|.=273.
因此,|初7|的取值范围是[26,2遍].
【点睛】
本题考查椭圆两切线垂直的证明,同时也考查了弦长的取值范围的计算,考查计算能力,属于中等题.
19、(1)&=三-+〃2_](2)①见解析②数列也}不能为等比数列,见解析
【解析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;
(2)①设数列{4}的公差为d,数列也}的公差为4,当“为奇数时,得出4X当〃为偶数时,得出
从而可证数列{《,},也}的公差相等;
②利用反证法,先假设也}可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列出}不能为等比数列.
【详解】
(1)因为。"=",仇=2",所以。“+2-%=2,常^=4且q=q=l,。2=打=4
由题意可知,数列{。2,一}是以1为首项,2为公差的等差数列,
数列{。2“}是首项和公比均为4的等比数列,
n(n-l)-4(1—4")4n+I,4
所以7;“=〃+—^——-x2+—----乙=——+——;
2"21-433
(2)①证明:设数列{q}的公差为4,数列{〃}的公差为4,
当n为奇数时,%=。“=q+(〃-1)",cn+l=%=%+M
ci,—d—b,
若4<d,则当〃〉一;---1时,c〃+=(4-+<0,
wI~~d
即cn+1<cn,与题意不符,所以4»d,
当n为偶数时,Cn=2=伪+(〃-1)4,C"+]=an+l=ai+nd,
b,—d.-a,
若4>d,则当〃〉一:~~;—时,q用一%=(4-4)〃+4+4-々<。,
U-U,
即g+1<%,与题意不符,所以4<d,
综上,d[=d,原命题得证;
②假设也}可以为等比数列,设公比为心
b、
因为q,+|>q,,所以c“+2>c,H>c",所以为+2—。“=2">0,-^=q9->\,
因为当〃>1+照/1式匕时,
\bn+2~b,\=\b,\0-1)=|4|q|"T•-1)>4。,
所以当”为偶数,且%<b„<a,+|时,bn+2生(a„+1,an+i),
即当n为偶数,且<cn<c“+|时,cn+i<cn+2<cn+i不成立,与题意矛盾,
所以数列也}不能为等比数列.
【点睛】
本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要
回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心
素养.
9
20、(1)/(x)极大值为——21n2;极小值为-6+2In2;(2)见解析
4
【解析】
(1)对函数Ax)求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
(2)构造函数产(x)=/(x)-/(1),;),求导并判断单调性可得尸(x)<0,从而/(x)</(I-x)在(0,g]上
恒成立,再结合X,e(o,g),/(%)=/(%)<"1—石),可得到马〉1一龙”即可证明结论成立.
【详解】
(1)函数/(X)的定义域为((),+8),/(x)=2x—5+:=(21:t2)@>。),
所以当(2收)时,/(x)>0;当时,小)<0,
则/(x)的单调递增区间为(°,;)和(2,+8),单调递减区间为2.
故f(x)的极大值为/(;]=;—1+21n;=-1-21n2;f(x)的极小值为/(2)=4-10+21n2=—6+21n2.
(2)证明:由(1)知0<玉<]<%2<2<七,
设函数b(x)=f(x)-/(I一无),xe[0,g),
则尸(x)=_5x+21nx—(1-x)"-5(l-x)+21n(l-x),
x、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(2尤一If
x\-xx(l-x)
则F(x)>0在(0,;)上恒成立,即F(x)在(0,;)上单调递增,
故尸")<尸(;),
又尸[)=/(;)一f]£|=o,则万(
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