2023届云南省楚雄州大姚县大姚一中高三第一次段考数学试题试卷

2023届云南省楚雄州大姚县大姚一中高三第一次段考数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.设F1,尸2分别是椭圆E:=+二=1（。>人>0）的左、右焦点，过尸2的直线交椭圆于A，B两点，且居=0,

a

AF2=2F2B,则椭圆E的离心率为（）

23D,立

A.-B.-75

3434

/、log/l-x）x<0/、

2.定义在R上的函数/（x）满足/（尤）=，、，则“2019）=（）

/（x—x>U

A.-1B.0C.1D.2

3.等差数列｛%｝中，4+%=10，4=7,则数列｛4｝前6项和S6为O

A.18B.24C.36D.72

4.已知正三棱锥A—3c。的所有顶点都在球。的球面上，其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱A8,AC,AD

的中点.若。在三棱锥A-BC£）内，且三棱锥A-BCD的体积是三棱锥O-3CD体积的4倍，则此外接球的体积与

三棱锥O-EFG体积的比值为（）

A.6辰B.8辰C.12岳D.246万

1.UUIUUCIU

5.已知A8C是边长为3的正三角形，若=则=

315

A.——B.—

22

315

C.一D.——

22

6.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（）

（开始）

I是

A.S>1B.S>2C.S>lg99S>lg98

7.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l—x)},则AB=()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}{-1,0,1)

8.中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫禅头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是

禅头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

D.以上都不对

10.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取i（i=l,2）个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,（i=l,2）,贝!!（）

A.P（X1=3）>P（X2=3）,EXi>EX2B.尸（区=3）<P（X?=3）,EXx>EX2

C.尸（乂=3）>尸”2=3）,EXt<EX2D.P（X]=3）<P（X2=3）,EX{<EX2

2X+'+2,x<0,

11.已知函数/（x）=若关于x的方程[/（x）F-2af（x）+3a=0有六个不相等的实数根，则实数”的

|log2x|,x>0,

取值范围为（）

A.B.^3,—C.（3,4）D.（3,4]

12.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率.

O.ldL------------

OS.10

608

04

0.002

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=qe'"，〉0）转化为线性回归方程，即

两边取对数，令z=lny,得到2=，2%+1119.受其启发，可求得函数丁=工唾式阳（x>0）的值域是.

14.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”

大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上

底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.

15.厂3（》+2）6的展开式中的常数项为.

16.已知数列｛4｝的各项均为正数，满足4=1,az-q=《.（i<k,k=1,2,3,若｛4｝是等比数列，

数列｛an｝的通项公式%=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）等差数列N*）中，%,%，生分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数

不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（1）请选择一个可能的｛4,4,%｝组合，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）记（1）中您选择的｛4｝的前〃项和为S“，判断是否存在正整数Z,使得%,4,Sh2成等比数列，若有，请

求出女的值；若没有，请说明理由.

2

18.（12分）已知椭圆C:5+y2=l,点产（毛,％）为半圆炉+产=3（＞20）上一动点，若过P作椭圆C的两切线分

别交x轴于"、N两点.

（1）求证：PMLPN；

（2）当-1,|时，求|MN|的取值范围.

zxz,x（）[an,〃为奇数

19.（12分）已知数列｛4｝,｛bn｝,数列c,,｝满足c"="衣/申物，"eN*.

bH,〃为偶数

（1）若a”=〃,bn=T,求数列｛%｝的前2〃项和七；

（2）若数列｛%｝为等差数列，且对任意“eN*，c.+i＞c“恒成立.

①当数列也｝为等差数列时，求证：数列｛叫，也｝的公差相等；

②数列也｝能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列也｝;若不能，请说明理由.

20.（12分）已知函数/@）=加一5x+21nx.

（1）求/*）的极值；

（2）若./■（石）=/（赴）=/（七），且用＜%2＜工3，证明：%+々＞1.

21.（12分）已知”，j,z均为正数.

（1）若盯VI,证明：|x+z|-ly+z|＞4xjz；

(2)若一——=-,求2"V'-2我的最小值.

x+y+z3

22.(10分)如图，已知四棱锥P-ABCZ),底面ABCO为边长为2的菱形，E4±¥®ABCD,NA5C=6O°,E

是BC的中点，PA=AB.

(I)证明：AE±PDt

(H)若口为上的动点,求EF与平面PAD所成最大角的正切值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出。，c关系，求出离心率.

【详解】

AF2=2F2B

设BF2=x,则AF2-2x

由椭圆的定义，可以得到A耳=2a—2x,B耳=2a-x

AFtAF2=0,.-.AFt±AF2

在股..A48中，有(2a—2x『+(3x『=(2a—力2,解得％=@

…2a-4a

A6=}•,4"T

在居中,

c25cV5

整理得二=3e=­=—

a29a3

故选C项.

【点睛】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出“，c关系，得到离心率.属于

中档题.

2、C

【解析】

推导出“2019)=0(403x5+4)=/(4)=/(-1)=log22,由此能求出/(2019)的值.

【详解】

/\flog2(l-x)x<0

•.•定义在R上的函数/(x)满足=丫>0'

.,./(2019)=/(403x5+4)=/(4)=/(-l)=log22=l,故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.

3、C

【解析】

由等差数列的性质可得％=5,根据等差数列的前〃项和公式S6=幺詈x6=2/9x6可得结果.

【详解】

•.•等差数列｛4｝中，q+%=1°，，2。3=10，即4=5,

«L1^6X6=£11^X6=^X6=36>

6222

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前»项和公式的应用，属于基础题.

4、D

【解析】

如图，平面EFG截球。所得截面的图形为圆面，计算AH=40”,由勾股定理解得??=6，此外接球的体积为

丝也），三棱锥。-EFG体积为交，得到答案.

33

【详解】

如图，平面EFG截球。所得截面的图形为圆面.

正三棱锥A-BCD中，过A作底面的垂线AH,垂足为H,与平面EFG交点记为K,连接8、HD.

依题意匕_88=4%_88,所以4〃=40”,设球的半径为/?,

在R/0HD中,0D=R,HD=—BC=—，OH=-OA=—,

3333

由勾股定理：收=竽+用，解得R="，此外接球的体积为笞住乃，

由于平面EFGH平面BCD,所以AH，平面EFG,

球心0到平面EFG的距离为K0,

则KO=QA—KA=QA—LA”=R—2R=0=2^,

2333

所以三棱锥0-EFG体积为lxLEX4^逅=也，

34433

所以此外接球的体积与三棱锥0-EFG体积比值为24G万.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

5、A

【解析】

由：8c可得AO=A8+BO=A8+!BC,因为ABC是边长为3的正三角形，所以

33

AD-BC=(AB+-BC)BC=AB-BC+-BC=3x3cosl200+-x32=--,故选A.

3332

6、C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

第二次，i=2,S=lg2+lgg=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

♦♦・；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

第九十九次，i=99,S=lg99+lg詈=lgl00=2,

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

7、B

【解析】

求出集合3,利用集合的基本运算即可得到结论.

【详解】

由i-x>0,得x<l,则集合B={x|x<l},

所以，AnB={-l,O}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B是解决本题的关键，属于基础题.

8、A

【解析】

详解：由题意知，题干中所给的是梯头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有

一不可见的长方形，

且俯视图应为对称图形

故俯视图为

故选A.

点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

9、A

【解析】

首先确定不超过2（）的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2种情况，

21

故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率「=二=77.

2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

10、C

【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【详解】

C]2C11

X1=3表示取出的为一个白球，所以/乂=3）=才=^.X|=2表示取出一个黑球，p（X1=2）=沙=可,所以

91Q

E（X,）=3x-+2x-=-.

*2=3表示取出两个球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^=—,x?=2表示取出两个球为黑球,

「2A

x2=4表示取出两个球为白球,尸(Xz=4)=^=百，所以

E(X2)=3x§+2x-!-+4x9=W.所以=3)>P(X2=3),EXt<EX2.

1515153

故选：C

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.

11、B

【解析】

令/&)=，，则尸—2故+3a=0,由图象分析可知/一2"+3a=0在(2,4］上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令.f(x)=f,则»一2内+3。=0，如图

O

2

y=r与y=/(x)顶多只有3个不同交点,要使关于x的方程［/(x)］-2叭幻+3a=0有

六个不相等的实数根，则户一2G+3a=0有两个不同的根八,灰e(2,4J,

设g(7)=/_2at+3a由根的分布可知,

A=4a2-12a>0

ae(2,4)16

二:，解得3<a«U.

g⑵>05

g(4)>0

故选：B.

【点睛】

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

档题.

12、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⑶［卜H

【解析】

2

转化y=1(9*)(x>0)为log3y=(log3x+1)-1，即得解.

【详解】

由题意：

%嘀logy=logx•(log9x)=logx-(2+logx)=(log./+1)2-1>-l

y=(X>Q)33333

故答案为：—>+°°j

【点睛】

本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

14、213892

【解析】

根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.

【详解】

如图所不：

正四棱锥尸-ABC。的下底边长为二丈，即A8=20尺，高三丈，即尸0=30尺,

截去一段后，得正四棱台ABCD-A，B，C。，且上底边长为川少=6尺，

2X6

30-。0'

所以~30~

-x20

2

解得00'=21,

所以该正四棱台的体积是

V=1X21X(202+20X6+62)=3892,

故答案为：21；3892.

【点睛】

本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.

15、160

【解析】

先求(x+2)6的展开式中通项，令x的指数为3即可求解结论.

【详解】

解：因为(x+2)6的展开式的通项公式为：C；-x6-r-2r=2,-q-x6-r；

令6-r=3,可得尸=3；

x-Xx+2)6的展开式中的常数项为：2-3•=16().

故答案为：160.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题.

16、2”T

【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.

【详解】

因为%-q=q,所以。2=2《，

因为｛4｝是等比数列，所以数列｛4｝的公比为1.

又%+1-%=484%/=1,2,3,,/?-1),

所以当i=左时，有％+I=2q.

这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以4=2"一，

故答案为：2"，

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析，。“=4〃+4或。“=2〃；（2）存在，k=6.

【解析】

（1）满足题意有两种组合：①q=8,a2=12,%=16,②％=2,%=4,%=6,分别计算即可；

（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数心使得外,4,S*2成等比数列，即a/=4•1”，解方程是否

存在正整数解即可.

【详解】

（1）由题意可知：有两种组合满足条件：

①q=8,4=12,%=16,此时等差数列{a“},q=8,"=4,

所以其通项公式为““=4〃+4.

②q=2,4=4,4=6,此时等差数列{4},q=2,d=2,

所以其通项公式为4=2〃.

（2）若选择①，S„=2n2+6n.

则S«+2=2（左+2）2+6（女+2）=2代+14左+20.

若为,ak,S*+2成等比数列，则42=46£+2，

即（必+4）2=8（2F+14Z+2O）,整理，得%2+2%+1=公+7左+io,即女=一9,

此方程无正整数解，故不存在正整数左，使4,4，既+2成等比数列.

2

若选则②，Sn=n+n,

则S«+2=（左+2『+（A:+2）=A：2+5Z+6,

若%,4,S"2成等比数列，则

即（22）2=2（左2+5攵+6）,整理得炉一5左一6=0,因为人为正整数，所以2=6.

故存在正整数攵=6,使4,%,S»2成等比数歹!J.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及前〃项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.

18、（1）见解析；（2）[26,2#].

【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两

切线PM、PN的斜率都存在，可设切线的方程为丁一%=%（%-/），将该直线的方程与椭圆的方程联立，由A=0

可得出关于左的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为-1,进而可得出结论;

2,（4一片）（3一片）

（2）求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出|MN|=换元

|2-4

f=2一片可得出眼'|=2,2弓+；）-1,利用二次函数的基本性质可求得|MN|的取值范围.

【详解】

（1）由于点尸在半圆x2+y2=3（yN0）上，则焉+y；=3.

①当两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为》=夜，y=i或尤=-&,y=i,此时

PM1PN；

②当两切线PM、PN的斜率都存在时，设切线的方程为>一为=攵@一/）（PM、PN的斜率分别为尤、心）,

<［kx2］；+）。=0+2左2卜2+4%（％―5卜+2（%_［）2_2=0

x+=，

△=16左2（为_5）2_4（1+2公）［2（%_依0）2_2］=0,

.・.（看一2八2一2x0yJ+（y：-1）=0,.•M「E=4^=^^=-1,,W/W.

%0-2x0-2

综上所述，PMA.PN；

（2）根据题意得MX。一空,0、NAo-y-,0,

IK）Ik2J

24-%3-

"片y；-4（¥-2）（y；-1）_7（O）（XO）

»V|fV|IV|^2||27^|

令f=2_*则|MN|=Rj'+j）（'+l）

8

所以，当1=1时，|M7V|=2瓜,当！=,时，|M/V|.=273.

因此，|初7|的取值范围是[26,2遍].

【点睛】

本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.

19、(1)&=三-+〃2_](2)①见解析②数列也｝不能为等比数列，见解析

【解析】

(1)根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；

(2)①设数列｛4｝的公差为d,数列也｝的公差为4,当“为奇数时，得出4X当〃为偶数时，得出

从而可证数列｛《,｝,也｝的公差相等；

②利用反证法，先假设也｝可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列出｝不能为等比数列.

【详解】

(1)因为。"=",仇=2",所以。“+2-％=2,常^=4且q=q=l,。2=打=4

由题意可知，数列｛。2,一｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列｛。2“｝是首项和公比均为4的等比数列，

n(n-l)-4(1—4")4n+I,4

所以7；“=〃+—^——-x2+—----乙=——+——；

2"21-433

(2)①证明：设数列｛q｝的公差为4,数列｛〃｝的公差为4，

当n为奇数时，%=。“=q+(〃-1)",cn+l=%=%+M

ci,—d—b,

若4<d,则当〃〉一;---1时，c〃+=(4-+<0,

wI~~d

即cn+1<cn,与题意不符，所以4»d,

当n为偶数时,Cn=2=伪+(〃-1)4,C"+]=an+l=ai+nd,

b,—d.-a,

若4>d,则当〃〉一:~~;—时，q用一%=(4-4)〃+4+4-々<。，

U-U,

即g+1<%，与题意不符，所以4<d，

综上，d［=d,原命题得证；

②假设也｝可以为等比数列，设公比为心

b、

因为q,+|>q,，所以c“+2>c,H>c"，所以为+2—。“=2">0,-^=q9->\,

因为当〃>1+照/1式匕时,

\bn+2~b,\=\b,\0-1)=|4|q|"T•-1)>4。，

所以当”为偶数，且%<b„<a,+|时，bn+2生(a„+1,an+i),

即当n为偶数，且<cn<c“+|时，cn+i<cn+2<cn+i不成立，与题意矛盾，

所以数列也｝不能为等比数列.

【点睛】

本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要

回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心

素养.

9

20、(1)/(x)极大值为——21n2；极小值为-6+2In2；(2)见解析

4

【解析】

(1)对函数Ax)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；

(2)构造函数产(x)=/(x)-/(1),；),求导并判断单调性可得尸(x)<0，从而/(x)</(I-x)在(0,g］上

恒成立，再结合X,e(o,g),/(%)=/(%)<"1—石)，可得到马〉1一龙”即可证明结论成立.

【详解】

(1)函数/(X)的定义域为((),+8),/(x)=2x—5+：=(21：t2)@>。)，

所以当(2收)时，/(x)>0；当时,小)<0,

则/(x)的单调递增区间为(°，；)和(2,+8),单调递减区间为2.

故f(x)的极大值为/(；］=；—1+21n；=-1-21n2；f(x)的极小值为/(2)=4-10+21n2=—6+21n2.

(2)证明:由(1)知0<玉<]<%2<2<七，

设函数b(x)=f(x)-/(I一无),xe[0,g),

则尸(x)=_5x+21nx—(1-x)"-5(l-x)+21n(l-x),

x、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(2尤一If

x\-xx(l-x)

则F(x)>0在(0,；)上恒成立，即F(x)在(0,；)上单调递增，

故尸")<尸(；),

又尸[)=/(；)一f]£|=o,则万(