第03讲平行线的性质（知识解读达标检测）

第03讲平行线的性质【题型1利用平行线性质求角度】【题型2利用平行线性质解决三角板问题】【题型3利用平行线性质解决折叠问题】【题型4平行线性质的实际应用】【题型5利用平行线的判定与性质的综合】【题型6尺规作图】考点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【题型1利用平行线性质求角度】【典例1】（2023秋•涟源市期末）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：如图所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故选：C．【变式11】（2022秋•芮城县期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（）A．122° B．120° C．118° D．115°【答案】A【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一个外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故选：A．【变式12】（2022秋•白银期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（）A．15° B．85° C．95° D．115°【答案】C【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故选：C．【变式13】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（）A．60° B．80° C．100° D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【题型2利用平行线性质解决三角板问题】【典例2】（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式21】（2022秋•新绛县期末）将等腰直角三角形和直尺按图中方式叠放在一起，若∠1＝76°，则∠2的度数为（）A．14° B．31° C．36° D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的对边平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故选：B．【变式22】（2022秋•邓州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【答案】D【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式23】（2022秋•淇县期末）如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【题型3利用平行线性质解决折叠问题】【典例3】（2023秋•蕲春县期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【变式31】（2023秋•长治期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（）A．112° B．116° C．138° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故选：B．【变式32】（2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D′处，点C落在点C′处，若∠AD′M＝50°，则∠MNB的度数为（）A．40° B．70° C．80° D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折叠可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故选：B．【变式33】（2023秋•桥西区期中）如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B【题型4平行线性质的实际应用】【典例4】（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160° B．150° C．140° D．130°【答案】D【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故选：D．【变式41】（2023春•鸡西期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的度数（）A．160° B．150° C．140° D．135°【答案】A【解答】解：如图，延长AB，交DC延长线于点E，由题意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故选：A．【变式42】（2023春•西安期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】B【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故选：B．【变式43】（2023春•渠县校级期末）如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径；机器人从A点出发，到达B点，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，这时机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，那么∠D的度数是（）A．100° B．120° C．140° D．90°【答案】B【解答】解：过点C作FC∥AB，由题意可得：AB∥FC∥ED，则∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，则∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故选：B．【题型5利用平行线的判定与性质的综合】【典例5】（2023秋•市期末）如图，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）140°．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【变式51】（2022秋•汝州市期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）请说明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【变式52】（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式53】（2023秋•香坊区校级期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【答案】（1）AD与EC平行，理由见解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考点2：尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角【典例6】（2023秋•青龙县期中）下列作图语句正确的是（）A．作射线AB，使AB＝a B．作∠AOB＝∠a C．延长直线AB到点C，使AC＝BC D．以点O为圆心作弧【答案】B【解答】解：A、射线是不可度量的，故选项错误；B、正确；C、直线是向两方无线延伸的，故选项错误；D、需要说明半径的长，故选项错误．故选：B．【变式61】（2022秋•宁明县期末）下列尺规作图的语句正确的是（）A．延长射线AB到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线AB＝3cm D．延长线段AB至C，使AC＝BC【答案】B【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；故选：B．【变式62】（2023春•环翠区期末）下列关于几何画图的语句，正确的是（）A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB B．延长线段AB到点C，使AC＝BC C．反向延长射线BC D．连接B、C，使BC＝5cm【答案】C【解答】解：A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB，因为射线AB不能延长，所以A选项错误，不符合题意；B．延长线段AB到点C，得到AC＝AB+BC，即AC＞BC，所以B选项错误，不符合题意；C．反向延长射线BC，C选项正确，符合题意；D．连接B、C，则BC不一定是5cm．所以D选项错误，不符合题意．故选：C．【变式63】（2022春•莱阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】B【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．一．选择题（共10小题）1．（2023秋•道里区校级期中）如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2是（）A．150° B．155° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130°．故选：C．2．（2023春•宁明县期末）如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．75°【答案】D【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），而∠1＝105°，∴∠2＝180°﹣105°＝75°．故选：D．3．（2023•枣庄二模）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故选：B．4．（2023春•砀山县校级期中）下列作图属于尺规作图的是（）A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝60° B．借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．用三角尺画MN＝1.5cm D．用三角尺过点P作AB的垂线【答案】B【解答】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，故选：B．5．（2023春•衢江区期中）如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1＝125°，则∠2＝（）A．110° B．130° C．150° D．80°【答案】A【解答】解：∵长方形纸条对边互相平行，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°，由折叠的性质得，∠3＝∠4，∵长方形纸条对边互相平行，∴∠2＝∠3+∠4＝55°+55°＝110°．故选：A．6．（2023春•温州月考）如图，a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠A＝40°，∠2＝26°，则∠1等于（）A．26° B．25° C．24° D．23°【答案】C【解答】解：过B作BD∥a，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠CBD＝∠2＝26°，∠1＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝24°，∴∠1＝24°．故选：C．7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，AF是∠BAC的角平分线，DF∥AC，若∠BDF＝60°，则∠1的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：∵AF是∠BAC的角平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵DF∥AC，∴∠DFA＝∠CAF，∴∠BAF＝∠DFA，∵∠BDF＝60°，∴∠DFA＝∠1＝30°．故选：C．8．（2023•广陵区二模）如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度数为（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝100°．∴∠A+∠ACD＝180°．∴∠ACD＝80°．∵∠BCD＝50°．∴∠ACB＝∠ACD﹣BCD＝30°．故选：B．9．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E＝60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M，若∠AHG＝49°，则∠FMD等于（）A．49° B．39° C．29° D．19°【答案】D【解答】解：∵∠AHG＝49°，∴∠EHF＝∠AHG＝49°（对顶角相等），在△EFH中，∠EFH＝180°﹣60°﹣49°＝71°，∴∠AFM＝∠EFG﹣∠EFH＝90°﹣71°＝19°，∵AB∥CD，∴∠FMD＝∠AFM＝19°．故选：D．10．（2023秋•西平县月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，由折叠可知，∠BCD＝∠ECD＝＝65°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．（2022秋•牡丹区期末）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠A＝110°，则∠AEC＝35°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝35°，∴∠AEC＝∠DCE＝35°；故答案为：35．12．（2022秋•普宁市期末）把一张长方形的纸按上图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′处，若∠OGC＝50°，则∠CGD'的度数为80°．【答案】80°．【解答】解：由题意可知，∠OGC＝∠BOG＝∠B′OG＝50°，B′O∥D′G，∴∠OBG＝∠CGD′＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案为：80°．13．（2023•邹城市一模）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的∠A＝120°，第二次拐的∠B＝150°，第三次拐的∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝150°．【答案】150°．【解答】解：过点B作BD∥AE，由已知可得：AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠ABD＝∠A＝120°，∠CBD+∠C＝180°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣120°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠CBD＝180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．14．（2022秋•林甸县期末）如图，AB∥CD，点O在AB与CD之间，∠AOC＝75°，∠C＝28°，则∠A＝47°．【答案】47．【解答】解：如图，过点O作OE∥AB，∵OE∥AB，AB∥CD，∴CD∥OE，∵∠C＝28°，∴∠COE＝28°，∵∠AOC＝75°，∴∠AOE＝75°﹣28°＝47°，∵OE∥AB，∴∠A＝47°，故答案为：47．15．（2023秋•广平县期中）如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若∠FGC＝16°，则