截面的几何性质-组合截面的惯性矩（建筑力学）

截面的几何性质一、惯性矩的平行移轴公式由上任务已知，同一截面图形对不同坐标轴的惯性矩一般是不同的。但在坐标轴满足一定条件时，图形对它们的惯性矩之间存在着一定的关系。下面来讨论这种关系。

组合截面的惯性矩截面的几何性质

任意平面图形如图5-8所示。ｚ、ｙ为一对正交的形心轴，ｚ1、ｙ1为与形心轴平行的另一对正交轴，平行轴间的距离分别为a和b。已知图形对形心轴的惯性矩Ｉｚ、Ｉｙ，现求图形对ｚ1、ｙ1轴的惯性矩Ｉｚ1、Ｉｙ1。由图5-8可知ｙ1＝ｙ＋aｚ1＝ｚ＋b根据惯性矩的定义可得因ｚ轴为形心轴，故Sｚ＝0，因此可得同理Ｉｚ1＝Ｉｚ＋a2ＡＩｙ1＝Ｉｙ＋b2Ａ（5-9）式（5-9）称为惯性矩的平行移轴公式。公式表明：平面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴间距离平方的乘积。在式（5-9）中，由于乘积a2Ａ、b2Ａ恒为正，因此图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中最小的一个。在应用平行移轴公式（5-9）时，要注意应用条件，即ｙ、ｚ轴必须是通过形心的轴，且ｚ1、ｙ1轴必须分别与ｚ、ｙ轴平行。【例5-5】三角形截面如图5-9所示。图中ｚ、ｚ1、ｚ2三轴互相平行，且ｚ轴为形心轴。已知Ｉｚ1＝bh3/12，求截面对ｚ2轴的惯性矩。解：由平行移轴公式（5-9）可得Ｉｚ1＝Ｉｚ＋（h/3）2·ＡＩｚ2＝Ｉｚ＋（2h/3）2·Ａ由以上两式得Ｉｚ2＝Ｉｚ1＋［（2h/3）2－（h/3）2］·Ａ＝bh3/12＋h2/3·bh/2＝1/4·bh3

截面的几何性质三、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念任意截面图形如图5-13所示，通过图形内任一点O，可以作出无穷多对正交坐标轴，一般情况下，图形对过O点的不同正交坐标轴的惯性积不同，但是在通过任意点O的所有正交坐标轴中，总可以找到一对特殊的正交坐标轴z0、y0,图形对该正交坐标轴的惯性积等于零。这对正交坐标轴z0、y0称为图形过O点的主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。过图形上任一点都可得到一对主轴，通过截面图形形心的主惯性轴，称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。在对构件进行强度、刚度和稳定计算中，常常需要确定形心主轴和计算形心主惯性矩。因此，确定形心主轴的位置是十分重要的。由于图形对包括其对

称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积等于零，所以对于图5-14所示具有对称轴的截面图形，可根据图形具有对称轴的情况，观察确定形心主轴的位置：（1）如果图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主轴，而另一根形心主轴通过形心，并与对称轴垂直（见图5-14（b）、（d））。（2）如果图形有两根对称轴，则该两轴都为形心主轴（见图5-14（a）、（ｃ））。（3）如果图形具有三根或更多根对称轴，可以证明，过图形形心的任何轴都是形心主轴，且图形对其任一形心主轴的惯性矩都相等（见图5-14（ｅ）、（ｆ））。

截面的几何性质二、组合截面惯性矩计算根据惯性矩的定义可知，组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简单图形对该轴惯性矩之和，即Ｉｚ＝∑ＩｚiＩｙ＝∑Ｉｙi在计算组合图形对ｚ、ｙ轴的惯性矩时，应先将组合图形分成若干个简单图形，并计算出每一简单图形对平行于ｙ、ｚ轴的自身形心轴的惯性矩，然后利用平行移轴公式（5-9）计算出各简单图形对ｙ、ｚ轴的惯性矩，最后利用式（5-10）求总和。（5-10）【例5-6】试计算如图5-10所示T形截面对形心轴ｚ、ｙ的惯性矩。图中尺寸单位为m。解：（1）确定形心位置。由于ｙ轴为截面的对称轴，形心必在ｙ轴上，故ｚｃ＝0。为确定ｙｃ，选参考坐标系yOｚ1。将T形分割为两个矩形，它们的面积和形心坐标分别为Ａ1＝0.5×0.12＝0.06（m2）ｙ1＝0.58＋0.06＝0.64（m）Ａ2＝0.25×0.58＝0.145（m2）ｙ2＝0.582＝0.29（m）由式（4-9）可得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝(Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2)/(Ａ1＋Ａ2)＝(0.06×0.64＋0.145×0.29)/(0.06＋0.145)＝0.392（m）（2）计算截面对形心轴的惯性矩。整个截面对ｙ、ｚ轴的惯性矩应分别等于组成它的两个矩形对ｙ、ｚ轴惯性矩之和。而两矩形对ｚ轴的惯性矩应根据平行移轴公式计算