山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题含答案

山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.2.若，则（）A.100B.110C.120D.1303.若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（）A.1B.2C.3D.44.若，则（）A.B.C.D.5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A.3B.6C.10D.156.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若与所成的角相等，则C.若，则D.若，则7.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，下列结论正确的有（）A.B.C.若，则D.若，则或10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（）A.B.C.事件与事件相互独立D.11.给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（）A.存在，使得恒成立B.存在，使得恒成立C.对任意，总存在，使得D.对任意，总存在，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为__________.13.在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数在上佮有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.（1）求的值：（2）若恒成立，求的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.求证：；（2）若，求二面角的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率：（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点分别作直线的垂线.垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.（1）用表示点的横坐标和纵坐标：（2）设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值：（3）若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.

2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题ACBC BDAA二、选择题9．ABD 10．BCD 11．BC三、填空题12．4 13．， 14．四、解答题15．解：（1）， 2分直线的斜率，由题意知， 4分即，所以． 5分（2）的定义域为． 6分因为，所以设，，则 8分 9分当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减， 11分所以．所以． 13分16．解：（1）因为，，所以， 1分因为，，所以．在△DBO中，，，，由余弦定理，所以． 3分在△ADO中，，，，由勾股定理，． 4分因为平面ABC，平面ABC，所以． 5分因为，所以平面． 6分因为平面，所以; 7分（2）由（1）可知，OA，OD，两两垂直，以O为坐标原点，OA，OD，方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 8分因为，，所以． 9分则，， 10分可得，设为平面的一个法向量，则，取，则，，故， 12分由题意可知，为平面的一个法向量， 13分因为，所以二面角的余弦值为 15分17．解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率 7分（3）X的可能取值为2，3，4，5．一一因为甲任意一题得15分的概率为，所以任意一题乙得15分的概率为， 8分， 12分所以X的分布列为X2345P 13分所以． 15分18．解：（1）由题意知，，，又因为， 2分解得．所以，双曲线C的方程为 3分设直线l的方程为，联立消x可得， 4分不妨设，，则，且， 5分所以 7分． 9分（2）设直线AP的方程为，则直线DM：，联立，解得， 11分用替换上式中的k可得 13分故 1