9.4.2 菱形 苏科版八年级数学下册教学课件

9.4.2菱形第9章中心对称图形——平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2菱形的定义及其性质菱形的判定知识点菱形的定义及其性质知1－讲11.定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知1－讲2.特殊性质如下表图形文字语言(性质)符号语言菱形的四条边都相等∵四边形ABCD

是菱形，∴AB=BC=CD=AD菱形的两条对角线互相垂直∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC菱形既是轴对称图形，有两条对称轴，又是中心对称图形知1－讲(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直以及进行相关的计算；(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线长与边长之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和；(3)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形；(4)菱形的面积=底×高=两条对角线长乘积的一半(填空题、选择题直接运用).知1－讲特别提醒：1.菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可.2.菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法.3.菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.知1－讲3.矩形和菱形的区别(1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.知1－讲例1[一模·泰安]已知：如图9.4.2-1，在菱形ABCD

中，E、F分别是BC、CD

上的点.(1)如图①，若CE

＝CF，求证：AE

＝AF；知1－讲证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B

＝∠D，AB

＝BC

＝

CD＝DA(菱形的对角相等，四条边相等)．又∵CE

＝CF，∴

BE＝DF．在△ABE和△

ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，∴△ABE≌△ADF．∴AE

＝AF．知1－讲解题秘方：紧扣菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识求解.知1－讲技巧点拨：在求与菱形有关的角的问题时，由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线，把四边形问题转化为特殊三角形(等边三角形、等腰三角形等)问题来解答.知1－讲(2)如图②，若∠B

＝∠EAF＝60°，∠BAE

＝20°，求∠CEF的度数．知1－讲解：如图9.4.2-2所示，连接AC．∵四边形ABCD

为菱形，∠B

＝60°，∴

AB＝BC

＝

CD＝DA，∠D

＝∠B

＝60°．∴△ABC

与△CDA为等边三角形．∴

AB＝AC，∠B

＝∠ACF

＝∠BAC

＝60°．∵∠

EAF＝60°，∴∠BAE

＝∠CAF．知1－讲在△ABE

和△ACF

中，∠

BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，∴△ABE≌△ACF．∴

AE＝AF．∵∠EAF

＝60°，∴△EAF

为等边三角形．∴∠

AEF＝60°．∵∠

AEC＝∠B+∠BAE＝∠

AEF+∠CEF，∴60°+20°＝60°+∠CEF．∴∠CEF

＝20°．知1－讲在菱形中如果出现“30°“”60°“”120°“”一边等于最短对角线”这些词语时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决.知2－讲知识点菱形的判定21.判定图形文字语言(判定)符号语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(定义法)∵AB=BC(或AB=AD

或AD=CD

或BC=CD)∴ABCD

是菱形四边相等的四边形是菱形(判定1)∵AB=BC=AD=CD，∴四边形ABCD

是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定2)∵AC⊥BD.∴ABCD

是菱形知2－讲2.易错警示判定菱形时，一定要明确前提是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的：(1)若从“四边形”出发，则还需四条边相等；(2)若从“平行四边形”出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.知2－讲特别提醒：1.菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.2.判定菱形的常见思路四边形可依据题目特点选取不同的方法.四条边都相等→菱形对角线互相垂直且平分→菱形平行四边形对角线互相垂直→菱形有一组邻边相等→菱形知2－讲例2已知：如图9.4.2-3，在△ABC

中，CD平分∠ACB

交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC

交AC

于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？知2－讲解：四边形DECF

是菱形.理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF

为平行四边形.∵AC∥DE，∴∠2=∠3.∵CD平分∠

ACB，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DE=EC.∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).知2－讲解题秘方：紧扣定义中“两个条件”进行判断.知2－讲解法提醒:菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的一种判定方法.在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.平行四边形一组邻边相等菱形知2－讲例3如图9.4.2-4，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O

作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E

和点F，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴

OB=OD，AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB.∴DE=BF.又∵

DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF

是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).知2－讲知2－讲解题秘方：紧扣“对角线垂直”这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形.解法点拨：证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明.知2－讲平行四边形对角线互相垂直菱形知2－讲例4如图9.4.2-5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB

于点E，点F

在DE

的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.证明：∵

DE垂直平分BC，∴BE=CE.∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠BCE=∠B=30°.∴∠ACE=60°.∴△ACE

为等边三角形.∴AE=CE=AC.∵∠AEF=∠BED=90°-∠B=60°，AF=CE=AE，∴△AEF为等边三角形.∴AE=AF=EF.∴AC=CE=EF=AF.∴四边形ACEF是菱形(四条边相等的四边形是菱形).知2－讲知2－讲解题秘方：由线段垂直平分线的性质得出BE=CE，再