压轴计算题抢分练(二)

压轴计算题抢分练(二)(时间：30分钟)1.如图1所示，平面OM和水平面ON之间的夹角为30°。两平面之间同时存在匀强磁场和匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；匀强电场的方向竖直向上。一带电小球的质量为m，电荷量为q，带电小球沿竖直平面以大小为v0的初速度从平面OM上的某点沿左上方射入磁场，速度方向与OM成30°角，带电小球进入磁场后恰好做匀速圆周运动。已知带电小球在磁场中的运动轨迹与ON恰好相切，且带电小球能从OM上另一点P射出磁场(P未画出)。图1(1)判断带电小球带何种电荷？所加电场的电场强度E为多大？(2)求出射点P到两平面交点O的距离sOP；(3)带电小球离开磁场后继续运动，能打在左侧竖直的光屏OO′上的T点，求T点到O点的距离。答案(1)正电荷eq\f(mg,q)(2)eq\f(4mv0,qB)(3)eq\f(2mv0,qB)＋eq\f(6m2g,q2B2)解析(1)根据题意，带电小球受到的静电力与重力平衡，则带电小球带正电荷。由力的平衡条件得qE＝mg解得E＝eq\f(mg,q)。(2)带电小球在叠加场中做匀速圆周运动，所受合力为洛伦兹力根据牛顿第二定律有qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)得R＝eq\f(mv0,qB)根据题意，带电小球在匀强磁场中的运动轨迹如图所示，Q点为运动轨迹与ON相切的点，I点为入射点，P点为出射点。小球离开磁场的速度方向与OM的夹角也为30°，由几何关系可得，QP为圆轨道的直径，故sQP＝2ROP的长度sOP＝eq\f(sQP,sin30°)，联立以上各式得sOP＝eq\f(4mv0,qB)。(3)带电小球从P点离开磁场后做平抛运动，设其竖直位移为y，水平位移为x，运动时间为t。则水平位移x＝v0t＝sOPcos30°竖直位移y＝eq\f(1,2)gt2，联立各式得sOT＝2R＋y＝eq\f(2mv0,qB)＋eq\f(6m2g,q2B2)。2.如图2所示，圆心为O、半径为R＝0.3m的光滑绝缘eq\f(3,4)圆弧轨道固定在绝缘水平面的右侧，轨道最低点A与水平面平滑连接，B点为轨道的最高点。与轨道相切于C点的虚线GCF右侧区域内(不包含GCF)存在电场强度大小E＝1600V/m、方向水平向右的匀强电场。t＝0时刻，电荷量为＋0.01C的物块a以v1＝9m/s的速度由M点水平向右运动，不带电的物块b以v2＝3m/s的速度由N点水平向左运动，某时刻a、b发生正碰(碰撞时间极短)，碰后粘在一起组成物块c。已知物块a、b的质量分别为ma＝0.8kg、mb＝0.4kg，与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.2、μ2＝0.4，M、N之间的距离L1＝2.28m，N、A之间的距离L2＝0.98m。物块均可视为质点，碰撞前后物块所受的摩擦力大小保持不变，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：图2(1)物块a、b碰撞过程中损失的机械能；(2)物块c在A点的速度大小；(3)物块c运动到B点时对圆弧轨道的压力；(4)物块c落到水平面时的速度大小。答案(1)15.6J(2)5m/s(3)40N，方向竖直向上(4)eq\r(17)m/s解析(1)对物块a由牛顿第二定律得μ1mag＝maa1解得a1＝2m/s2，方向水平向左同理可得，物块b的加速度大小为a2＝4m/s2，方向水平向右设t＝t1时刻两物块相碰，由题可知L1＝v1t1－eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)＋v2t1－eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,1)解得t1＝0.2s碰撞前瞬间物块a的速度大小为va0＝v1－a1t1解得va0＝8.6m/s碰撞前瞬间物块b的速度大小为vb0＝v2－a2t1解得vb0＝2.2m/s由题可知，碰撞前物块a、b所受的摩擦力等大反向，故物块a、b组成的系统动量守恒，规定水平向右为正方向，有mav1－mbv2＝(ma＋mb)v3解得v3＝5m/s，方向水平向右由能量守恒可知，物块a、b碰撞过程中损失的机械能为ΔE机＝eq\f(1,2)maveq\o\al(2,a0)＋eq\f(1,2)mbveq\o\al(2,b0)－eq\f(1,2)(ma＋mb)veq\o\al(2,3)解得ΔE机＝15.6J。(2)设在0～0.2s内物块b运动的位移大小为s，则s＝v2t1－eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,1)解得s＝0.52m物块c的电荷量为q＝0.01C由动能定理得－μ1mag(s＋L2)－μ2mbg(s＋L2)＋EqR＝eq\f(1,2)·(ma＋mb)veq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)·(ma＋mb)veq\o\al(2,3)解得vA＝5m/s。(3)A、B两点电势相等，由动能定理得－(ma＋mb)g·2R＝eq\f(1,2)·(ma＋mb)veq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)·(ma＋mb)veq\o\al(2,A)解得vB＝eq\r(13)m/s设在B点轨道对物块c的支持力大小为FN，有FN＋(ma＋mb)g＝(ma＋mb)eq\f(veq\o\al(2,B),R)解得FN＝40N由牛顿第三定律可知，物块c运动到B点时对圆弧轨道的压力大小为40N，方向竖直向上。(4)如图所示物块c所受的重力与静电力的合力大小为F合＝eq\r([（ma＋mb）g]2＋（qE）2)＝20N设等效最高点为P点，假设物块c能通过P点，则由A至P有－F合(R＋Rsin37°)＝eq\f(1,2)(ma＋mb)veq\o\al(2,P)－eq\f(1,2)(ma＋mb)veq\o\al(2,A)解得vP＝3m/s设物块c能通过P点的最小速度为vPmin，则F合＝(ma＋mb)eq\f(veq\o\al(2,Pmin),R)解得vPmin＝e