安徽省安庆市桐城第二中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

年安徽省安庆市桐城二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线的图象上两点、、，当时，对应的函数值为(

)A. B.3 C.0 D.无法确定2.已知二次函数，下列说法错误的是(

)A.当时，y随x的增大而减小

B.若图象与x轴有交点，则

C.当时，观察图象知不等式的解集为

D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过，则3.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D.4.二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程为实数在的范围内有解，则t的取值范围是(

)

A. B. C. D.5.下列各组中的四条线段成比例的是(

)A.，，，

B.，，，

C.，，，

D.，，，6.已知线段a、b，如果a：：2，那么下列各式中一定正确的是(

)A. B. C. D.7.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC上两个三等分点，B、D分别交AE、AF、AC于P、Q、R，则BP：PQ：(

)

A.3：2：1 B.5：3：2 C.6：5：4 D.5：4：38.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，，，那么下列判断中，不正确的是(

)

A.∽ B.∽

C.∽ D.∽9.如图，曲线AB是顶点为B与y轴交于点A的抛物线的部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，点与点均在该波浪线上，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂是为M，N，连PQ，则四边形PMNQ的面积为(

)A.72 B.36 C.16 D.910.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M，给出下列结论：①∽；②；③；

其中所有正确的结论序号为(

)A.① B.①② C.①②③ D.②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.如图，已知，CD和BE相交于点O，：：9，则AE：______.

12.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是______13.如图，D是等边边AB上的点，，现将折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则______.

14.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点.例如点，…，都是等值点.已知二次函数的图象上有且只有一个等值点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是______.三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题8分

若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点坐标为

求m的值；

求二次函数，的解析式．16.本小题8分

如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、

画出关于x轴对称的；

以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．17.本小题8分

如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，的面积与的面积之比为1：3，且，求FC的长.18.本小题8分

如图，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接

求k和b的值；

直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；

在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．19.本小题8分

如图，①已知D、E分别为边AB、AC上一点，，连CD、BE、CD、BE相交于点F，连AF并延长分别交DE、BC于点H，

求证：G为BC中点；

如图②，只用一把无刻度的直尺画出矩形ABCD的一条对称轴.20.本小题8分

如图，在中，点D在边BC上，连接AD，，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且

求证：∽；

求证：21.本小题8分

如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且米，米，，已知小华的身高为米，请你利用以上的数据求出DE的长度．结果保留根号22.本小题8分

随着新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量百万个与天数且x为整数的函数关系图象如图所示，而该生产商对口供应市场对口罩的需求量百万个与天数x呈抛物线型，第1天市场口罩缺口需求量与供应量差就达到百万个，之后若干天，市场口罩需求量不断上升，在第10天需求量达到最高峰百万个

求出y与x的函数解析式；

当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么在整个二月份，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？23.本小题8分

如图，已知中，，，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交AB边于点D，连接设P、Q的运动时间为

直接写出BD的长；用含t的代数式表示

若，求当t为何值时，与相似；

是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在：：：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：令，则，

或，

、n的值为1，，

当时，，

当时，对应的函数值为

故选：

令，可得m、n的值，将代入即可求解．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.【答案】C

【解析】解：，

，函数对称轴为，

当时，y随x的增大而减小，

当时，y随x的增大而减小，

故A正确，不符合题意；

若图象与x轴有交点，

则方程有实数根，

，

解得，

故B正确，不符合题意；

当时，二次函数变为，

令，则，

解得，，

抛物线与x轴的交点为，

抛物线开口向上，

不等式的解集为或，

故C错误，符合题意；

将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后的解析式为，

平移后的图象过，

，

解得，

故D正确，不符合题意．

故选：

求出函数的对称轴，根据抛物线开口方向和函数的性质判断A；根据图象与x轴有交点，得出，解不等式即可判断B；把代入解析式，令解方程求出二次函数图象与x轴的交点，结合函数图象判断C；根据平移的性质，得到平移后的解析式，再把代入平移后解析式即可求出a的值，进而判断

本题考查的是二次函数与不等式组，抛物线与x轴的交点，二次函数的几何变换等知识，理解二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答.

本题根据需要抛物线的位置，反馈数据的信息，即，b，的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置.

【解答】

解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，因此；

双曲线的图象在第二、四象限，

由于抛物线图象开口向上，所以，

对称轴直线是，所以，

抛物线与x轴有两个交点，故，

直线经过第一、二、四象限.

故选：4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．

如图，关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．

【解答】

解：如图，关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，

根据对称轴为直线，可知，

所以解析式为，

当时，，

时，，

当时，，

由图象可知关于x的一元二次方程为实数在的范围内有解，

直线在直线和直线之间包括直线，

故选5.【答案】B

【解析】解：A、，四条线段不成比例，故本选项错误；

B、，四条线段成比例，故本选项正确；

C、，四条线段不成比例，故本选项错误；

D、，四条线段不成比例，故本选项错误．

故选：

根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．

此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，比较简单．根据比例的性质进行判断即可．

【解答】

解：A、当，时，a：：2，但是，故本选项错误；

B、由a：：2，得，故本选项错误；

C、由a：：2，得，故本选项正确；

D、由a：：2，得，故本选项错误．

故选：7.【答案】B

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，

，，，

、F分别是边BC上两个三等分点，

，

，

∽，

，

，

∽，

，

，

，，

：PQ：：3：2，

故选：

由四边形ABCD是平行四边形，得，，，则，，再由∽，得，则，由∽，得，则，即可推导出，，于是求得BP：PQ：：3：

此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由相似三角形的对应边成比例分别求得BP、PQ、QR等于BD的几分之几是解题的关键．8.【答案】D

【解析】解：点D、E分别在边AB、AC上，，

∽

故A正确；

，

∽

故B正确；

，，

∽，

∽，

故C正确；

与不一定相似，

故D不正确；

本题选择不正确的，

故选：

若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．

本题考查相似三角形的判定定理，要熟记这些判定定理才能灵活运用．9.【答案】B

【解析】解：如图，过点B作x轴的垂线交于，取DE的中点，过点作x轴的垂线交于，

，

，

把代入中得：，

反比例函数解析式为，

由图可知，每经过6为一次循环，

，，

点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，点Q离x轴距离与点离x轴距离相同，

令代入中得：，

，，，

故选：

A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为8，抛物线的顶点B的坐标为，进而得到A，B之间的水平距离为6，且，根据四边形的面积为36，即可得到四边形PMNQ的面积为

本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，解题时注意：二次函数的顶点坐标是，对称轴直线；四边形PMNQ为梯形，依据梯形的面积公式即可得到其面积．10.【答案】C

【解析】解：，是等腰直角三角形，

，，

，，

∽，

故①正确；

∽，

，

，

，

，

故②正确；

，

，

由②得，

，

又，

∽，

，

即，

，

，

故③正确，

故选：

根据等腰直角三角形的性质可得，，得∽，可说明①正确；由∽，得，再利用三角形内角和定理可说明②正确；由，，得∽，可说③正确．

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．11.【答案】2：1

【解析】解：，

∽，

，

，

，

，

∽，

，

：：1，

故答案为：2：

由，证明∽，则，得，再由∽，得，即可求得AE：：

此题重点考查相似三角形的判定与性质，由：：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得是解题的关键．12.【答案】24

【解析】解：当y取得最大值时，飞机停下来，

则，

此时，飞机着陆后滑行600米才能停下来．

因此t的取值范围是；

即当时，，

所以米，

故答案是：

由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．

本题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．13.【答案】

【解析】解：是等边三角形，

，，

由折叠的性质可知，，，，

，

∽，

，

，

故答案为：

根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．

本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：令，即，

由题意，，即，

又方程的根为，

解得，

故函数，

如图，该函数图象顶点为，

由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，

且当时，函数的最小值为，最大值为，

，

故答案为：

根据等值点的概念令，即，由题意，，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．15.【答案】解：，，的“生成函数”为：；

，

当时，，

，

解得：，不合题意舍去；

由得：，

二次函数的图象的顶点坐标为

，

解得：，

，

【解析】根据已知新定义和当时，得出，求出即可；

把m的值代入函数，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可．

本题考查了新定义，二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．16.【答案】解：如图所示，就是所求三角形.

如图所示，就是所求三角形，

，，，与位似，且位似比为2，

，，，

【解析】本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．

画出A、B、C关于x轴的对称点、、即可解决问题；

连接OB延长OB到，使得，同法可得、，就是所求三角形；再根据图形，利用矩形面积减去周围直角三角形的面积，求解即可.17.【答案】解：过点D作交AC于点H，

是的中线，

，

，

，

的面积与的面积之比为1：3，

，

，

，

，

【解析】过点D作交AC于点H，由推出，根据的面积与的面积之比为1：3得出，再根据平行线分线段成比例定理得到，于是得出，进而得出答案．

本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．18.【答案】解：将分别代入和

得：，，解得：，；

由知，，，

直线的表达式为：，反比例函数的表达式为：

由，解得：或，

，

由图象知，一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：或，

过A作轴，过B作轴，

，

，

，

过A作轴，过C作轴，设，

，

解得：，，

或

【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．

由待定系数法即可得到结论；

联立两解析式，求出B点坐标，根据图象中的信息即可得到结论；

过A作轴，过B作轴，根据求出的面积，由已知条件得到，过A作轴，过C作轴，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．19.【答案】证明：，

∽，

，

同理：，

；

∽

，

同理：，

，

，

由得：，

，

，即点G是BC的中点；

解：如图②所示，直线即为所求．

【解析】①由，得到∽和∽，即可得到结论；

②易证∽，∽，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以证得，得到即可；

①连接AC，BD，两线交于点②在矩形ABCD外任取一点E，连接EC，EB，分别交DA于点G，H，③连接CG，BH，两线交于点④作直线，交BC于点⑤作直线直线就是矩形ABCD的一条对称轴．

本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20.【答案】证明：，

，

，

∽，

，

又，

，

即，

∽；

证明：∽，

，

，

，

∽，

，

，

，

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质．

根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的性质得出，进而证明∽即可；

由得出，进而证明，由，得到，即可解答．21.【答案】解：过E作，

，

，

设EF为x，，

，

，

∽，

，

即，

解得：，

，

答：DE的长度为

【解析】根据相似三角形的性质解答即可．

此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形