（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题能力训练15 直线与圆-人教版高三数学试题

专题能力训练15直线与圆专题能力训练第36页

一、能力突破训练1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.x-322+y2=254 B.C.x-342+y2=2516 D.答案:C解析:因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.2.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为()A.32 B.25 C.355 答案:B解析:由题意知圆心坐标为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h为圆心到直线的距离d=|2+2×3-3|1+(-2)2=5,底边长为l=2r2-d2=23.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]答案:A解析:设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又|AB|=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤64.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()A.1 B.2 C.3+1 D.3答案:B解析:由题意知φ(a,b)=a2+b2+1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,a2+b2表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ5.已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a=.

答案:0或1解析:当a=0时,l1⊥l2;当a≠0时,由-1a·2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为.

答案:(x-1)2+y2=1解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据|3×1+4×0+2|32+42=7.(2019天津十二重点中学联考(二))已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线3x+4y+4=0均与圆C相切,则圆C的方程为.

答案:(x-2)2+y2=4解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0).∵直线3x+4y+4=0与圆C相切,∴|3a+4|3故圆C的方程为(x-2)2+y2=4.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.

答案:26-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=(2-1)2+(5-09.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA·PB解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m由垂径定理,得m25+(3)2=22,即m=±所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+即x2-y2=2.因为PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2且点P在圆O内,所以0≤由此得0≤y2<1.所以PA·PB的取值范围为[-10.已知圆O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,故曲线Γ的方程为x24+y2=(2)连接OB.因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,即OB⊥AB.设B(x0,y则x0(x0-3)+y02=又x024+y02=1,解得x0=则kOB=±22,kAB=∓2则直线AB的方程为y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求解:(1)由题意可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k解得4-73所以k的取值范围为4-(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由题设可得4k(1+k)1+所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.在矩形ABCD中,|AB|=1,|AD|=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为()A.3 B.22 C.5 D.2答案:A解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC即圆的方程是(x-2)2+y2=45易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ所以λ+μ=12x-y+1设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r即|2-z所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.13.已知直线k(x+1)+y+2=0恒过定点C,且以C为圆心,5为半径的圆与直线3x+4y+1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为.

答案:221解析:由x+1=0,y+2=0,得x所以以C为圆心、5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25.圆心到直线3x+4y+1=0的距离d=|-3-则AB的长度为|AB|=225-4=214.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是答案:[-52,1]解析:设P(x,y),由PA·PB≤20,得x2+y2+12x-6y把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20,得2x-y+5≤0.由2可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由215.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.

答案:4解析:因为|AB|=23,且圆的半径R=23,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为R2-|由|3m-3|将其代入直线l的方程,得y=33x+23,即直线l的倾斜角为30°由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|cos3016.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2因为|BC|=|OA|=22+42而|MC|2=d2+|BC所以25=(m+5)25+5,解得故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+所以x2因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t+4)-解得2-221≤t≤2+221.因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221].17.已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化简,得x2-2tx+y2-4ty=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或4t,则B0,4t,故S△AOB=12(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=2t∴t=2或t=-2.∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=