微专题7-1排列组合（13种考法69题专练）解析版

微专题7-1排列组合（13种考法69题专练）考法1：捆绑法考法2：插空法考法3：特殊元素法考法4：间接法考法5：隔板法考法6：倍缩法解决定序问题考法7：不平均分组问题考法8：平均分组问题考法9：分类分步问题考法10：部分平均分组问题考法11：特殊位置法考法12：染色问题考法13：排数问题考法1：捆绑法1．（2023春•普陀区校级月考）5位同学和2位老师一起拍照，要求排成一排，2位老师相邻但不排在两端，则不同的排法共有种．（结果用数字表示）【分析】首先排2位同学到两端、再排其余3位同学与2位老师，按照分步乘法计数原理计算可得．【解答】解：首先排2位同学到两端，有种排法，再排其余3位同学与2位老师，其中老师需相邻，故有种排法，按照分步乘法计数原理可得一共有种排法．故答案为：960．【点评】本题考查了排列的应用，考查分步乘法计数原理，属于中档题．2．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念，则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是_____．【答案】【分析】利用排列知识可得甲不站两端且乙和丙相邻结果数，再利用古典概型概率公式即得.【详解】甲、乙、丙等五人在某景点站成一排共有种结果，把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，故共有种结果，所以甲不站两端且乙和丙相邻的概率是.故答案为：.3．（2022秋•嘉定区校级期中）甲乙丙丁戊5名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同的排列方法有种．【分析】先将乙和丙捆绑在一起，记为新的元素己，则甲乙丙丁戊5名同学排成一列，且甲不站在排头，乙和丙相邻等价于甲、丁、戊、己4名同学排成一列，且甲不站在排头，然后结合排列、组合及简单计数问题求解即可．【解答】解：先将乙和丙捆绑在一起，记为新的元素己，则甲乙丙丁戊5名同学排成一列，且甲不站在排头，乙和丙相邻等价于甲、丁、戊、己4名同学排成一列，且甲不站在排头，则不同的排列方法有种，故答案为：36．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．4．（2021秋•静安区校级期末）有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种．（用数值表示）【分析】由甲、乙两人相邻，故可先对甲、乙进行捆绑后，再进行计算．【解答】解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：240．【点评】本题考查了分步计数原理，以及排列组合的综合应用，属于中档题．5．（2021春•金山区校级月考）中国古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物．许多汉字与玉相关，如：玲、珑、珍、珠、琼、理等，现将“玛、玚、珅、珪、珽、珊”六个汉字排一排，其中笔画数相同的汉字必须相邻的排法有种．（用数字作答）【分析】首先数出6个字的笔画数各有2个相同，由必相邻，则用捆绑法再排列即可．【解答】解：汉字笔画为传统文化中的常识，求同存异，除偏旁外，六个字剩下的笔画数分别为3，3，5，6，6，5．故由相邻问题捆绑法，可知共有个．故答案为：48．【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用捆绑法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．6．（2020春•浦东新区校级月考）现有6辆不同颜色的小汽车排成一队，其中红色车与蓝色车不能相邻，黑色车与白色车相邻，则不同的排队方法共有种．【分析】根据题意，分3步进行分析：①将黑色、白色车先捆绑，看作一个整体，②再将这个整体与除红色、蓝色车的另外两辆车全排列，③在隔开的四个空位内插入红色车与蓝色车，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①将黑色、白色车先捆绑，看作一个整体，注意它们的顺序，有种排法，②再将这个整体与除红色、蓝色车的另外两辆车全排列，有种排法，③排好后有4个空位，然后在隔开的四个空位内插入红色车与蓝色车，有种排法，则一共有种排法，故答案为：144．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7．（2021春•杨浦区校级期中）汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有种．A． B． C． D．【分析】根据相邻问题捆绑法，以及分步计数原理进行计算即可．【解答】解：把相邻两个字母看作一个，则字母和数字排法有种，每个字母有26种，每个数字有10种，则共有种．故选：．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法以及分步乘法是解决本题的关键，是基础题．考法2：插空法8．（2023秋•浦东新区校级期末）6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有种不同的排法．【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案．【解答】解：先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人，．故答案为：480．【点评】本题考查插空法求解排列问题，是基础题．9．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为______（结果用最简分数表示）【答案】【分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然后由古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】6个空位选2两个放0，剩余4个放1，故总的排放方法有种，个不相邻的排法利用插空法，4个1之间包括两头有5个位置可以放0，故排放方法有种，则个不相邻的概率为，故选：C．10．（2020春•浦东新区校级月考）某小朋友已将五辆不同的玩具汽车排成一队，此时爸爸从沙发底下找出两辆玩具汽车．如果将这两辆玩具汽车放到队列中，且原来五辆玩具汽车的顺序不变，那么不同放法的总数为．【分析】一个一个的依次进行插空即可求解．【解答】解：先插一个汽车再插一个汽车共有：种放法．故答案为：42．【点评】本题考查了排列组合以及简单计数问题，属于基础题．11．（2021秋•虹口区校级期末）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法A．120种 B．80种 C．64种 D．20种【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案．【解答】解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有，则共有种情况．故选：．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．12．（2021秋•嘉定区校级月考）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有A．408种 B．240种 C．192种 D．120种【分析】先进行全排，求出“射”在第一次，“数”和“乐”两次相邻，则讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法．【解答】解：这六门课程的全排种，“射”排在第一节的排法有种，“数”和“乐”两次相邻有，“射”排在第一节且“数”和“乐”两次相邻，“六艺”讲座不同的次序共有，故选：．【点评】本题考查排列组合的知识，属于基础题．考法3：特殊元素法13．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）用组合成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，取得的数为偶数的概率是.【答案】/0.4【分析】应用排列数求出所有三位数个数及其中偶数的个数，由古典概型的概率求法求概率.【详解】任取三个数字组成三位数有种，其中三位数为偶数有种，所以取到的数为偶数的概率为.故答案为：.14．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有种不同的接力方式.【答案】【分析】甲先选择，然后乙丙丁再全排列，根据分步乘法计数原理可得结果.【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法，乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法，所以一共有种接力方式，故答案为：.15．（2022·上海市莘庄中学高三期中）某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是_________.【答案】【解析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，得到概率．【详解】解：由题意知本题是等可能事件的概率，所有事件数是满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有种结果，两个奥运广告不能连放，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有3种结果，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，共有种结果，要求的概率是，故答案为：【点睛】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出符合题意的事件数，这里要应用排列组合的原理来解出结果，属于中档题．16．（2024上·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.（2）学生乙最终获得分，有两种情况：①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.考法4：间接法17．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除A和参加同一科的情况即可得答案.【详解】根据题意，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A和参加同一科的有种情况；所以，满足题意的情况共有种.故答案为：.18．（2023上·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.【答案】54【分析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案.【详解】若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案，若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种，所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.故答案为：54.19．（2021·上海奉贤·一模）从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示）【答案】54【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答.【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，其中重合的直线，按有序数对，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以经过坐标原点的不同直线条数是.故答案为：54【点睛】思路点睛：涉及部分排列组合问题，用直接法求解，分类复杂，可以求出不考虑条件的所有结果，再去掉不符合要求的结果，即运用逆向思维，间接求解．考法5：隔板法20．（2023下·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有种不同的分配方法（用数字作答）【答案】15【分析】因为名额之间无差别，故采用隔板法即可求解.【详解】7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，采用隔板法可知，即从6个空中插入2个隔板，共有种不同分法，故答案为：15.21．（2022上·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种.【答案】126【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法.【详解】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种.故答案为：126.22．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．【答案】【分析】考虑把D中的5个数分成三堆：①1，1，3②1，2，2，计算概率得到答案.【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,则总共有种，求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，函数是“不严格单调增函数”的概率是故答案为：.23．（2022·上海·高三专题练习）小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为_________.【答案】【分析】将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；【详解】题干情景可以转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空；将10个小球排好，有9个空隙，从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分为3份；所以，分类方法共有种；甲盒有1个小球的情况有：共8种；所以，概率为.故答案为：.24．（2023下·上海闵行·高二校考期中）12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）(1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案；(2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；(3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？【答案】(1)(2)(3)11508，【分析】（1）由题意根据隔板法求解；（2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解；（3）分别按分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解.【详解】（1）利用隔板法：.（2）根据捆绑、插空：高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列，再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有.（3）①.若按2，2，5分组，则有：种，②.若按2，3，4分组，则有：种，③.若按3，3，3分组，则有：种，故共有种安排方式.若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种，若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有

种，若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420种，故甲、乙在同一组的概率为.考法6：倍缩法解决定序问题25．（2022下·上海徐汇·高二上海中学校考期中）用“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”这六个字可以组成种不同的六字短语（不考虑短语的含义）.【答案】360【分析】先将六个字全排列，再除以2即可.【详解】先将六个字进行排列，有种选择，由于六个字中有两个相同的“墩”，故均重复计算了一次，所以共有种不同的六字短语.故答案为：36026．（2022上·上海杨浦·高二校考期末）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有种不同的站队方法.【答案】25200【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【详解】设10名学生中，有女生人，男生人，则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率，整理得：，即因式分解可得：，解得：或（舍去）或（舍去）所以10名学生中，有女生6人，男生4人，将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法，因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法，所以一共有，故答案为：2520027．（2021·上海交大附中高三开学考试）如图，微店销售某产品，该产品共剩A、B、C三种颜色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中的最上面的一盒（全部拿完），则不同的取法有__________种（用数字作答）【答案】210【分析】利用定序法，转化为将7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色的顺序是确定的，问题得以解决【详解】解：由题意可得将问题转化为将7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色的顺序是确定的，所以共有种，故答案为：21028．（2023下·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．(1)若从两队中选2人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）(2)若从甲、乙两队各选2人参加值日，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？（结果用数字表示）(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果用数字表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对选出的2人进行讨论，再由分类加法计数原理得出答案；（2）以男生的选法进行分类，再由分类加法计数原理得出答案；（3）由除序法求解即可.【详解】（1）从甲组中选2人，共有种；从乙组中选2人，共有种；从甲组和乙组中各选1人，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法.（2）当这名男生选自甲组，共有种；当这名男生选自乙组，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法（3）因为女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，所以有种不同排法.考法7：不平均分组问题29．（2023上·上海青浦·高三校考期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为.【答案】【分析】利用偶函数的性质，结合平均分组与不平均分组的解法，利用古典概型的概率公式即可得解.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，当是偶函数时，有，，而的值域为，所以有且，或且两种情况，不考虑为偶函数时，分两种情况讨论：一种是将分成一组1个元素，一组3个元素的情况，此时有种情况满足题设；一种是将分成每组各2个元素的情况，此时有种情况满足题设；综上，满足的定义域为，值域为的情况共有种，所以函数是偶函数的概率为.故答案为：.30．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考虑把D中的5个数分成三堆：①1，1，3②1，2，2，计算概率得到答案.【详解】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,则总共有种，求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，函数是“不严格单调增函数”的概率是故答案为：.31．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________.【答案】【分析】求出不加限制条件的参加方法，再按分组分配方法求得两天都有人参加活动的方法数，然后计算概率．【详解】甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动的所有方法数为，周六､周日都有同学参加公益活动的方法娄得，所以周六､周日都有同学参加公益活动的概率是．故答案为：．32．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有___________种.【答案】1800.【分析】根据题意，先把学生分成两组，然后从25所学校中选出两所，进而将学生分配到两所学生中，最后得到答案.【详解】将3个学生分为两组，有种情况，从25所学校选出两所，有种情况，于是，共有种.故答案为：1800.33．（2020·上海·高三专题练习）某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为___________.【答案】【分析】根据分步计数原理得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】6位乘客进入4节车厢的方案共有46种.6位乘客按各节车厢人数恰好为0，1，2，3进入共有A44C60C61C52C33＝1440种方法．∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为．故答案为．【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．考法8：平均分组问题34．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】【分析】分别确定第一轮比赛，第二轮比赛，第三轮比赛安排方案数，再由分步乘法计数原理确定总的方法数.【详解】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.35．（2022·上海奉贤·统考模拟预测）某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且每班安排名，则不同的安排方案种数为__．【答案】【分析】先把名学生平均分成两组，组和组无差别，再把这两组分到个班级中的两个班级，根据分步乘法原理即可求得答案．【详解】先把名学生均分两组有种方法，然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法，根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．故答案为：.36．（2022·上海·二模）某大学计算机系4名学生和英语系的4名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概率是_____________________.【答案】【分析】先计算总共有种选法，再计算满足条件的，最后按照古典概型计算概率即可.【详解】8人平均分到4个班级共有种选法，每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有种分法，故概率为.故答案为：.37．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分法？(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分成三组，每组2本．【答案】(1)90；(2)15.【分析】（1）根据给定条件，利用分步乘法计数原理结合组合问题列式计算作答.（2）利用平均分组的方法列式计算作答.【详解】（1）从6本不同的书中任取2本给甲，再从余下4本书中任取2本书给乙，最后2本给丙，所以平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本的不同分法数为（种）.（2）6本不同的书平均分成三组，每组2本的不同分法数为（种）.考法9：分类分步问题38．（2024上·上海·高二上海市川沙中学校考期末）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有种.（用数字作答）【答案】96【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择，当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择，故共有种选择.故答案为：9639．（2023·上海长宁·统考一模）将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.【答案】12【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余学生排列.【详解】先将甲乙看成一个整体，共有种不同排法，再与剩余学生排列，共有种不同排法，所以共有种不同排法.故答案为：12.40．（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有个.【答案】18【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故答案为：1841．（2023·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．【答案】【分析】先排第一节，再利用插空法计算即可.【详解】先排第一节有种排法，再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有种不同排列,并形成3个空排艺术、体育两门科目，有种排法，故不同的排课方法有种方法.故答案为：24.42．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种.周一周二周三周四周五演讲､绘画､舞蹈､足球编程､绘画､舞蹈､足球编程､书法､舞蹈､足球书法､演讲､舞蹈､足球书法､演讲､舞蹈､足球注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次【答案】15【分析】应用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案.【详解】1、周二选编程，则选课方案有种；2、周三选编程，则选课方案有种；综上，不同的选课方案共15种.故答案为：15.43．（2022·上海·高三专题练习）安排个党员（含小吴）去个不同小区（含小区）做宣传活动，每个党员只能去个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排个党员去小区，但是小吴不去小区，则不同的安排方法数为_________.【答案】44【分析】先分类讨论为小区安排人，再按照“3+1+1”和“2+2+1”两种情况安排其他小区即可.【详解】首先人数分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”两种情况，至少安排个党员去小区，故小区安排人或2人，小吴不去小区，故：若小区安排人，除小吴外还有4人，按照“3+1+1”分配，则有种；若小区安排人，除小吴外还有4人，按照“2+2+1”分配，则有种.故不同的方法数为种.故答案为：44.44．（2021·上海·高三专题练习）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】【解析】基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数，学生甲被抽到包含的基本事件个数，∴学生甲被抽到的概率．故答案为：．【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.考法10：部分平均分组问题45．（2023上·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（用数字作答）【答案】【分析】先分组，再分配，先将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区.【详解】将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区，则有种安排方法.故答案为：46．（2023下·上海奉贤·高二统考期末）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为.【答案】150【分析】利用排列组合以及分步计数原理求解.【详解】先将5名同学分成三组，每组人数有或两种情况，则不同的分组方法有,再由这3组学生选取3门选修课，不同的选法有种，由分步计数原理可知这5名同学选课的种数为，故答案为：150.47．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种.【答案】36【分析】把4名志愿者分为3组，选出2人作为一组，然后将3组全排列即可.【详解】首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有种分法，所以共有种分法.故答案为：36.48．（2020·上海·格致中学高三阶段练习）为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台（同种型号呼吸机不加区分），将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有_____种【答案】6【解析】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院即可.【详解】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，因为同种型号呼吸机不加区分，所以只有1种组合，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院共有种不同的分法，所以将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，不同分配方案有种.故答案为：6【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，考查了分组分配问题，属于基础题.考法11：特殊位置法49．（2023上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）电视台连续播放6个广告，其中包含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首位必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.【答案】240【分析】根据条件，利用排列中特殊元素优先考虑即可求出结果.【详解】因为首位必须播放公益广告，所以共有种，故答案为：.50．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）6个人站一排，在甲不在排头的条件下，乙不在排尾的概率为.【答案】/0.84【分析】先求出甲不在排头的情况，再求出甲不在排头，乙不在排尾的情况，求出概率.【详解】设6个人站一排，甲不在排头为事件A，乙不在排尾为事件B，甲不在排头，故可从剩余5个位置安排一个位置给甲，有种情况再将剩余的5个人进行全排列，有种情况故，6个人站一排，共有种情况，甲在排头的情况有种情况，乙在排尾的情况有种情况，甲在排尾且乙在排头时，共种情况，故种情况，故在甲不在排头的条件下，乙不在排尾的概率为.故答案为：51．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首是周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为.【答案】【分析】根据题意可求出从星期三和星期四中的4首唐诗中抽的个数，已知有1首是周四学的,可分为两种情况分别求解即可得出结论.【详解】因为所抽取的4首唐诗中恰有3首是后两天学的,即从星期三和星期四中的4首唐诗中抽3个：;又因为已知有一首是周四学的，那么剩下的一首唐诗就从星期一和星期二里的4首唐诗抽1个:那么有:(种)；因为已知有1首是周四学的,可分为两种情况:①4首唐诗中有1首唐诗是星期四的；②4首唐诗中有2首是星期四的；对于①(种)；对于②(种)；总可能:(种)故所求概率为:.故答案为：.52．（2023上·上海虹口·高三上外附中校考期中）在某道选词填空题中，共有4个空格、5个不同的备选单词，其中每个空格只有一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中，则恰答对3个空格的概率是．【答案】【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意得，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的；记事件“恰答对3个空格”，则；由古典概型的概率计算公式得，.则恰答对3个空格的概率是.故答案为：.53．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）六位同学站成一排，若甲不站两端，则不同的排法种数是________．【答案】480【分析】根据特殊元素优先安排的原则，即可分步求解.【详解】甲不站两端，则从中间4个位置中选一个位置给甲，然后剩下5个人全排列，故全部排法有,故答案为：54．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）袋中装有标号为1､2､3､4的四只球，四人从中各取一只球，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为___________.【答案】【分析】需进行分类讨论，分甲取2号，3号，4号，结合古典概型公式即可求解【详解】若甲取2号，则分为：（乙3号，丙4号，丁1号）、（乙4号，丙1号，丁3号）、（乙1号，丙4号，丁3号）3种情况，因为甲取3号，4号情况与取2号情况完全等价，故符合题意的情况共9种，总方法数为种，故符合题意的取法对应概率为：.故答案为：55．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数.(1)组成的四位数中，大于4000的有多少个？(2)能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？【答案】(1)360(2)36，132000【分析】（1）根据题意，千位数字可以为4、5或6，有3种情况，从而可解.（2）据题意，能被25整除的四位数其后面两位数字为25或50，从而可解.【详解】（1）根据题意，四位数大于4000，其千位数字可以为4、5或6，有3种情况，百、十、个位任意排列，有种情况，则大于4000的四位数有个；（2）根据题意，能被25整除的四位数其后面两位数字为25或50，若后面两位数字为50，有种情况，若后面两位数字为25，有种情况，则有个被25整除的四位数，其和为.考法12：染色问题56．（2023下·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（

）

A．180种 B．192种 C．300种 D．420种【答案】D【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，若区域与区域同色，此时区域有种选择，若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，故有种涂色方法.故选：D57．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案.【详解】分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;

③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：B58．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。【答案】8【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可.【详解】两种颜色类型的，有种；类型的，有种（两个面相邻、相对）类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）因此共有8种.故答案为：8.59．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有种不同的涂色方法.【答案】【分析】先涂，再分与同色、与不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得.【详解】如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，

先涂有种涂法，当与同色，再涂有种涂法，若与同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，若与不同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，则有种涂法；当与不同色，则涂有种涂法，涂有种涂法，此时与必同色且只有一种涂法，也只有种涂法，则有，综上可得一共有种涂法.故答案为：60．（2020·上海·高三专题练习）如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．【答案】480【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得；【详解】解：依题意，首先染A区域有种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有种方法故答案为：【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题.考法13：排数问题61．（2022上·海南·高二校考期中）设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】任取2个数作为A，B共有种，去掉重复的直线条数即可得解．【详解】[详解]∵从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果，在这些直线中有重复的直线，当和时，结果相同；当和时，结果相同，∴所得不同直线的条数是，故选：C．62．（2023下·上海普陀·高二校考期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有个．（用数字作答）【答案】【分析】分析可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，因此，能被整除的五位数的个数为个.故答案为：.63．（2023下·上海浦东新·高二校考期中）有5张卡片，每张卡片的正反两面分别标有两个数字，且第张卡片上的两个数字分别为和．用这五张卡片排成一排，一共可以组成个不同的五位数（用数字作答）．【答案】3456【分析】先分析每张卡片上数字，再分