2021-2023年高考数学真题分类汇编13 不等式、推理与证明

专题13不等式、推理与证明

知识点目录

知识点1：推理问题

知识点2:线性规划问题

知识点3:不等式大小判断问题

知识点4：利用基本不等式求最值

知识点5：解不等式

近三年高考真题

知识点1：推理问题

1.（2022•乙卷（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行

的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列也,｝：4=1+‘，"=i+__L^,

%4+工

a2

4=1+-----—，…，依此类推，其中=2,...）.则（）

«i+----j-

Q,H--

A.4<&B・b3VbsC.b6<b2D.bA<b-j

2.（2021•新高考I）某校学生在研究民间剪纸艺术时•，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规

格为20而x12面的长方形纸，对折1次共可以得到10而,20如x6向两种规格的图形，它们的面

积之和，=240dm2,对折2次共可以得到5dmx12加7,10dmx6而z,20Q九三种规格的图形，它们的

面积之和S?=180曲?2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为,那么

£Sk=dm'

&=1

知识点2:线性规划问题

x—2..0,

3.（2022•浙江）若实数x,y满足约束条件，民+y—7”0,贝ijz=3%+4y的最大值是（）

Jc-y-2,,o,

A.20B.18C.13D.6

x+y..2,

4.（2022•乙卷（文））若x,y满足约束条件x+2为4,则z=2x-y的最大值是（）

y..O,

A.-2B.4C.8D.12

jc+1..0

5.（2021•浙江）若实数x,y满足约束条件<r—y,,0,则2=%一,丫的最小值是（）

?x+3y-l,,0

3

A.-2B.--C.--D.—

2210

x+y..4,

6.（2021•乙卷（理））若x,y满足约束条件<x-y,,2,则z=3x+y的最小值为（）

、以3,

A.18B.10C.6D.4

<3x-2y„3,

7.（2023•甲卷（文））若x,y满足约束条件，-2x+3y,,3,贝1」2=3犬+2y的最大值为__________

x+y.J,

x-3%—1

8.（2023•乙卷（文））若x,y满足约束条件，x+2%9,贝ijz=2x-y的最大值为__________.

3x+y..7

-2x+3y„3

9.（2023•甲卷（理））设x,y满足约束条件3x-2y„3,设z=3x+2y,则z的最大值为___

x+y.A

10.（2022•上海）0,x+y-L.O,求z=A：+2y的最/卜值_________.

%,3

11.（2021•上海）已知（2x-y-2..O,z=x--y,则z的最大值为__________.

3x+y-8..0

知识点3：不等式大小判断问题

12.（2022•上海）若实数a、6满足。>b>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+b<2\[abC.—+2h>2\[ahD.—+2/?<2\[ab

22

13.（2022•上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

14.（2021•上海）已知两两不相等的王，y,x2,y2,x3,%,同时满足①x<y,x2<y2,x3<y3；②

x]+y]=x2+y2=x3+y3；③+七%=2工2%，以下哪个选项恒成立（）

A.2X2<X1+X3B.2X2>X1+X^C.X1<x,x3D.>xxxy

知识点4：利用基本不等式求最值

15.（2021•乙卷（文））下列函数中最小值为4的是（）

.4)

A.y=x2+2x4-4B.y=|sinx|+-----C.y=2A+22xD.y=lnx+—

|sinx|Inx

16.（多选题）（2022•新高考n）若x,y满足f+y2一肛=],则（）

A.x+y,,lB.x+y.-2C.x2+y2„2D.x2+y2..1

17.（2023•上海）已知正实数〃、人满足a+4b=1,则"的最大值为.

18.（2021•天津）已知a>0,Z?>0,则二+/?的最小值为.

ab2

19.（2021•上海）已知函数/（%）=3*+—^3>0）的最小值为5,则。=__________

3“+1

知识点5:解不等式

20.（2021•上海）不等式生至<1的解集为__________

x—2

21.（2022•上海）不等式的解集为

专题13不等式、推理与证明

知识点目录

知识点1：推理问题

知识点2：线性规划问题

知识点3:不等式大小判断问题

知识点4：利用基本不等式求最值

知识点5：解不等式

近三年高考真题

知识点1：推理问题

1.（2022•乙卷（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行

的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列仍,,}:4=1+',历=1+」;，

a2

4=1+.....—，依此类推，其中&eN.（k=l,2,...）.则（）

A.<b5B.b3cb$C.b6<b2D.bA<bn

【答案】D

【解析】■.4£N,(Z=1,2,.•.可以取4=1,

则4=1+一=2,

4=1+—j-=

4=1+

]8

方4=1+

i+^r5

i+「

14--

1

々=1+------^-j---1-3

T

1+J

1+-

1

121

%=i+75

y

1

34

4=1+

21

1

155

+--------

34

1+-

1+

]

1+年

1

，白>么，故A错误；故B错误；bh>b2,故C错误；b&vbj,故£>正确.

故选：D.

2.（2021•新高考I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规

格为20曲7X12而2的长方形纸，对折1次共可以得到10（。7?><12^历2,20血2X&ZF77两种规格的图形，它们的面

积之和S、=240dM,对折2次共可以得到5dmx12dm,TOdmx6dm,2Gdmx3dm三种规格的图形，它们的

面积之和$2=180而?2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为，那么

n

»k=dm2

k=\

【答案】5；240（3—展）.

3355

【解析】易知石20dmx—dm,10dmx—dm,5dmx3dm、一dmx6dm,—dmx12dm,共5种规格；

4224

由题可知，对折A次共有A+1种规格，且面积为竽，故耳=240,+1）

则为「24（这祟,记7；=之誓，贝日7>£资，

hlk=\NJt=lzN*=1N

公（1-）〃+l3〃+3

=14--t--------上-----------=----------

12向22n+]

1—

2

.y=3-耍,

..羽=240（3-竽.

&=|2

故答案为：5；240（3-耍）.

知识点2：线性规划问题

X-2..0,

3.（2022•浙江）若实数x,y满足约束条件，2x+y-7,,0,则z=3x+4y的最大值是（）

X—y—^,,0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

x—2..0,

【解析】实数x,y满足约束条件，2x+），-7,,0,

x-y-2,,0,

则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

由已知可得A（2,3）,

由图可知：当直线3x+4y-z=0过点A时，z取最大值，

贝Uz=3x+4），的最大值是3x2+4x3=18,

故选：B.

【答案】C

【解析】作出可行域如图阴影部分所示,

由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x-y取得最大值，且最大为8.

故选：C.

X+1..0

5.(2021•浙江)若实数x,y满足约束条件x-y,,0，则z=x-'y的最小值是()

2x+3y-l,,0

311

A.-2B.--C.--D.—

2210

【答案】B

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立卜1=°,解得A(-l,l),

化目标函数z=x-gy为y=2x-2z,由图可知，当直线y=2x-2z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为

x+y.A,

6.（2021•乙卷（理））若x,y满足约束条件「-%2,则z=3x+y的最小值为（

y„3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立口=3,解得A（I,3）,

［尤+y=4

由z=3x+y,得y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3x+z过A时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3xl+3=6.

故选：C.

3x-2y„3,

7.（2023•甲卷（文））若x,y满足约束条件2x+3y,,3,则z=3x+2y的最大值为

x+y..1,

【答案】15.

3工-2%3,

【解析】作出不等式组卜2冗+3%3表示的平面区域，如图所示,

y..l,

由z=3x+2y^y=-^x+^,

则]表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，

结合图形可知，当直线y=-?x+三经过点A时，z最大，

22

联立[3x-2y=3可得43,3),此时z取得最大值15.

[-2x+3y=3

卜一3%—1

8.(2023•乙卷(文))若x,y满足约束条件卜+2%9,则z=2x-y的最大值为

[3x+y..7

【答案】8.

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：

由z=2x-y可得y=2x-z,

则-z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，截距越小，z越大，

结合图形可知，当y=2x-z经过点A时，Z最大，

由可得y=2,x=5,即A(5,2),

此时z取得最大值8.

故答案为：8.

—2x+3y,,3

9.（2023•甲卷（理））设x,y满足约束条件3x-2y,,3,设z=3x+2y,则z的最大值为

x+y.A

【答案】15.

—2.x+3为3

【解析】由题意，作出X,y满足约束条件3x-2y,,3表示的平面区域，如图中阴影部分所示,

x+y..1

目标函数z=3x+2y,可化为直线y=-|喈,

不一可得x=3

由

y=3'

即43,3),

当直线丫=-^X+］过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值,

代入可得ztnax=3x3+2x3=15.

故答案为：15.

10.（2022•上海）x-y„0,x+y-\..O,求z=x+2y的最小值.

【答案】

2

【解析】如图所示:

山x-y,,O,x+y-L.O,可知行域为直线x-y=0的左上方和x+y-l=0的右上方的公共部分,

、-，可得,

联立y=°即图中点A（g,；）,

x+y—1=0

当目标函数z=x+2y沿着与正方向向量a=（1,2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值,

即目标函数z=x+2y过点A（1，3时，取最小值：1+2x1=-.

22222

故答案为：--

2

苍,3

11.（2021•上海）己知,2x-y-2..O,z=x—y,则z的最大值为

3x+y-8..0

【答案】4.

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：y=x-z,其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距的相反数,

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点8处取得最大值，

以"”/方程：「二3.点的坐标为：8(3,7).

[3x+y-8=0

据此可知目标函数的最大值为：2“皿=3-(-1)=4.

故答案为：4.

知识点3:不等式大小判断问题

12.（2022•上海）若实数a、匕满足〃>匕>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+h<2\[ahC.—+2b>2\labD.—+2b<2>/ab

22

【答案】A

【解析】因为a>b>0，所以a+b..2\/^,当且仅当a=6时取等号，

又a>6>0,所以a+6>24^,故A正确，B错误，

-+2b..2.-x2b=2^,当且仅当3=2"即a=46时取等号，故8错误，

2V22

故选：A.

13.（2022•上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

【答案】B

【解析】对于A,令a=2,b=1,c=—1,d=—2♦满足a>Z?>c>d，但a+d=b+c，故A错误，

对于3，a>b>c>d,即a>Z?,c>d>

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故3正确，

对于C,令。=2，b=l,c、=—1,4=—2,满足a>Z?>c>4,（Sac=bd»故C错误，

对于。，令a=2,b=1,c=—1>d=—2,满足a>b>c>4,fJ\ad<be,故。借误.

故选：B.

14.（2021•上海）已知两两不相等的七,其，x2,y2,x3,y3,同时满足①为<y,x2<y2,&v%;②

x[+y[=x2+y2=x3+y3；③芭y+x3y3=，以下哪个选项恒成立（）

A.2X2<X1+X3B.2X2>X1+X^C.X1<x,x3D.x1>xxxy

【答案】A

【解析】设玉+x=々+%=W+%=，

f%1=m-a（x2=tn—b[x3=m—c

[y]=m+a[y2=m+b[y3=zn+c*

根据题意，应该有I"：""，,

[a,b,c>0

且加2-cr+nv-c2=2(m2-Z?2)>0,

贝ij%+刍-2X2=(m-a)+(in-c)-2(m-b)=2b-(a+c),

因为(23)2~(a+c)2=2(/+/)-(〃+c)2>0,

所以玉+$一29=2)一(o+c)>0,

所以A项正确，3错误.

x\x3-x2=(w-6z)(w-c)-(m-/?)2=(2b-a-c)m+ac-b2=(2b-a-c)m-^1,而上面已证

(2Z?—Q—c)>0,

因为不知道机的正负，

所以该式子的正负无法恒定.

故选：A.

知识点4：利用基本不等式求最值

15.(2021•乙卷(文))下列函数中最小值为4的是()

,4­,4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|H----------C.y=2X+2~~xD.y=InxH-------

Isinx|Inx

【答案】C

【解析】时于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3..3,

所以函数的最小值为3,故选项A错误；

对于3‘因为0<|sinx|1,所以y=|sinx|H--------..2/|sinx|--—=4，

|sinx|\|sinx|

4

当且仅当|sinx|=--------，即|sinx|=2时取等号，

|sinx|

因为|sinx|,,l,所以等号取不到，

4

所以y=|sinx|+-------->4,故选项B错误；

Isinx|

对于C,因为2*>0,所以丁=2'+22-，=2，+巴..力2口巴=4,

2*V2*

当且仅当2V=2,即x=l时取等号，

所以函数的最小值为4,故选项C正确；

ii4

对于Z）,因为当x=—时,，y=In—■i----=-1—4=—5<4,

ee

e

所以函数的最小值不是4,故选项。错误.

故选：C.

16.（多选题）（2022•新高考II）若x,y满足d+y2-孙=1,则（）

A.x+y”1B.x+y...-2C.x"+y：,2D.x"+y~..1

【答案】BC

【解析】方法一：由J+y2一旦=1可得，

G•ZJn

=COS0x=——sin夕+cos，

令，「2,贝IJ.3

2石.n

y=sin6y=----sin”

3

,\x+y=A/3sin04-cos0=2sin(^4--)e[—2,2],故A错,5对,

6

x2+y2=(—sin^+cosffy4-(^^-sin^)2=—sin20--cos2^+—=—sin(20-—)+—G[—,2],

333333633

故。对，。错，

方法二：对于A,B,由/+丁一孙=1可得，(*+丫)2=1+3秘,1+3(苫^)2,即:(x+y)2,,l,

:.(x+y)2„4,;.一2轰上+y2,故A错，8对，

22

对于C,D，由x?+y2-孙=1得，£+(_]=xy”A：•',

x2+y2„2,故C对；

;一孙”%,二]=工2+y2f,,J+,2+x；丫=3(x；y),

x2+y2..^,故。错误.

故选：BC.

17.(2023•上海)已知正实数a、6满足