2022-2023学年山西省阳高县校高一年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省阳高县校高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.复数上的虚部是

1+1

A.—B.gC.-iD.—i

2222

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轨复数，化简为复数的标准形式

〃+砥4/WR),匕即为虚部.

I1-i1-iI1.11

【详解】所以复数所的虚部是一子

2.设向量4=(2,1),b=(3,w),a-Lb<则机=()

313

A.-6B.—C.—D.一

262

【答案】A

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.

【详解】由题意，a-b=6+m=0<即加=-6.

故选：A

3.如图，在正方体ABCD-AMGA中，点瓦尸分别为棱AB和AA)上的中点，则异面直线EF与8。

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【分析】连接48、AtD,即可得到48//EF,从而NAB。即为异面直线E尸与8。所成角，再根据

正方体的性质看得到一AtBD为等边三角形，即可得解；

【详解】解：如图连接48、A,。，因为点E、F分别为棱A8和44上的中点,

所以A8//EF,

所以NAB。即为异面直线收与8。所成角，

在正方体中A/。为等边三角形，所以乙4,8。=60。,

即异面直线EF与8。所成角为60。；

故选：B

4.已知某圆锥的高为3,底面半径为&,则该圆锥的侧面积为（）

A.，5万万B.2J557C.2万D.6万

【答案】A

【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.

【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为乃＞＜亚*屈工=后乃.

故选：A.

5.记」ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=屈,4=f，B=空,则。=（）

412

A.3#＞B.3C.D.2

【答案】B

【分析】利用正弦定理求解.

1T

【详解】解：由题意得C="—A—B=§,

,十廿》9/口ca,口nsinC③

由正弦定理得一^=^-倚。=一一—=3.

sinCsinAsinA

故选：B

6.如图，边长为2的正方形AB'CD是用斜二测画法得到的四边形A8CD的直观图，则四边形A8CD

的面积为（）

A.3&B.6夜C.4>/2D.8夜

【答案】D

【分析】由斜二测画法确定平行四边形ABC。相关边长及对应高，即可求面积.

【详解】由直观图知：四边形ABC。中45=2,且其对应高〃=20'。'=40,

所以四边形A8C。的面积为2x40=8五.

故选：D

7.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2：3：5.现用比例分配的分层随机抽样

方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根据抽样比即可求解.

3

【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为50==15,

故选：B

8.《易经》是中国文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），

每一卦由三根线组成表示一根阳线，■■表示一根阴线），从八卦中任取两卦，

这两卦中阳线之和为4的概率（）

天

D-.

【答案】B

【分析】首先得到。根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根阳线的有三卦，3根阳线的有一卦,

再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：由图可知有0根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根阳线的有三卦，3根阳线的有

一卦，

记1根阳线的分别为。、b、c,2根阳线的分别为A、B、C,3根阳线的为3,

从八卦中任取两卦，一共有三=28种，

其中满足阳线之和为4的有(。,3),其3),(c,3),(AB),(AC),(B,C)共6种，

故两卦中阳线之和为4的概率=i

故选：B

二、多选题

9.下列命题不正确的是()

A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面

C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面

【答案】AC

【分析】利用立体几何的3个公理与推论即可判断出答案.

【详解】对于A选项：若3点在同一直线上时，则不能确定一个平面.错误；

对于B选项：两条相交直线确定唯一一个平面.正确；

对于C选项：当点在直线上时，则不能确定一个平面.错误；

对于D选项：两条平行直线确定唯一一个平面.正确；

故答案为：AC.

10.下列关于直线/,点A,B与平面a的关系推理正确的是()

A.Ael,Aea,Bel,Bwa,nlua

B.Aea,Ae尸，B&a,Be乃,=ac/?=A8

C.l<za,Ael,=>A^a

D.Ael,Ic:a,=>Aea

【答案】ABD

【分析】对于选项A,可推出/uc,所以选项A正确；

对于选项B,A,8两点必定在a与夕交线上，所以可得到aJ3=AB,所以选项B正确；

对于选项C,点A可以在直线/与平面。的交点处，即ac/=A,所以选项C错误；

对于选项D,A必定在平面。内，所以可得到Aea,所以选项D正确；

【详解】解：由题意可知，

对于选项A,A,B两点均在直线/上，且A,B两点均在平面内a,则可推出/ua,所以选项A

正确；

对于选项B,A,8两点既在a内，又在夕内，则必定在a与4交线上，所以可得到a/3=AB,

所以选项B正确；

对于选项C,点A在直线/上，但是直线/不在平面a内，则点A可以在直线/与平面a的交点处，

即=所以选项C错误；

对于选项D,点A在直线/上，直线/在平面a内，则A必定在平面。内，所以可得到Aea,所以

选项D正确；

故选：ABD.

11.某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校

本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图①，

展类质类好类

①②

则下列说法正确的是（）

A.抽取的样本容量为6000

B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050

C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36,则a=70

D.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500

【答案】BD

【分析】根据饼图、条形图及分层抽样的性质分析各项的正误即可.

【详解】A：抽取的样本容量为6000x2%=120人，错误：

B：该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为6000x35%x50%=1050人，正确；

C：抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36,则120x40%xa%=36,则a=75,错误;

D：由饼图知：1一35%-40%=25%,则6000x25%=1500人，正确.

故选：BD

12.下列四个命题中错误的是()

A.若事件A,B相互独立，则满足P(AB)=P(A)P(B)

B.若事件4,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+P(8)+P(C)=1

D.若事件A,8满足P(4)+P(3)=l,则A,B是对立事件

【答案】BCD

【分析】A选项，事件A,8相互独立，则满足P(A8)=P(A)P(B)；BCD可举出反例，说法错误.

【详解】若事件A,B相互独立，则满足P(AB)=P(A)P(8),A说法正确；

举例说明：投掷两个骰子，记事件4第一个骰子的点数为奇数，

事件后第二个骰子点数为奇数，

事件C：两个骰子的点数之和为奇数，

于是有P(A)=P(8)=P(C)=pP(AB)=P(BC)=P(AC)=：,

P(ABC)=O,可以看出事件A,8,C两两独立，但4,8,C不互相独立，所以P(ABC)丰P(4)P(8)P(C),

B说法错误；

举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1,

事件3：第二次骰子点数为2,

事件C：第三次骰子点数为3,

则P(A)=P(8)=P(C)=J

O

事件A,B,C被此互斥，则尸(A)+P(B)+P(C)wl,C说法错误；

举例说明：记事件4投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，

事件&投掷一枚硬币，正面朝上，

则P(A)=P(B)=g,满足尸(A)+P(3)=l,但A,B不是对立事件，

D说法错误.

故选：BCD

三、填空题

13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为

【答案】7

【分析】由百分位数的定义直接求解

【详解】因为9x75%=6.75,

所以75%分位数为第7个数7,

故答案为：7

14.己知事件A、B互斥，且事件A发生的概率尸(A)事件B发生的P(B)=-,则事件A、

45

B都不发生的概率是.

【答案】

【分析】事件4、8互斥，事件48都不发生的对立事件是事件A与5至少有一个发生,由此即可求出

答案.

【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率P(A)=9，事件B发生的P(B)

事件43都不发生的对立事件是事件A与B至少有一个发生，

所以事件A1都不发生的概率为：尸(,豆)=1-尸5①8)=1-，+：)=4.

故答案为：点.

15.已知轮船A在灯塔8的北偏东45。方向上，轮船C在灯塔8的南偏西15。方向上，且轮船A,C

与灯塔B之间的距离分别是10千米和104千米，则轮船A,C之间的距离是千米.

【答案】10"

【分析】根据题意作出图形，再利用余弦定理求解作答.

【详解】依题意，如图，在.ABC中，AB=10,BC=10>/3,NABC=180-45+15=150,

100+300-2x10x10^x(-^)=10币,

由余弦定理得:ACyjAB2+BC2-2ABBCcos^ABC^

所以轮船A,C之间的距离是10"千米.

故答案为：io>/7

16.如图，三棱锥P—ABC的底面ABC的斜二测直观图为二A'3'C',已知底面ABC,PB=B

A'D'=D'C,AO^O'B'=00=\,则三棱锥P-43c外接球的体积V=.

.小心、125万，125

【答案]

66

【分析】先由斜二测画法得NA8C=]TT,再结合P3J_底面ABC求出外接球半径，即可求解.

由题意得。。〃B'C,且O'D'=1B'C.所以由斜二测画法得，在原图_ABC中，ZABC=g,A3=2,

22

8C=4,

所以三棱锥P-ABC外接球的半径r=JAB+Bb+PB?5n243125万

则Vu=W

2236

1254

故答案为:

6

四、解答题

17.若a,b，c是同一平面内的三个向量，其中〃=(3,-I).

(1)若H=2jid,且“〃c,求c的坐标；

⑵若W=萼且4+2〃与2a”垂直，求”与人的夹角e.

【答案】⑴c=(6,-2)或c=(-6,2)

(2)6=%

【分析】(1)设c=(x,y),则由a〃c可得x+3y=0,再由上|=2加，得了2+/=40,解方程组可

求出乂儿从而可求出c的坐标;

(2)由4+2匕与2a—人垂直，可得0+2斗体」)=0化简可求得”./,=_5,从而得cos6=—l,进

而可求出e

【详解】(1)设c=(x,y),a//c,〃=(3,-1),,x+3y=0,

2

又卜卜2加，X+/=40.

x=6x=-6

解得:1或

,y=2

c=(6,-2)或C=(-6,2)

(2)邛卜芈且a+26与垂直，

(a+2».(2a-»=0,即2a*+3°为_2//=0.

又忖=而，代入上式解得〃心=-5，

|«||/>|cos0=\/i()x^^cos0=-5

cos0=-l,

又夕€[0,幻，。=万.

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。为菱形，PB=PD,E,尸分别为A8和PD的中点.

(1)求证：EF〃平面PBC；

(2)求证：平面PBOJ_平面P4C.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)取PC的中点G,连接FG,BG,则FG为中位线，根据题意，可证明四边形8£FG是

平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；

(2)设468£>=0,连接尸O,根据题意可证BO_LP。，BDLAC,利用面面垂直的判定定理，即

可得证.

【详解】证明：Q)取PC的中点G,连接尸G,BG,如图所示:

是的中点，

C.FG//CD,S.FG=-CD,

2

又•.•底面ABC。是菱形，E是48中点，

C.BE//CD,且BE」。，

2

：.BE//FG,且BE=FG,

四边形BEFG是平行四边形，

：.EF//BG,

又EFC平面PBC,8Gu平面P8C,

...EF〃平面PBC：

(2)设ACnBQ=。，则。是8。中点，连接P。,

:底面A8CZ)是菱形，

J.BDLAC,

又.：PB=PD,。是中点，

：.BD±PO,

又ACCIPO=O,ACu平面附C,POu平面B4C,

.•.801.平面PAC,

平面PBD,

平面PBO_L平面PAC.

【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能

进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.

19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第

1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,得到的频率

分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”,

且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.

(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至

少有一人是“优秀”的概率是多少？

【答案】(1)中位数为等，平均数为87.25；(2)・

【分析】(1)计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x,进而根据(x-85)x0.06=0.1求解，

根据平均数的计算方法计算即可得答案.

(2)由分层抽样得良好”的学生有2人，“优秀”的学生有3人，进而根据古典概型求解即可.

【详解】解：(1)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三章的频率为0.30,第四组的频

率为0.20,第五组的频率为0.10,

所以中位数在第三组，不妨设为x,则(x-85)x().06=0.5-0.()5-().35,解得》=85+?=等，

平均数为77.5x0.05+82.5x0.35+87.5x0.3+92.5x0.2+97.5x0.1=87.25；

(2)根据题意,“良好”的学生有40x0.4=16人,“优秀”的学生有40x0.6=24人,

所以分层抽样得“良好”的学生有5x^=2人，“优秀，，的学生有5x±=3人，

将三名优秀学生分别记为AB,C,两名良好的学生分别记为6,

则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab10种，

其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：/18,4。,8。,4必公及’,劭,。,。。共9种，

所以至少有一人是“优秀”的概率是P=K

20.如图，四棱锥P-ABCZ)中，侧面皿>为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=^AD,

ZBAD=ZABC=90°,E为A"的中点.

(1)证明：PELAB；

⑵若.孙。面积为百，求点。到面PAC的距离.

【答案】(1)证明见解析;

【分析】(1)由平面%£>!■平面ABC。，根据面面垂直性质定理证明PEJ-平面ABGD,由此证明

PE1AB,(2)根据锥体体积公式结合等体积法求点。到面PAC的距离.

【详解】(1)在等边三角形P4D中，E为AO的中点，所以PE1AZ),

平面ED_L平面A5CQ,平面RLDc面ABC£>=AD,PEu平面PAD,

/>£，平面钻0

；A3u平面458,

；•PEYABx

(2)：一.«4£>面积为G，,AD=2,PE=6

•：AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°,：.AB=BC=l

2

在中，M=2,AC=&，PC=2,

所以SPAC=—xACx^^-=—Xy/2x^^-=^-9

22222

SACD=gxADxCE=1,

设点。到面PAC的距离为h,则％_AC"=gXSAC。xPE=；xSPACXh,

/./?=3包，即点。到面PAC的距离为如互

77

21.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球

3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为g,乙每次投篮投中的概率为且各次投篮互不影响.

⑴求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

【答案】⑴成

【分析】(1)根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；

(2)写出投篮结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.

【详解】(1)设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(4)=；，P(B,)=g,g,2,

3),记“甲获胜”为事件c,则P(C)=P(A)+P(AGA)+P(A耳4瓦A)

=p(a)+p(A)尸(瓦)外4)+尸(A)尸(A)p(A)p(瓦)p(4)

1211

X—X-+

3323图、出彳哮

(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.

则P(D)=P(A可还2)+P(AA/瓦A3)

=p(A)p(瓦)P(4)P(B2)+P(A)P(E)P(A)P(瓦)尸(4)

22.已知AABC的角A,B,C的对边分别为〃，b,