江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

20232024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求值.【详解】，故选B．【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（）A.30 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式求得结果.【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1，所以扇形的面积.故选：B.3.已知是第二象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【详解】解：因为是第二象限角，所以，所以在第三象限.故选：C.4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（）A. B.3 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据正弦的定义得到，解出即可.【详解】因为，是角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.故选：A.5.在上，满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.故选C.【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6.已知函数的最小正周期，下列说法正确的是（）A.函数在上是减函数B.函数的图象的对称中心为C.函数是偶函数D.函数在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】先根据函数的最小正周期可得到，从而可写出函数的解析式：，然后根据解析式判断函数的单调性，对称性，奇偶性，以及最值，即可得出答案.【详解】因为函数的最小正周期，，得，所以，⑴令，解得：，函数在上是增函数，故A选项错误；⑵令，解得：，其对称中心的横坐标，所以B选项错误；⑶因为，所以函数是奇函数，故C选项错误；⑷当时，，.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查学生的数学运算的能力，属于较易题.7.函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，的图象，可得，，再根据五点法作图，可得，，．故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象，故选：D．8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，因为，周期，函数在上没有零点，则，所以，因为，所以，又在上没有零点，所以，解得，又因为，，，所以或，故选：B.【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.对立事件一定是互斥事件B.若互斥事件，则C.甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75D.从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件与互斥事件的关系判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B；根据独立事件的概率公式结合对立事件的概率计算判断C；根据古典概型的概率计算判断D.【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系可知，对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，A正确，对于B，根据互斥事件的概率加法公式知，是互斥事件，则，正确；对于C，甲乙两人独立地解同一道题，各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是，C错误，对于D，从中任取2个不同的数，共有和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6种情况，其中取出的2个数之差的绝对值为2的情况为1和3，2和4，故取出的2个数之差的绝对值为2的概率是，故选：ABD10已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的定义域为C.若，则 D.在其定义域上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据正切型函数性质判断各项正误.【详解】A：由正切型函数性质知的最小正周期为，对；B：由正切函数知，可得，错；C：，则，可得，对；D：由正切函数单调性知：在上递增，但在定义域上不单调，错.故选：AC11.已知奇函数定义域为，若对，有，且当时，，则下列结论中正确的是（）A.B.函数是周期函数，且周期为2C.函数在区间上的零点个数是7个D.对，【答案】BCD【解析】【分析】通过赋值法可以判断A选项；根据函数的周期性判断B选项；由对称性及函数图像即可判断C、D选项．【详解】解：由，令得：，．∵为奇函数，，，，所以选项A错误，选项B正确；函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，分别作出与的图像如下所示：由图像易知有7个交点，故选项C正确；对于选项D，对，由对称性可知：关于对称，所以，又大于0，，小于0，，所以，所以选项D正确．故选：BCD．【点睛】本题的关键是画出及的图像，判断出函数关于对称；易错点是容易忽视是图像上的点，导致在选项C中判断零点个数出错．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的最小正周期为______.【答案】【解析】【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解.【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：函数的最小正周期为.故答案为：.13.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则_____________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，得到，再结合余弦函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】由函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，又由是偶函数，则有，解得，因为，可得．故答案为：.14.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：9四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（1）求sinα和tanα的值（2）若，化简并求值【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．【小问1详解】∵，由三角函数的定义得，；【小问2详解】∵，∴.16.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】令，解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以，所以.又因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当，即时，取得最小值，即；当，即时，取得最大值，即.故在上的值域为.17.某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该校男生身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.【答案】（1）155.625厘米（2）【解析】【分析】（1）首先判断该校男生身高的中位数在内，设该校男生身高的中位数为，则，解得即可；（2）分别求出身高在、内的男生中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】因为，，所以该校男生身高的中位数在内.设该校男生身高的中位数为，则，解得，即该校男生身高的中位数约为厘米.【小问2详解】由题意可知从身高在内男生中抽取的人数为，记为，从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，从这5人中随机抽取2人的情况有共10种，其中符合条件的情况有共7种，故所求概率.18.已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．（1）当时，求函数的值域；（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．【答案】（1）（2），n=5

【解析】【分析】（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.（2）结合图象特征可求的值．【小问1详解】的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，因为图象过点，故，故，故.当时，，，故函数的值域为.【小问2详解】在上的图象如图所示：因此与的图象在上共有5不同的交点，这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，,故n=5.令，则，故的图象在内的对称轴分别为：，，，，，结合图象可得，，，，故.19.已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意可求得参数，根据三角函数的图象的平移以及函数的奇偶性求得，即得函数解析式；（2）根据，求得函数的范围，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，即可求得参数范围；（3）令，求得函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，根据区间内零点个数即可确定答案.【小问1详解】由,得，则,则为奇函数，所以，又，则，故.【小问2详解】由于，则，，故,而恒成立,即，整理可得，