杆件的内力分析-叠加法作剪力图和弯矩图（建筑力学）

杆件的内力分析一、叠加原理叠加原理：在弹性范围、小变形情况下，各荷载共同作用时，梁的某一参数（支座反力，某截面的内力、位移等）等于各荷载单独作用时所引起的该参数的代数和。下面以悬臂梁为例，说明叠加原理在绘梁内力图中的应用。分析悬臂梁在三种荷载情况下的反力、剪力图和弯矩图，如图3-30所示。

叠加法作剪力图和弯矩图杆件的内力分析

固定端处的支座反力为ＦB＝Ｆ＋ql＝ＦBＦ＋ＦBqmB＝Ｆl＋（1/2）ql2＝mBＦ＋mBq距左端为x的任一截面上的剪力和弯矩分别为Ｑ（x）＝－Ｆ－qxＭ（x）＝－Ｆx－qx2/2由上列各式可见，梁的反力和内力均由两部分组成：第一部分等效于集中力F单独作用在梁上所引起的反力和内力；第二部分等效于均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。因此，图3-30中的第一种情况等效于第二、三两种情况的叠加。所以，计算图3-30（a）所示梁的反力和内力时，可先分别计算出F和q单独作用时的结果，然后再代数相加。这种方法称为叠加法。

杆件的内力分析二、叠加法绘内力图如图3-30所示，将集中力F和均布荷载q单独作用下的剪力图和弯矩图分别叠加，即得到二者共同作用时的剪力图和弯矩图(见图3-30（b）、（c）)。注意：内力图的叠加,是内力图上对应纵坐标的代数相加,而不是内力图的简单拼合。叠加法绘内力图步骤如下：（1）荷载分组。把梁上作用的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况。（2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。各简单荷载作用下单跨静定梁的内力图可查表3-2。（3）叠加各内力图上对应截面的纵坐标代数值，得原梁的内力图。【例3-14】用叠加法作图3-31所示外伸梁的M图。解：（1）分解荷载为F1、F2单独作用情况。（2）分别作二力单独作用下梁的弯矩图，如图3-31（b）、（c）所示。（3）叠加得梁最终的弯矩图。有两种叠加方法。第一种方法：叠加A、B、C、D各截面弯矩图的纵坐标，可得0、45N·m、－150N·m、0；再按弯矩图特征连线（各段无均布荷载均为直线），得图3-31（a）。第二种方法：在M1图的基础上叠加M2图得图3-31（d）。其中画AC梁段的弯矩图时，将ac线作为基线，由斜线中点b向下量取bb1=120N·m,连ab1及cb1，三角形ab1c即为M2图。这种方法也可以叫作区段叠加法。

杆件的内力分析三、区段叠加法作梁的弯矩图用区段叠加法作梁的弯矩图对复杂荷载作用下的梁、刚架及超静定结构的弯矩图绘制都是十分方便的。图3-32（a）所示梁上承受荷载q、F作用，如果已求出该梁截面A、B的弯矩分别为MA、MB，则可取AB梁段为脱离体，由其平衡条件分别求出截面A、B的剪力QA、QB，如图3-32（b）所示。此梁段的受力图与图3-32（c）所示简支梁的受力图完全相同，因为由简支梁平衡条件可求出其支座反力FA=QA，FB＝－QB。因此，二者的弯矩图也必然完全相同。用叠加法可作出简支梁的弯矩图如图3-32（d）所示，故AB梁段的弯矩图也可用此叠加法作出。用区段叠加法画梁段的弯矩图时，一般先确定两端截面的弯矩值，如BD梁段，先求出MB和MD=0，将两端截面弯矩的连线作为基线，在此基线上叠加简支梁作用杆间荷载时的弯矩图，即得该梁段的弯矩图。BD梁段的弯矩图如图3-32（e）所示。结论：任意梁段都可以看作简支梁，都可用简支梁弯矩图的叠加法作该梁段的弯矩图。这种作图方法称为“区段叠加法”。区段叠加法作静定梁的弯矩图，应先将梁分段。分段的原则是：分界截面的弯矩值易求；所分梁段对应简支梁的弯矩图易画（可查表3-2）。【例3-15】用叠加法作图3-33（a）所示外伸梁的弯矩图。解：（1）求支座反力。FA=15（kN）(↑)FB=11（kN）(↑)（2）分段并确定各控制截面弯矩值，该梁分为CA、AD、DB、BF四段。MC=0MA=－6×2=－12（kN·m）MD=－6×6＋15×4－2×4×2=8（kN·m）MB=－2×2×1=－4（kN·m）MF=0（3）用区段叠加法绘制各梁段弯矩图。先按一定比例绘出各控制截面的纵坐标，再根据各梁段荷载分别作弯矩图。如图3-33（b）所示，CA梁段无荷载，由弯矩图特征直接连线作图；AD、DB有荷载作用，则把该段两端弯矩纵坐标连一虚线，称为基线，在此基线