2021-2023年高考数学真题分类汇编 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

专题02函数的概念与基本初等函数I

知识点目录

知识点1：已知奇偶性求参数

知识点2：函数图像的识别

知识点3:函数的实际应用

知识点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性

知识点5：分段函数问题

知识点6：函数的定义域、值域'最值问题

知识点7：函数性质（对称性'周期性、奇偶性）的综合运用

近三年高考真题

知识点1：已知奇偶性求参数

1.（2023•乙卷）已知/（无）=£^是偶函数，贝lj〃=（）

eax-1

A.-2B.-1C.1D.2

7_1

2.（2023•新高考H）若/（©=*+〃）/〃r*」为偶函数，则。=（）

2x+\

A.-1B.0C.-D.1

2

3.（2023•甲卷）若/（x）=（x-l）2+ca+sin（x+g为偶函数，则。=.

4.（2023•甲卷）若y=（x-l）2+ox+sin（x+］）为偶函数，则〃=.

5.（2022•乙卷）若/（%）=/川a+」一|+b是奇函数，则。=_--

6.（2021•新高考I）已知函数/（幻=/（。.2"一2一"）是偶函数，则。=

（2i八

ax-1x<0

7.（2022•上海）若函数了（元）=卜+。x>0,为奇函数，求参数〃的值为.

0x=O

8.（2023•上海）已知a,CGR,函数f（x）=『+©"+l）x-c.

x+a

（1）若4=0,求函数的定义域，并判断是否存在C使得/（X）是奇函数，说明理由；

（2）若函数过点（1,3）,且函数/（X）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和。的取

值范围.

知识点2：函数图像的识别

9.（2023•天津）函数/（x）的图象如图所示，则/*）的解析式可能为（）

5sinx

B.

x2+1

5(—+e-')5cos?;

D.

X2+2x2+1

10.（2022•天津）函数的图像为（)

y

A.

11⑵22•甲卷)函数e)="3"sx在区间修自的图像大致为()

B.

⑵（2。22•甲卷）函数二⑶-歹加修在区间岗'自的图像大致为（）

C.

13.（2022•乙卷（理））如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该

函数是（）

2xcosx卜2sin%

14.（2021•天津）函数/（工）=啰到的图象大致为（）

x~+2

15.（2021•浙江）已知函数/（x）=V+Lg（x）=sinx,则图象为如图的函数可能是（）

B-尸/（x）T（x）-：

v-g(x)

c.y=f(x)g(x)D.y—~~

/(X)

6（2021年北京卷数学试题）已知函数小）一+&。）=—则图象为如图的函

A.y=/(x)+g(x)]

B.

g(x)

c.y=/(x)g(x)D.y=

fM

知识点3:函数的实际应用

17.（多选题）（2023•新高考I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强

弱，定义声压级4=20x/g上，其中常数为（%>0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表

为不同声源的声压级:

声源与声源的声压级

距离IdB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车1（）“处测得实际声压分别为四，p2,p3,

则（）

A.pt..p2B.p2>10/73C.py=100p（）D./?!„100/72

18.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24人降雨量的等级划分如下：

等级24/?降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0~99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200,加7,高为300相加的圆锥形雨量器.若

一次降雨过程中，该雨量器收集的24/7的雨水高度是150〃”〃（如图所示），则这24〃降雨量

的等级是（）

19.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用

五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约

为（）（'-5/10«1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

20.（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿

元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

知识点4:基本初等函数的性质：单调性、奇偶性

21.（2023•北京•统考高考真题）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

B./(x)=£

A.f(x)=-\nx

C./w=--D./(x)=3|v-"

X

22.（2023•新高考I）设函数f（x）=2"i°在区间（0,1）单调递减，则。的取值范围是（）

A.(—oo,—2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+oo)

23.（2023•上海）下列函数是偶函数的是（)

A.y=sinxB.y=cosxC.y=xyD.y=2.

24.（2021•全国）下列函数中为偶函数的是（)

A.y=/g(x-l)+/g(x+l)B.y=|sinx+cosx|

I

C.y-D.y=(x+2)2+(21)2

25.（2021•全国）函数y=log2（l-f）的单调递减区间是（）

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(0,1)

26.（2021•北京）设函数f（x）的定义域为［0,1］,则“，（x）在区间［0,1］上单调递增”是"/（X）

在区间［0,1］上的最大值为/（1）”的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

27.(2021•上海)以下哪个函数既是奇函数,又是减函数（)

A.y--3xB.y=%3c.y=log,XD.y=y

28.(2021•甲卷)下列函数中是增函数的为（)

2

A.f(x)=-xB./«=(-/C..fM=x2D.于(x)=$c

29.(2021•甲卷)设/(x)是定义域为R的奇函数，且f(l+x)=f(-x).若/(-g)=g,则

后)=()

A.--B.--C.-D.-

3333

30.(2021•乙卷)设函数/(幻=上三，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

知识点5:分段函数问题

31.(2023•天津)若函数/。)=加-24*-奴+1|有且仅有两个零点，则〃的取值范围

为.

32.(2023•上海)己知函数/。)=2.,+1,且g(x)=F°g2(x+D7°,则方程g(x)=2的解

为.

33.(2022•天津)设aeR,对任意实数x,记/(x)=m〃?{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若/(x)

至少有3个零点，则实数。的取值范围为.

—X2+2,%,1,1

34.(2022•浙江)已知函数/(x)=41则f(f(3)=_______________.

x+——l,x>l,2

、x

35.(2021・浙江)已知06/?,函数/。)=卜2-4，》>2,若“/(而))=3,则。=_________.

[|工-3|+〃,天,2-

36.(2022•北京)设函数/。)=尸"+""<"'若f(x)存在最小值，则。的一个取值

[(x-2),x..a-

为.

37.(2023•上海)己知函数/(x)=F'*'°'，则函数的值域为__________.

2,x>()

知识点6:函数的定义域、值域'最值问题

38.(2023.北京・统考高考真题)已知函数/(x)=4*+log2X,则/(；)=

x+2,x<-。,

39.(2023・北京・统考高考真题)设。>0,函数f(x)=、分二给出下列四个

-4x-\,x>a.

结论：

①/(x)在区间(aT,+8)上单调递减；

②当时，/(X)存在最大值；

③设M(X|<a),N(x2,/(x2))(x2>a),则|MN|>1；

④设户(%/(£))(£<—a),。(％〃%))(七2—a).若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是

其中所有正确结论的序号是.

40.(2022•上海)下列函数定义域为R的是()

121

A.y=x2B.y=x~lC.y=x3D.y=x2

41.(2022•上海)设函数/(x)满足f(x)=/(—L)对任意+oo)都成立，其值域是儿,

1+X

已知对任何满足上述条件的/(X)都有{y|y=/(x),ma}=Af,则。的取值范围

为.

42.(2022•北京)函数的定义域是.

X

43.(2021•新高考I)函数f(x)02x-l|-2/d的最小值为.

知识点7:函数性质(对称性、周期性、奇偶性)的综合运用

44.(2022•乙卷)已知函数/*),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2—x)=5,

22

g(x)--4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则2，(幻=()

*=|

A.-21B.-22C.-23D.-24

45.(2022•新高考II)已知函数/(x)的定义域为A,£Lf(x+y)+f{x-y)=f(x)f(y),f

⑴=1,则£7(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

46.(2021•新高考U)已知函数〃x)的定义域为R(/(x)不恒为0),/(x+2)为偶函数，

/(2x+l)为奇函数，则()

A./(-1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

47.(2021•甲卷)设函数/(x)的定义域为H,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当,

2J时，fM=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则/($=()

9375

A.--B.--C.-D.-

4242

48.(多选题)(2023•新高考I)已知函数/*)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则

()

A./(0)=0B.f(1)=0

C./(x)是偶函数D.x=O为/(x)的极小值点

49.(2021•全国)已知函数/(x)=av3+bx+csinx-2,且f(-2)=8,则/(2)=.

50.(2021•新高考H)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(%):.

®f(xlx2)=f(xl)f(x2y②当xe(0,+«))时’广。)>0；③尸(%)是奇函数.f(x)=d时，

f(xtx2)=(xtx2)2==，(%)/(%”当X€(。,+oo)时'f\x)=2x>0'尸(x)=2x是奇函

数.

专题02函数的概念与基本初等函数I

知识点目录

知识点1：已知奇偶性求参数

知识点2：函数图像的识别

知识点3：函数的实际应用

知识点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性

知识点5：分段函数问题

知识点6：函数的定义域'值域'最值问题

知识点7：函数性质（对称性'周期性、奇偶性）的综合运用

近三年高考真题

知识点1：已知奇偶性求参数

1.（2023•乙卷）已知〃无）=令一是偶函数，则。=（）

1—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

【解析】/（力=孚~的定义域为｛月》#0｝，乂/（x）为偶函数，

€—1

-X）=/（X）,

.泥一二X.

旄"一、x/

e—1e-1

:.ax-x=x,/.a=2・

故选：D.

【点评】本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题.

2.（2023•新高考H）若f（x）=（x+a）/〃|13为偶函数，贝伊=（）

A.-1B.0D.1

2

【答案】B

【解析】由注口>0,得x>_L或X<-1,

2x+\22

由/*)是偶函数，

-X)=/(X)，

得(-x+a)ln-^---=(x+ci)ln――,

—2%+12x+1

Hn/\12K+12x—1]2x—172x—l

即(-x+a)ln-----=(-x+d)ln{----)=(x-a)ln-----=(x+a)ln-----

2x-\2x+12x4-12x4-1

x-a=x+a,得一。=a,

得a=0.

故选：B.

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法

则进行化简是解决本题的关键，是中档题.

3.(2023•甲卷)若/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+g为偶函数，则。=.

【答案】2.

【解析】根据题意，设/(x)=(x-l>+ar+sin(x+,=*2-2x+av+l+cosx,

若/(x)为偶函数，贝ij,f(-x)=f+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+l+cosx=f(x),

变形可得(a-2)x=0在RL恒成立，必有a=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数奇偶性的定义，涉及三角函数的诱导公式，属于基础题.

4.(2023•甲卷)若y=(x-l)2+ax+sin(x+g为偶函数，贝Ua=.

【答案】2.

【解析】根据题意，设/(x)=(x-l)2+ar+sin(x+])=x2-2x+ar+l+cosx,

其定义域为R，

若/'(x)为偶函数，则/(-x)=炉+2x-ar+1+cosx=x2-2x+ar+1+cosx=f[x),

变形可得(a-2)x=0,必有a=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题.

5.(2022•乙卷)若/(尤)=/"|〃+—!一|+。是奇函数，则〃=_--____________.

1-x2

【答案】一」；Iril.

2

【解析】/(x)=ln\a+------1+b»

i-x

若。=0,则函数，(x)的定义域为{x|xwl},不关于原点对称，不具有奇偶性，

二.a00,

由函数解析式有意义可得，XW1且々+-^¥0，

1-X

二.XW1目.XH14---，

a

函数f(x)为奇函数，二.定义域必须关于原点对称，

/.1+—=-1,解得a=-L

a2

1-Ly

fM=In|---------1+b,定义域为{x|x工1且xH-1},

2(1-x)

由/(0)=。得，/〃g+。=0，

：.b—ln2,

故答案为：—■!■；In2.

2

【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题.

6.(2021•新高考I)已知函数/。)=/(吹2,-27)是偶函数，则。=

【答案】1.

【解析】函数析功=炉小2、一2-、)是偶函数,

y=d为R上的奇函数，

故>=心2'-2-*也为R上的奇函数，

所以yl*=o=a-2°-2°=a-1=0,

所以a=l.

法二：因为函数f(x)=x3(“.2,-2T)是偶函数，

所以f(-x)=f(x),

即-X3(a•2--2,)=♦3.2,-2一),

即x\a-2*-2-x)+x\a-2T-2x)=0,

即3-1)(2,+27)/=0,

所以a=l.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.

tz2x-lx<0

7.(2022•上海)若函数/(x)=,x+〃x>0,为奇函数，求参数〃的值为.

0x=O

【答案】1.

a2x-\x<0

【解析】函数/(x)=«x+ax>0»为奇函数，=,

0x=0

/(—I)=—f(1),—a2—1=—(a+1),BPa(a—1)=0,求得。=0或a=l.

-l,x<0

当。=0时，/(x)=-0,x=0,不是奇函数，故。工0；

>0

x-l,x<0

当。=1时，/(x)=,o,x=o,是奇函数，故满足条件，

x+l,x>0

综上，4=1,

故答案为：L

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

8.(2023•上海)已知a,cwR,函数f(x)="+0“+l)x+c.

x+a

(1)若。=0,求函数的定义域，并判断是否存在c使得f(x)是奇函数，说明理由；

(2)若函数过点(1,3),且函数/(X)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和。的取

值范围.

2

【解析】(1)若4=0,则/(x)=k+x+c=x+£+l,

XX

要使函数有意义,则xfO,即f(x)的定义域为{X|XHO},

y=x+£是奇函数，y=l是偶函数，

X

.•・函数”x)=x+£+l为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数C,使得f(x)是奇

X

函数.

(2)若函数过点(1,3),则/(1)=1+3"+I+C=3"+2+C=3,得%+2+0=3+3a,得

1+。1+。

c=3-2=l,

此时f（x）=Y+（3a+l）x+l,若数/（力与工轴负半轴有两个不同交点，

x+a

即/（力=匚&上1把±1=0,得/+（3〃+1）尤+1=0,当x<0时，有两个不同的交点,

x+a

设g（x）=£+（3。+l）x+1,

,=(3iz+l)2-4>0

xx=1>0ci>一—1

x23a+1>2^lc3tz+1v—23

则玉+/=-(3。+1)<0»得，得《,即

3a+\>013

ct>—

3。+1八

------<03

2

若x+a=0即x=-a是方程x?+(3a+l)x+1=0的根,

则。2—(3。+1)。+1=0,BP2a24-tz—1=0,得〃=,或a=—1,

2

则实数。的取值范围是a>1且2且a*-l,

32

即g,；）U（g，+8）.

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转

化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题.

知识点2:函数图像的识别

9.（2023•天津）函数/（x）的图象如图所示，则/1X）的解析式可能为（）

5sinx

x2+1

5cosx

x2+1

【答案】D

【解析】由图象可知，/（X）图象关于y轴对称，为偶函数，故AB错误,

当x>0时，5（6；+>"）恒大于0,与图象不符合，故。错误.

X2+2

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的图象，属于基础题.

【解析】函数/(*)=叵心的定义域为(-8，0)U(0,+00),

X

f(-x)="一"=-fw,

-x

该函数为奇函数，故A错误；

%>0时，%f0,/(尤)-»-KO;x=l,f(x)=0；Xf+8,/(x)—>+oo,

故3c错误，。正确.

故选：D.

【点评】本题考查函数图象，属于基础题.

11.(2022•甲卷)函数f(x)=(3*-3-*)cosx在区间［-生，刍的图像大致为()

22

A.

【解析】f(x)=(3*-3T)cosx,

可知/(-%)=(3-*-3x)cos(-x)=-(3*-3-r)cosx=-./'(x),

函数是奇函数，排除即；

当x=l时，/(1)=(3-3-')cosl>0,排除C.

故选：A.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题.

12.(2022•甲卷)函数y=(3*-3r)cosx在区间［-生,马的图像大致为()

22

【答案】A

【解析】f(x)=(3"-3T)cosx,

可知/'(-X)=(3-*-y)cos(-x)=-(3*-3T)cosx=-f(x),

函数是奇函数，排除3D;

当x=l时,f(1)=(3-3-')cosl>0,排除C.

故选：A.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题.

13.(2022•乙卷(理))如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该

函数是（）

c2xcosx、2sinx

C・y=—5--D.y=-5—-

x-+1jr+1

【答案】A

【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，

其次观察函数在（1,3）存在零点，

r3-r

而对于5选项：令y=0,即=^=0,解得x=0,或x=l或x=—1,故排除5选项;

x2+l

C选项：当x>0时，2x>0,d+l〉。，因为cosxe[-l,1],

故誓2三”/£_=_=,且当x>0时，X+L.2,故二丁,,1，

x+1x+1X+1XX+1

XX

而观察图像可知当x>0时，/（%）„„..1,故C选项错误.

。选项，丫=要》中，当x=3时，y=2sin3>0）故排除。选项.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.

14.（2021•天津）函数/1（x）="且的图象大致为（）

X4-2

【解析】根据题意，号，其定义域为｛X|XHO｝，

有〃一X)=空1=/(X),是偶函数，排除AC,

x+2

在区间(0,1)上，ln\x\=lnx<0,必有〃x)<0,排除D,

故选：B.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的判断，属于基础题.

15.(2021•浙江)已知函数/(X)=X2+Lg(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

4

B.y=/(x)-g(x)-l

C.y=f(x)g(x)0尸需

【答案】D

【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数,

因为/*)=工2+'为偶函数，g(x)=sinx为奇函数，

4

函数y=/(x)+g(x)-L=f+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误；

4

函数y=f(x)-g(x)-1=x2-sinx为非奇非偶函数，故选项5错误；

4

函数y=/(x)^(x)=(x2+；)sinx,则/=2xsinx+(x2+；)cosx>0对X七①,.)恒成立，

则函数y=〃x)g(x)在(0,三)上单调递增，故选项C错误.

4

故选：D.

【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、

值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力

与逻辑推理能力，属于中档题.

16.(2021年北京卷数学试题)已知函数/(x)=x2+；,g*)=sinx,则图象为如图的函

B.y=/(x)_g(x)一；

g(x)

C.y=/(x)g(x)D.y7w

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=〃x)+g(x)—；=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象

不符，排除A；

对于B,y=/(x)—g(x)—；sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符,

排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=l+;Jsinx,则y'=2xsin尤++；)cos尤，

.当x=工时，=—,x~~+f~77+x~~>01与图象不符，排除C.

422I164)2

故选：D.

知识点3：函数的实际应用

17.(多选题)(2023•新高考I)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强

弱，定义声压级L,,=20x/g上，其中常数为5。>0）是听觉下限阈值，'是实际声压.下表

为不同声源的声压级:

声源与声源的声压级

距离tmIdB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10机处测得实际声压分别为p「p2,p3,

则（）

A.pv.p2B.p2>10/73C,P3=100p（）D.P[”100.2

【答案】ACD

9

【解析】由题意得，6魄如/g且9（）,1000“。珊IO。。，

Po

5

5（®2O/gR60,102Po舜（2IO。。区,

P<>

20/g星=40，03=100%,

Po

可得Pr0,A正确；

Pa，10^=1000%,B错误；

py=100p（）,C正确；

95

2

p澈!JO,p0=lOOx10p0100p?,%,100p?,D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题.

18.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24降雨量的等级划分如下:

等级24〃降雨量（精确到0.1）

......—

小雨0.1〜9.9

中雨10.()〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

......—

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为2（X），加〃，高为3（X），加〃的圆锥形雨量器.若

一次降雨过程中，该雨量器收集的24〃的雨水高度是150.〃（如图所示），则这24〃降雨量

的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圆锥的体积为V7=!$/?,

33

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，

所以圆锥内积水部分的半径为工x,x200=50加”，

22

将r=5（）,h=15（）代入公式可得V=125000万（相机与，

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为V=S/z，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，

所以S=万•（；x200）2=10000万（机环），

则平地上积水的厚度h=125°°°万=12.5（机㈤，

10000万

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

【点评】本题考查了空间儿何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体积公

式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

19.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用

五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约

为()(啊=1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在L=5+/gV中，£=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得^=10«|=工=-^=—!—。0.8,

10°'啊1.259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

【点评】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

20.(2021•上海)已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿

元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

(1)求今年起的前20个季度的总营业额；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

【解析】(D由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项q=l.l,公差4=0.05,

=20«,+2()(2^)-1)J=20x1.1+10x19x0.05=31.5，

即营业额前20季度的和为31.5亿元.

(2)解法一：假设今年第一季度往后的第"(〃GN*)季度的利润首次超过该季度营业额的

18%,

则0.16x(l+4%)">(1.1+0.05〃)-18%,

令f(n)=0.16x(l+4%)"-(1.1+0.05”)•18%,(〃eN*),

即要解，

则当.2时,/(«)-f(n-1)=0.0064.(1+4%)"-1-0.009,

^f(n)-f(n-l)>0,解得:*10,

即当啜女9时,/(〃)递减;当〃..10时,/(〃)递增，

由于/(1)<0,因此/(〃)>0的解只能在*10时取得,

经检验，f(24)<0,f(25)>0,

所以今年笫一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%.

解法二：设今年第一季度往后的第〃(〃eN")季度的利润与该季度营业额的比为%,

则外」04(1.05+0.05%^^=］上

an1.1+0.05/222+〃22+〃

二•数列｛q｝满足4>4>%>%=%<&<%<....

注意到，^25=0.178...,4726=0.181...,

・•・今年第一季度往后的笫25个季度利润首次超过该季度营业额的18%.

知识点4：基本初等函数的性质：单调性'奇偶性

21.(2023•北京•统考高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-lnxB.f(x)=?

C.f(x)=--D.f(x)=3,x-"

X

【答案】c

【解析】对于A,因为y=lnx在(0,+向上单调递增，y=-x在(0,+8)上单调递减，

所以〃x)=-lnx在(0,转)上单调递减，故A错误：

对于B,因为y=2*在(0,+助上单调递增，y=：在(0,y)上单调递减，

所以/")=(在(0,+8)上单调递减，故B错误；

对于c,因为y=/在(0,+8)上单调递减，y=-x在(0,+8)上单调递减，

所以，(x)=-g在(0,+8)上单调递增，故C正确；

对于D,因为」(£|=』H=3；=7L〃1)=3卜"=3°=1,〃2)=h-1=3,

显然=31T在(0,+8)上不单调，D错误.

故选：C.

22.(2023•新高考1)设函数/(x)=2'i＞在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】D

【解析】设f=x(x-a)=V—以，对称轴为8=g，抛物线开口向上，

2

y=2’是f的增函数，

要使f{x}在区间(0,1)单调递减，

则f=Y一⑪在区间(0,1)单调递减，

即且..1，即a..2,

2

故实数a的取值范围是[2,+00).

故选：D.

【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调

性进行求解是解决本题的关键，是基础题.

23.(2023•上海)下列函数是偶函数的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2*

【答案】B

【解析】对于A,由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数：

对于3,由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；

对于C,由基函数的性质可知，y=V为奇函数；

时于由指数函数的性质可知，y=2,为非奇非偶函数.

故选：B.

【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题.

24.(2021•全国)下列函数中为偶函数的是()

A.y=lg(x-1)+/g(x+1)B.y=|sinx+cosx|

C.y=JD.y=(x+2)2+(2x-l)2

【答案】D

【解析】对于A,y=/g(x-l)+/g(x+l)的定义域为(l,+oo),不关于原点对称，故A不正确；

对于8，y=/(x)=|sinx+cosx|的定义域为R,但/(-x)w/(x),故5不正确;

对于C,y=f(x)=x3的定义域为R,f(-x)=-/(x),F(x)为奇函数，故C不正确；