2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题(三)(含解析)

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.直线/过点2）且倾斜角为则直线/的方程为.

【正确答案】x=l

【详解】•.•直线/过点P（l,2）且倾斜角为

二直线/的方程为

故x=l

2.若C：°=C：,则的值为.

【正确答案】20

【分析】通过已知得出〃的值，即可利用公式计算得出答案.

【详解】c：=c，

n\_n\

10!（n-10）!-9!（n-9）!（即1。=〃-9,

/.H=19,

故20.

3.已知一个圆锥的底面积为TT,侧面积为2兀，则该圆锥的体积为.

【正确答案】叵

3

利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的

母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.

兀r1=TCI7*=1

【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为一，儿/，则，.解得7）所以力=6.

7irl=24U=2

圆锥的体积v=gsh=画.

33

故叵

3

考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.

4.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位:

cm）：152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,

170,171.x,176,178,若样本数据的85百分位数是173,则x的值为.

【正确答案】175

【分析】根据百分位数的意义求解.

【详解】第85百分位数是173,因为20x0.85=17,所以空^=173,x=175

故175

5.已知直线/的一个方向向量为，：(1,2,-1),平面a的一个法向量为优(5,x,3),若///a,

则实数.

【正确答案】-1

【分析】通过己知得出即可利用垂直向量的数量积为零列式求解.

【详解】〃/a,

八Z

dJ.〃，

=5+2%-3=0，

解得x=-l,

故答案为.-1

6.如图，已知正三棱柱48C-44G的底面边长为1cm,高为5cm,一质点自A点出发，

沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路线的长为.

【正确答案】而

【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.

如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=必备=标

故如

7.设有4位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志

愿者，则四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是.(结果用最简分数表示)

3

【正确答案】—

32

【分析】先根据分步乘法原理得4位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检测点都有志愿

者的情况，再根据古典概型公式求解即可.

【详解】由题知，4位志愿者到核酸点位的可能性共有"=4x4x4x4=256种，

其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有加=A：=24种，

所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是P='=9.

n25632

故答案,为.以3

8.平面直角坐标系内，点/(1,2)、8(6』4)到直线/的距离分别为4和9,则满足条件的直线

/有条.

【正确答案】3

【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出

两圆公切线的条数，即是直线/的条数.

【详解】由已知可把直线/看成是以4(1,2)为圆心，4为半径的圆的切线，

同时是以8(6,14)为圆心，9为半径的圆的切线，

由于两圆圆心距|第=J(6-l)2+(14-2)2=13=4+9,所以两圆相外切，

根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线/有3条.

故3.

9.我们知道：C：=CW+C3,相当于从两个不同的角度考察组合数：①从〃个不同的元

素中选出m个元素并成一组的选法种数是C"②对"个元素中的某个元素A,若A必选，

有种选法，若A不选，有C3种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述

思想化简下列式子：

2

C°C；；+Ci，C™''+C^C™'++CfC：M=（l<A<w<H,wsneN）.

【正确答案】C，

【分析】根据题意，分某4（14左<〃?《〃,〃?、〃eN）个元素中选取个数为0,1,2,3,，女讨论求解

即可得答案.

【详解】根据题意，从〃+%个不同元素中选出m个元素并成一组的选法种数是C：；.,

若对其中的某k（\<k<m<n,mjtGN）个元素分别选或不选，

则%（14后〈加4〃,〃?、”eN）个元素一个都没有选，有C：C：种选法；

有一个元素被选取，有C：C丁种选法；

有两个元素被选取，有C；C；2种选法；

有三个元素被选取，有种选法；

有左个元素被选取，有种选法；

所以C；“=C：C：+C；C：i+C；C：2++C：C：*,（14%<切《〃,〃?、〃eN）,

故答案为.C，

10.已知/（X1,必）、8（工2，%）为圆/：f+y2=4上的两点，且xtx2+必为=-2,设尸（/,乙）为

弦4B的中点，则|3%+4%-10|的最大值为.

【正确答案】15

【分析】由%七+必为=-2可知N/〃B=120。，则|网=1,可得P点轨迹为圆.

又|3x（）+4%-10|=田'5,求出圆上一点到直线3x+4y-10=0距离的最大值即可.

【详解】注意到牍1=（占,"）山8=区,8）,

则玉%2+M%=MA-MB=\^1A“必81cosZAMB=-2,又画=画=

则Z4W5=120°,又由垂径定理可知，ZAMP=60°,贝U|网=2cos60°=1.

故尸点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.

注意到|3/+”0—]0]」3%；4y°：10[§,表示尸到直线3x+4y-10=0距离的5倍，又圆上

一点到力+”-1。=。距离的最大值为：X|-10|+I,

则|3x0+4%-10|的最大值为15.

故15

y-

3x+4y-10=Z

11.在直三棱柱/8C-44G中，AB=BC=AC=a,例=6,若该三棱柱的六个顶点都

在同一个球面上，且4+6=2,则该球的表面积的最小值为.

【正确答案】苧

如图所示：。…a分别为△//£和48c的中心，易知球心。为。&中点，—

7

S=4乃

n士〒，得到答案.

【详解】如图所示：g,。2分别为△44G和4BC的中心，易知球心。为OQ中点，

在必△/0。2中：AO.=—a，00?=g,故R=J4+上，

当a1,6=g时等号成立.

本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

12.如图，正方体的棱长为1,P为的中点，”在侧面上，若

D.M±CP,则丛BCM面积的最小值为.

【分析】取的中点N,4。的中点。，连接D\Q,QN,B、N,AC,容易证得“1平面

D、QNB,,要使CPYD.M,进而得MwB、N,进而得当BM，8户时，BM最小，此时,丛BCM

的面积最小，再根据几何关系求解即可.

【详解】如图，取48的中点N,的中点。，连接D\Q,QN,B,N,4c.

由于C尸在面内的射影为/C,QNrAC,故。N1CP

因为CP在面内的射影为。P,D.Q1DP,所以0QJ.CP.

又D、QcQN=Q,所以CPJ.平面DiQNB、.

要使CP1D.M,必须点M在平面DQNB、内,

又点M在侧面AA\B[B内,

所以点M在平面RQNB、与平面AA^B的交线上，即“eB、N.

因为。，平面488圈，8Mu平面N88/,所以CB18M,

所以SBCM=；XCB*BM

当时，8M最小，此时，△5CW的面积最小.

又BB\=1,BN=g,故B、N=&

212

,x1亚

由Rt8RN的面积可得/=丁,

T

所以s=Lix亚=逝

2510

V5

故

10

关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求”的轨迹，即

M—进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.

二、单选题

13.“团=2是"直线2x+my+l=0与直线加x+2y-l=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【正确答案】D

根据两条直线平行的条件以及充要条件的定义可得答案.

【详解】因为直线2x+〃"+l=0与直线mx+2y-l=0平行等价于2x2-m2=0且

2x（—1）—m0,即泄=2,

所以"=2是"直线2x+wy+l=0与直线机x+2k1=0平行”的充要条件.

故选：D

结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若P是4的必要不充分条件，则4对应集合是P对应集合的真子集；

（2）。是q的充分不必要条件，则p对应集合是4对应集合的真子集；

（3）。是q的充分必要条件，则p对应集合与4对应集合相等；

（4）。是q的既不充分又不必要条件，1对的集合与p对应集合互不包含.

14.设A,B是两个事件，以下说法正确的是（）

A.若P（/）+P（8）=l,则事件A与事件8对立

B.若一（Z）+P（8）=l,则事件A与事件B互斥

C.若P（/B）=P（A）+P（B）,则事件A与事件B互斥

D.若P（/c8）=P（/）P（8）,则事件A与事件B相互独立

【正确答案】D

【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可

【详解】对于A,B：例如抛掷一枚均匀的骰子，

记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现1点或2点或3点”，

则P（/）=0.5,尸（8）=0.5,P（4）+P（B）=1,

但事件A,8既不互斥也不对立，故A,B错误；

对于C：在不同的试验下，即使尸（/5）=尸（/）+尸（8）,也不能说明事件A与事件8一定

互斥，故C错误；

对于D：根据相互独立事件的定义可知：

若尸（ZC8）=P（/）尸（8）,则事件A与事件8相互独立，故D正确;

故选：D

15.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和.已知％=-4,%=；，则数列｛，｝（）

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

【正确答案】D

【分析】求出公比q,求出s.，然后分析｛s“｝的性质即可.

【详解】设公比为/则+[，4=-；，

当〃为偶数时，$“=一|]-却对应函数为减函数，即S2>S4>S6>

当”为奇数时，S“=-|（l+£），对应函数为增函数，即E<S3Vs5V<-|,

所以电,｝有最大项为邑，最小项为S.

故选:D.

本题考查等比数列的前〃项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得S,后按奇偶数分类,

QQ

得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最

33

值.

16.在三棱台44G-48C中，点。在4片上，且N4//8。，点”是三角形44G内（含

边界）的一个动点，且有平面8OM//平面N/CG，则动点M的轨迹是（）

A.三角形44G边界的一部分B.一个点

C.线段的一部分D.圆的一部分

【正确答案】C

【分析】过。作。E//4G交于E，连接"，证明平面5DE//平面44CC，得MGDE,

即得结论.

【详解】如图，过D作DE〃4a交B£于E,连接8E,

BD//AA,,平面44。0,44u平面44℃,所以8。//平面44。0,

同理。£7/平面Z4GC,又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面5DE〃平面44。。，所以"eOE,（M不与。重合，否则没有平面）,

故选：C.

三、解答题

17.（1）若直线《过点P（T,2）,且与直线3x-4y+5=0垂直，求直线人的方程;

（2）若直线4过点。（1，-2）,且与圆/+/=］相切，求直线4的方程.

【正确答案】⑴4x+3y-2=0；⑵x=l或3x+4y+5=0.

【分析】(1)根据垂直列出直线4的方程，代入「(-1,2),求出直线4的方程；

(2)考虑直线4的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出直

线方程.

【详解】(1)设直线4：4x+3y+C=O,将尸(-1,2)代入得：-4+6+C=0,解得：C=-2,

故直线4的方程为4x+3y-2=0；

(2)当直线人的斜率不存在时，x=l，此时与圆/+/=1相切，满足要求,

当直线4的斜率存在时，设直线/2：y+2=%(x-i),则圆心到直线距离将"=1,

V1+A'

3

解得：k=——,

4

故直线/2i+2=-胪-1)，整理得：3x+4尸5=0,

故直线4的方程为“1或3x+4y+5=0.

18.如图，四棱锥P-/8C。的底面为菱形，PZ)_L平面为8c0,PD=AD=2,

48/0=60。，E为8C的中点.

(1)求证：£0_1_平面尸/。；

⑵求点C到平面的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵浮

【分析】(1)根据题意得到DE1AD,PDLDE,再根据线面垂直的判定即可证明.

(2)利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)连接B。，如图所示:

因为底面为菱形，ABAD=60°,所以△8CD为等边三角形，

又因为E为3c的中点，所以QE,8c.

因为/O//8C,所以OE工ZO.

又因为尸£>_1_平面48C£),DEu平面4BCD,所以尸OJ.OE.

因为尸。C4D=D,所以E£>_L平面P/D.

(2)以。为原点，D4,Z)£,DP分别为xj,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

P（0,0,2）,A（2,0,0）,8（1,a,0）,C（-l,V3,0）,

PA=（2,0,-2）,/建（-1,0,（）），。/=（3,一百,0）

设平面218的法向量〃=(x,y,z),

PA=2x-2z=0

则<,Y令y=l,解得；二(6,1,百),

n-AB——x+v3y=0

19.已知圆C经过/(0,1),B(4,a)(a>0)两点.

(1)如果是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除力外的另一个定点,

求出这个定点坐标.

(2)已知点A关于直线y=X-3的对称点H也在圆C上，且过点B的直线/与两坐标轴分别

交于不同两点M和N,当圆C的面积最小时，试求忸M|*N|的最小值.

【正确答案】(1)证明见解析，定点为(4,1)

(2)网矶,=8

【分析】(1)设点尸(x,y)是圆C上任意一点，由是圆C的直径，得/方:必:0,从而

可求出圆。的方程，即可得出结论；

(2)根据题意可得点C在直线y=x-3上，要使圆C的面积最小，则圆C是以44'为直径

的圆，从而可求出圆C的方程，进而可求得8点的坐标，设出直线/的方程，分别求出

的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解.

【详解】(1)设点尸(X/)是圆C上任意一点，

因为48是圆C的直径，所以/P8尸=0，

即口/_1>(》_4,'_")=耳工-4)+('_1)(、_a)=0,

所以圆C的方程为：x(x-4)+(y-D(y-a)=0,

则x=4,y=l时等式恒成立，故定点为(4,1),

所以无论a取何正实数，圆C恒经过除工外的另一个定点，定点坐标为(4,1)：

(2)因点/关于直线y=x-3的对称点4也在圆C上，

所以点C在直线y=x-3上，

又圆C的面积最小，所以圆C是以44,直径的圆，

设过点Z与直线N=x-3垂直的直线方程为少=-x+1,

由方程组［；：二:［得”2,-1),则|/C|=7(2-0)2+(-1-1)2=272

所以圆C的方程为(x-2『+(y+i『=8,

当x=4时，a=l或a=-3,又a>0,所以a=l,即8(4,1),

由题意知直线1斜率存在且不为零，设直线I的方程为V-1=〃(x-4),

当x=0时、=1一4左，当y=0,x=4--,

k

所以1|•18N|=J16+16公•Jl+2="以+'+2>4/2后.*[=&,

（当且仅当公=A，即k=±1时取等号）

则当*=±1时，忸叫•忸M*=8

20.正X5C的边长为4,C。是工3边上的高，£尸分别是/C和8c边的中点，现将ABC沿

CO翻折成直二面角Z-OC-8.

(1)求证：直线NB平面。EF；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P,使NPJ.OE?若存在，请指出尸点的位置，若不存在，请

说明理由.

【正确答案】(1)证明过程见详解

⑵亘

7

(3)存在，靠近a的三等分点

【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线

平行，再利用线面平行判定定理确定；

(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐

标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求

二面角为锐角即可得出结论：

(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐

标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点P的位

置，进而求解.

【详解】(1)如图，在/8C中，由瓦f分别是NC、8c中点，得EF//4B,

又（Z平面DEF,EFu平面DEF,:.AB平面DEF.

（2）由题知，ADVCD,平面平面5DC,且交线为。C,

平面因为5D,Z）Cu平面53C,所以49,8Z）,DC,

又已知8。_^。，.・.3,8。,。＞两两垂直，以点O为坐标原点，直线。8、OC、D4为x轴、歹

轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则4（0,0,2）,5（2,0,0）40,2百,0）,网0,31）,尸（1,戊0）

平面CZ）厂的法向量为1（0,0,2）,设平面比）户的法向量为与=（x,弘z）,

TX

cos<DA,n>=

••・二面角石-。厂-C的余弦值为叵.

7

（3）设P（*J,0）,因为则4P―七=扬一2=0,.•.歹=得~

又8P=（x_2,y,0）,PC=bx,27J_y,0）,

BP//PC,1.（x—2）（2百一。二-xy9:.y/3x+y=2^3,

7/T4■,*i

把夕=把代入上式得x=—BP=—BC,

,333

在线段8c上存在点尸〔右乎,0,即靠近B的三等分点，使/尸，。及

21.设各项均为整数的无穷数列｛?｝满足4=1,且对所有“eN*,旧川-凡|=〃均成立.

(1)求6+出