高考数学一轮复习试题第4节 随机事件、频率与概率

第4节随机事件、频率与概率

考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以

及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.概率与频率

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生

的频率以A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率

的稳定性.因此，我们可以用频率加A）估计概率P（A）.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件A与事件8至少有一个发生，

并事件称这个事件为事件A与事件B的坦旦（或A+3）

并事件（或和事件）

事件A与事件3同时发生，称这

交事件样一个事件为事件A与事件B的AH8（或AB）

交事件（或积事件）

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件A发生，事件8一定发

包含关系生，称事件8包含事件A（或事或AQB）◎

件A包含于事件B）

如果事件A与事件8不能同时

若AC8=0,则A

互斥事件发生,称事件A与事件8互斥

与B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一若ACl3=。，且

对立事件

次试验中有且仅有一个发生,AUB=Q,则A

称事件A与事件8互为对立，与B对立

事件A的对立事件记为A

I常用结论

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件Z所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组

成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广,

即P(4UA2U…UA")=P(AI)+P(A2)H----FP(4).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()

⑶若随机事件A发生的概率为P(A),则OWP(A)W1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中

奖的概率.()

答案(1)X(2)7(3)V(4)X

解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错.(4)中，

甲中奖的概率与乙中奖概率相同.

2.(2021.珠海期末)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥

的事件是()

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

答案D

解析“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.

3.已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(AUB)=l，某人猜测事件AA3发生,

则此人猜测正确的概率为()

A.lB.；C.；D.O

答案C

解析•.•事件APB与事件AUB是对立事件，.•.事件AAB发生的概率P(AAB)

311

=1-P(AU3)=1—w=a，则此人猜测正确的概率为加

4.(2020.全国H卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能

完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许

多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计

第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的

配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需

要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案B

解析由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,即第

二天确保完成新订单1600份，减去超市每天能完成的1200份，加上积压的500

份，共有1600—1200+500=900(份),至少需要志愿者900+50=18(名).

5.(多选X2022•烟台模拟)下列命题正确的是()

A.对立事件一定是互斥事件

B.若AC8为不可能事件，则P(AU8)=P(A)+P(3)

C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1

D.事件A,B满足P(A)+P(8)=1,则A,5是对立事件

答案AB

解析由对立事件的定义可知A正确；由于AC6为不可能事件，所以A,B互

斥，则尸(AUB)=P(A)+P(B),即B正确；事件43,。两两互斥，并不代表AU3UC

是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：”至少出现一次

71

正面”，事件&次出现正面”，则，，满足

“3P(A)=woP(B)=oeP(A)+P(B)=

1,但A,B不是对立事件，故D不正确.

6.一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取

一个球，若取得两个红球的概率为7*,取得两个绿球的概率为|*,则取得两个同

颜色的球的概率为，至少取得一个红球的概率为.

答案——

口水1515

解析由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个同

颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色的球

的概率「=记+石=石-

记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事

114

件8是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)=1—P(8)=l—记=记.

」考点突破•题型剖析

考点一随机事件的关系

1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D."甲不站排头”与“乙不站排尾”

答案BCD

解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B,C,D

中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.

2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,。发生的概率分别是0.2,0.2,

0.3,0.3,则下列说法正确的是()

A.AU8与C是互斥事件，也是对立事件

B.8UC与。是互斥事件,也是对立事件

C.AUC与8UO是互斥事件，但不是对立事件

D.A与是互斥事件，也是对立事件

答案D

解析A中，与C是互斥事件，但不对立，因为P(AUB)+P(0=O.7W1,

故A错误；

B中，8UC与。是互斥事件，但不对立，因为P(8U0+P(r>)=O.8Wl,故B

错误；

C中，AUB与CU。是互斥事件，也是对立事件，因为P(AUB)+P(CUO)=1,

故C错误；

D中，A与BUCU。是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)+P(BUCUO)=1,

故D正确.

3.(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出

两个球，事件A=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一个黄

球"，C=”取出的两个球至少有一个白球"，D=”取出的两个球不同色”，E

=’’取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()

A.A与D为对立事件

B.B与C是互斥事件

C.C与E是对立事件

D.P(CUE)=1

答案AD

解析当取出的两个球为一黄一白时，B与。都发生，B不正确；当取出的两个

球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与。是对立事件，

A正确；CUE为必然事件，P(CUE)=1,D正确.

感悟提升1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发

生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立

的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥

事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一

定是互斥事件.

考点二随机事件的频率与概率

例1某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售

价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据

往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：。C)有关.如果最高气温不低于

25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果

最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年

六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最IWI[10,[15,[20,[25,[30,[35,

气温15)20)25)30)35)40]

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为%单位：元)，当六月份这种酸奶一天的

进货量为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.

解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表

中数据可知，最高气温低于25的频率为2+1筮36=0.6,

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为06

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温低于20,则Y=200X6+(450-200)X2-450X4=-100；

若最高气温位于区间［20,25),贝y=300X6+(450—300)X2—450X4=300；

若最高气温不低于25,则Y=450X(6—4)=900,

所以，利润y的所有可能值为一100,300,900.

丫大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频

,,,36+25+7+4

率为-----90-----=0.8.

因此丫大于零的概率的估计值为08

感悟提升1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率

是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频

率来作为随机事件概率的估计值.

2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率

会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

训练1(2020.全国I卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按

标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，

厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿

原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为

25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，

在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据,

厂家应选哪个分厂承接加工业务？

解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为瑞=0.4；

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为加=0.28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

65X40+25X20-5X20—75X20

--------------1-0-0-------------=Ij5

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

70X28+30X17+0X34-70X21

100=10-

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.

考点三互斥事件与对立事件的概率

例2某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为

一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等

奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求：

(1)1张奖券的中奖概率；

(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解(1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=AUBUC

,1+10+50

VA,B,C两两互斥,...P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=­]000~=

61

1000-

故1张奖券中奖的概率为磊江

(2)设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N,则事件N与事件”1张

奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

(11A989

...P(N)=1—P(AUB)=1-[P(A)+P(B)]=1-trU5U+W0j=T000-

故1张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率为9静89.

感悟提升1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用

已知概率的事件表示出来.

2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概

率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是

间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概

率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.

训练2经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率.

解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等

候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5

人及5人以上排队等候”为事件忆则事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

⑵法一记''至少3人排队等候”为事件H,

则H=DUEUF,

所以P(H)=P(DUEUF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)

=1一P(G)=0.44.

||分层训练・巩固提升

|]A级基础巩固

1.下列说法正确的是()

3

A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为]则比赛5场，甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人

一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.天气预报中，预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%

答案D

解析由概率的意义知D正确.

2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张

全是移动卡”的概率是3亦7那么概率是市的事件是()

A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡

答案A

解析由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1

一击3=击7，故"至多有一张移动卡”的概率是言7

3.(2022•太原模拟)已知随机事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,P(8)=0.2,则

P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析•.•随机事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,尸仍)=0.2,.•.P(A)=P(AUB)

-P(B)=0.7-0.2=0.5,/.P(/1)=1-/,(A)=1-0.5=0.5.

4.(多选X2021.武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是:，甲获胜的概

率是上下面结论正确的是()

74

A.甲不输的概率右B.乙不输的概率§

41

c.乙获胜的概率,D.乙输的概率,

答案ABD

解析因为甲、乙两人下成和棋的概率是看甲获胜的概率是点所以甲不输的概

、117

率故A正确；

14

所以乙不输的概率1—5=亍故B正确；

113

所以乙获胜的概率1-5—5=记，故c错误；

所以乙输的概率即为甲获胜的概率是小故D正确，故选ABD.

5.(多选)(2022.重庆诊断)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A="向上的一面出

现奇数点”，事件8="向上的一面出现的点数不超过2"，事件C="向上的

一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有()

A.A8=0

B.BC="向上的一面出现的点数大于3”

C.AB+BC="向上的一面出现的点数不小于3”

D.ABC="向上的一面出现的点数为2”

答案BC

解析由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,3,5；

事件8包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,2；

事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4,5,6.

所以43="向上的一面出现的点数为2"，故A错误；

BC="向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；

AB+BC="向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；

ABC=Q,故D错误，故选BC.

6.(多选)下列说法正确的是()

A.若事件A与B互斥，则AUB是必然事件

B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著

中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E="甲取至《红楼梦》”，

事件尸="乙取到《红楼梦》”，则E与尸是互斥但不对立事件

C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A="向上的点数不大于5”，事件

B="向上的点数为质数”，则

D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2

个样本点

答案BCD

解析对于A,事件A与B互斥时，AU8不一定是必然事件，故A错误；

对于B,事件E与尸不会同时发生，所以E与尸是互斥事件，但除了事件£与

厂之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与尸不是对立事件，故

E与尸是互斥但不对立事件，故B正确；

对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件8={2,3,5),所以3包含于A,故

C正确；

对于D,样本空间。={正品，次品},含有2个样本点，故D正确.

7.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)

概率0.210.160.130.12

则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是.

答案0.25

解析设年降水量在(200,300),(200,250),(250,300)的事件分别为A,B,

C,则A=BUC,且5,C为互斥事件,所以P(A)=P(B)+P(0=O.13+O.12=O.25.

8.若事件A与8是互斥事件，且事件AU8发生的概率是0.64,事件8发生的概

率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为.

答案0.16

解析设P(A)=尤，则P(B)=3x,所以尸(AUB)=尸(A)+P(B)=x+3%=0.64,所

以P(A)=x=0.16.

9.某城市2022年的空气质量状况如下表所示：

污染指数T3060100110130140

111721

概率P

H)63301530

其中污染指数TW50时，空气质量为优；50<T^100时，空气质量为良；100

<TW150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概

率为.

3

答案5

解析由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率P=-1^+1i+1i3=i

10.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1

个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个

球中至少有1个红球},事件。={3个球中既有红球又有白球}.

⑴事件。与A,8是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的积事件是什么事件？

解(1)对于事件。，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，

故D=A+B.

(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球或3个

红球，故CA=A.

11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

第一第二第A-A二-------第四第五第六

电影类型

类英娄美美类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电

影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

⑶电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评

率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的

好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本

中的电影总部数的比值达到最大（只需写出结论）？

解（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2

000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50.

故所求概率为就5=0.025.

（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为1—藏372=0.814.

（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.

||B级能力提升

12.（多选）（2022.海口模拟）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）

随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是（）

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事

件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事

件，A错误；

线路一所需的平均时间为30X0.5+40X0.2