(2024年)曲线与方程讲义二求曲线方程教案

曲线与方程讲义二求曲线方程教案2024/3/261目录contents引言曲线与方程基本概念求曲线方程的方法实例分析：求曲线方程的应用学生自主练习与讨论课堂小结与作业布置2024/3/26201引言2024/3/263使学生掌握求曲线方程的基本方法，理解曲线与方程的对应关系，能够运用所学知识解决一些实际问题。知识与技能通过讲解、讨论、练习等多种方式，引导学生积极参与课堂活动，培养其自主学习和合作探究的能力。过程与方法培养学生严谨的数学思维习惯，提高其分析问题和解决问题的能力，激发其对数学学习的兴趣和热情。情感态度与价值观教学目标2024/3/264

教学内容曲线与方程的基本概念简要回顾曲线与方程的定义及其对应关系，为后续内容打下基础。求曲线方程的基本方法详细讲解直接法、待定系数法、换元法等求曲线方程的基本方法，并通过实例加以说明。曲线方程的应用介绍曲线方程在实际问题中的应用，如求解轨迹问题、最值问题等。2024/3/265求曲线方程的基本方法及其应用。教学重点如何根据实际问题选择合适的求曲线方程的方法，以及如何理解和运用曲线与方程的对应关系。教学难点教学重点与难点2024/3/26602曲线与方程基本概念2024/3/267曲线是平面内一个动点随时间变化而形成的轨迹。曲线可以用参数方程、极坐标方程或直角坐标方程表示。曲线具有连续性和光滑性，即曲线上的每一点都有切线，且切线随切点的移动而连续变化。曲线的定义2024/3/268方程是含有未知数的等式，表示两个数学表达式相等。方程的解是使等式成立的未知数的值。方程可以分为代数方程、超越方程、微分方程等类型。方程的定义2024/3/269通过曲线的几何性质可以研究方程的解的性质，反之亦然。不同的曲线对应不同的方程，同一个曲线可能对应多个不同的方程。曲线与方程是相互依存的，曲线是方程的几何表示，方程是曲线的解析表示。曲线与方程的关系2024/3/261003求曲线方程的方法2024/3/2611建立坐标系，设曲线上任意一点的坐标为$P(x,y)$。步骤一步骤二步骤三根据已知条件，列出动点$P$满足的关系式。整理关系式，将其化为最简形式，即为所求曲线方程。030201直接法2024/3/2612根据已知条件，设出所求曲线方程的一般形式，其中含有待定的系数。步骤一将已知条件代入方程，得到关于待定系数的方程组。步骤二解方程组，求出待定系数的值，从而得到所求曲线方程。步骤三待定系数法2024/3/2613步骤二通过换元，将原方程化为关于新变量的方程。步骤一根据已知条件，引入新的变量，将原方程中的某些项用新变量表示。步骤三解新变量的方程，得到原方程的解，从而得到所求曲线方程。换元法2024/3/2614步骤一根据已知条件，引入参数，将动点的坐标表示为参数的函数。步骤二消去参数，得到动点坐标之间的关系式，即为所求曲线方程。步骤三注意参数取值范围对曲线形状的影响，确保方程的准确性。参数法2024/3/261504实例分析：求曲线方程的应用2024/3/2616123平面上所有与定点$O$距离等于定长$r$的点的集合。定义$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径。标准方程$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，其中$D^{2}+E^{2}-4F>0$。一般方程圆的方程2024/3/2617平面上所有与两个定点$F_{1},F_{2}$距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的集合。定义$frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），其中$a,b$分别为椭圆长半轴和短半轴，$c=sqrt{a^{2}-b^{2}}$为焦距。标准方程$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B$不同时为0，且$AB-CD^{2}>0$。一般方程椭圆的方程2024/3/2618平面上所有与两个定点$F_{1},F_{2}$距离之差的绝对值等于常数（小于两定点距离）的点的集合。定义$frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b>0$），其中$a,b$分别为双曲线实半轴和虚半轴，$c=sqrt{a^{2}+b^{2}}$为焦距。标准方程$Ax^{2}-By^{2}+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B$不同时为0。一般方程双曲线的方程2024/3/2619定义$y^{2}=4px$（$p>0$），其中$p$为焦距，焦点坐标为$(p,0)$，准线方程为$x=-p$。标准方程一般方程$y=ax^{2}+bx+c$，其中$aneq0$。平面上所有与一个定点$F$和一条定直线$l$（不经过点$F$）距离相等的点的集合。抛物线的方程2024/3/262005学生自主练习与讨论2024/3/2621求出下列曲线的方程过点(2,3)且与直线y=2x+1垂直的直线；圆心在原点，半径为5的圆；练习题目2024/3/2622焦点在x轴上，离心率e=1/2，且过点(4,3)的椭圆。判断下列各点是否在曲线上点(1,2)是否在直线y=x+1上；练习题目2024/3/2623点(-3,4)是否在抛物线y^2=4x上；点(5,-12)是否在双曲线x^2/9-y^2/16=1上。练习题目2024/3/2624学生根据已知条件，尝试设立方程并求解；对于圆方程，学生可以根据圆心与半径的关系设立方程；对于直线方程，学生可以通过斜率与截距的关系设立方程；对于椭圆、抛物线和双曲线等复杂曲线，学生需要掌握相应的标准方程和性质，并根据已知条件进行求解。学生自主求解2024/3/2625

讨论与交流学生分组讨论各自的求解方法和结果；教师引导学生比较不同方法的优缺点，总结求解曲线方程的一般步骤和注意事项；学生之间相互交流学习心得和体会，加深对曲线方程求解的理解和掌握。2024/3/262606课堂小结与作业布置2024/3/262703典型例题的解析通过对典型例题的详细解析，加深了学生对求曲线方程方法的理解和掌握，提高了学生的解题能力。01曲线与方程的基本概念回顾了曲线与方程的定义，强调了曲线与方程的对应关系及几何意义。02求曲线方程的方法总结了求曲线方程的常用方法，包括直接法、待定系数法、换元法等，并指出了各种方法的适用范围和注意事项。课堂小结2024/3/2628思考题提供了一些具有挑战性的思考题，鼓励学生积