14.1.4整式的乘法（一）（解析版）

整式的乘法（一）知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.特别说明：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.题型一：单项式乘单项式计算【例题1】（2022·江苏盐城·七年级期末）计算：【答案】【分析】先计算积的乘方，幂的乘方，再算同底数幂相乘即可；【详解】原式==【点睛】本题考查了单项式的乘法，计算积的乘方，幂的乘方，以及同底数幂相乘，熟悉掌握以上运算法则是解题的关键．变式训练【变式1-1】（2020·四川遂宁·八年级期末）．【答案】【分析】先计算积的乘方，再运用单项式的乘法进行计算．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式的乘法运算．解题的关键在于正确的计算．【变式1-2】（2021·吉林长春·八年级期末）计算：．【答案】【分析】先算积的乘方，再算单项式乘以单项式即可．【详解】【点睛】本题考查单项式乘单项式，积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式法则，积的乘方运算法则是解题的关键．【变式1-3】（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：．【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．题型二：利用单项式乘单项式求字母的值【例题2】（2021·河南开封·八年级期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝___，k＝___．【答案】

3

8【分析】由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果．【详解】解：∵∴∴故答案为：3；8【点睛】本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2020·全国·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．【答案】-2【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．【详解】由题意，得，，则．故答案为：-2．【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．【变式2-2】（全国·七年级课时练习）若，则______.【答案】8【分析】先把等号左边的代数式进行化简，然后指数相等求出m、n的值，进行计算即可.【详解】解：，∴，，∴，，∴；故答案为8.【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，以及积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂相乘，解题的关键是掌握单项式乘以单项式的运算法则.【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．【答案】8【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n．【详解】解：，∴，解方程组得：，，故答案为8．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键．知识点二：单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.题型三：单项式乘以多项式计算【例题3】（2022·湖南岳阳·七年级期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘多项式即可；（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．（1）=-8a6b3⋅（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2）【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．变式训练【变式3-1】（2022·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）计算：【答案】【分析】根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．【详解】解：原式＝．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】先根据单项式乘多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算：先进行整式的乘方运算，再进行整式的乘除运算，然后进行整式的加减运算；涉及到合并同类项，单项式乘多项式法则等知识点．能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．【变式3-3】（2022·广西贵港·七年级期中）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2.【答案】﹣20a2+9a；-98【分析】先计算整式的乘法，然后计算加减，最后代入求值即可.【详解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2+9a，当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98.【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.题型四：利用单项式乘以多项式求字母值【例题4】（2021·全国·七年级专题练习）若的结果中不含项，则____________．【答案】0【分析】先利用单项式乘以多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值．【详解】解：，由结果中不含x4项，得到-5a=0，即a=0，故答案为：0．【点睛】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．变式训练【变式4-1】（河南南阳·八年级期中）若是一个单项式，且，则__．【答案】．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了多项式除以单项式，正确将原式变形是解题关键．【变式4-2】（2021·江苏·七年级专题练习）若恒成立，则______．【答案】-4【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案．【详解】解：，恒成立，，，，，，，所以．故答案为：-4．【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键．【变式4-3】（2020·全国）若的展开式中只含有项，则m的值为________．【答案】4【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则先将原式展开，再合并同类项，根据题意，只需系数不为零，其他项的系数为零即可解答．【详解】[解析]．∵的展开式中只含有项，∴，解得，故答案为：4．【点睛】本题考查单项式乘多项式、合并同类项，掌握单项式乘以多项式的运算法则，能根据题意得出等价条件是解答的关键．题型五：单项式乘以多项式应用【例题5】（2021·四川）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为______．【答案】1：3【分析】根据题意和图形，设BC的长为x，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差，然后再根据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，即可得到b：a的值．【详解】设BC的长为x，左上角与右下角的阴影部分的面积的差为：（x﹣a）•3b﹣（x﹣4b）•a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案为：1：3．【点睛】本题考查整式的加减，关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算．变式训练【变式5-1】（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）已知，分别以长度为a、b、c的线段为边长构造三个正方形，按如图所示的方式放置，则图中两阴影部分面积的大小关系为________（填>、=或<）．【答案】=【分析】根据面积和与差求出S1与S2，利用转化为统一形式，进行比较即可【详解】解：∵，∴∵，，∴．故答案为=．【点睛】本题考查列代数式，单项式与多项式乘法和代数式恒等变形，掌握列代数式的方法与技巧，以及利用进行恒等变形是解题关键．【变式5-2】（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)这个盒子的长为，宽为，高为；(2)求这个无盖盒子的外表面积．【答案】(1)米；米；米(2)平方米【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．（1）解：盒子的长为：（米）；盒子的宽为：（米）；盒子的高为：a2（米）．故答案为：米；米；米．（2）∵纸片的面积是：（平方米），小正方形的面积是：（平方米），∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．【变式5-3】（2022·安徽合肥·七年级期中）某同学在计算一个多项式M乘以-2a时，因抄错运算符号，算成了加上-2a，得到的结果是a+2a-1，(1)求这个多项式M；(2)求出正确的运算结果．【答案】(1)a+4a-1(2)-2a-8a+2a【分析】（1）根据题意可知，再根据按照去括号、合并同类项的顺序计算即可；（2）利用单项式乘多项式的法则进行计算即可．（1）解：∵计算一个多项式乘以-2a时，因抄错运算符号，算成了加上-2a，得到的结果是a+2a-1，∴这个多项式；（2）正确的计算结果是：．【点睛】本题主要考查了整式的加减以及单项式乘多项式的知识，掌握去括号法则、合并同类项法则以及单项式乘多项式法则是解题的关键．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·贵州黔西·中考真题）计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．【详解】=故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．【真题2】（2022·陕西·中考真题）计算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．【真题3】（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．【答案】4【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．【详解】将代入得：原式故答案为：4．【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)【答案】2n2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数…由此发现规律是：第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数故答案为：2n2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．【拓展2】（2021·湖南）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要_______________枚棋子．【答案】【分析】本题可依次解出n=1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的棋子枚数．【详解】解：时，总数是；时，总数为；时，总数为枚；…；时，有枚．故答案为：．【点