四川省成都市列五中学2023-2024学年高一下学期三月月考数学试题

高2023级高一下期数学3月月考一、单选题（共8题，每题5分）1.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：．故选：A．2.下列说法错误的是（）A.B.，是单位向量，则C.若，则D.任一非零向量都可以平行移动【答案】C【解析】【分析】利用向量的有关概念即可.【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；对于D项，因为非零向量自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．故选：C．3.函数，的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】，当，即时，取得最大值.故选：D.4.若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。确定函数的解析式.【详解】如图：易知：，，即.由，，时，.所以：.故选：C5.已知，则（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由可得，故，故选：A6.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案.【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角，所以.，即.故选：C.7.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域．【详解】，因为，所以．即值域为，故选：C．8.设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.【详解】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）9.下列各式中，值为的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.【详解】对于A：，所以A正确对于B：，所以B正确对于C：，所以C不正确对于D：，所以D正确，故选：ABD.10.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小正周期为B.点是函数图象的一个对称中心C.将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数D.函数在区间上单调递增【答案】AB【解析】【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项，【详解】对于A项，函数的最小正周期为，故A项正确；

对于B项，当时，，而，故点是函数图象的一个对称中心，即B项正确；对于C项，函数图象向左平移个单位长度，得到，由于不恒零，故该函数不是偶函数，即C项错误；对于D项，当时，，函数在区间上没有单调性，故D项错误.故选：AB.11.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C.的图象关于点对称D.若方程在上有且只有6个根，则【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，，，而，则，，由的图象过点，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，，A正确；函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，非奇非偶函数，B错误；，C错误；显然，若方程在上有且只有6个根，则，D正确.故选：AD三、填空题（共3题，每题5分）12.若为锐角，且，则_____．【答案】【解析】【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以．故答案为：.13.______．【答案】##0.5【解析】【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得.【详解】由故答案为：14.关于函数有下列三个结论，①是函数的周期；②函数在的所有零点和为；③函数的值域；其中所有正确结论的编号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．【详解】对①，因为函数，所以是函数的周期，①正确;对②，令，则，解得，即或，，而，所以，，，，故函数在的所有零点和为，②错误；对③，设，则，所以，③正确．故答案为：①③【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.【小问1详解】因为，所以，解得.【小问2详解】因为所以的值为.16.化简求值（1）已知，求的值（2）已知，且．求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；（2）先求得的值，再求得的值，从而可求得的值.【小问1详解】由得，因为，所以，，故.【小问2详解】因为，所以，所以所以因为，所以.17.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：（1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式可得．【详解】（1）设，由题意得：，，；则，当时，，即；因此，；因此，，；（2）由题意：，即：；则：；又因为，所以．18.已知数的相邻两对称轴间的距离为.（1）求解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.【小问1详解】由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.故【小问2详解】将函数图象向右平移个单位长度，可得的图象.再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.【小问3详解】由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得所以.综上，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；（2）求y=Asin(ωx+φ)+B值域通常用换元法；19.已知函数，其中．（1）若，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【小问1详解】函数，若，则与是相邻的最小值点和最大值点，的最小正周期为，由，解得，得，令，解得，此时，所以的对称中心为.【小问2详解】，，，所以或解得或，又，得，所以，函数最小正周期