2023届云南省玉溪市澄江县一中高三第六次质量考评数学试题试卷

2023届云南省玉溪市澄江县一中高三第六次质量考评数学试题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等腰直角三角形A8C中，NC=^,C4=2后，。为A3的中点，将它沿CO翻折，使点A与点3间的距离

2

为2出，此时四面体A8CO的外接球的表面积为（）.

A.5兀B.迎叵兀C.12万D.20%

3

2.已知函/(九)=(sinx+cosx)?+2cos?x,xs,则/（力的最小值为（)

A.2-72B.1C.0D.-V2

x>0

y>0

3.已知x,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则f的取值范围（)

x+2y<t

2x+y<4

A.[2,4]B.[4,6]C.[5,8]D.[6,7]

4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

5.单位正方体耳G2,黑、白两蚂蚁从点4出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段白蚂蚁爬

地的路线是441-401一黑蚂蚁爬行的路线是A8-8W--,它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段

所在直线必须是异面直线（延尸）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂

蚁的距离是（）

A.1B.y/2C.百D.0

6.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和），轴的正半轴交于A,8两点，点。与点尸关于，轴对称，。为坐标

原点，若BP=2PA，且0Q-A3=l,则点P的轨迹方程是（）

33

A.^x2+3y2=l（x>0,^>0）B.^-x2-3y2=l（x>0,y>0）

33

C.3x2-^y2=l（x>0,^>0）D.3d+万,2=]（x〉o,y〉o）

7.若函数.丫=25山（2乂+e）|同<1^的图象经过点（看,0],则函数/（x）=s讥（2x—°）+cs（2x一夕）图象的一条

对称轴的方程可以为（）

7T37417413»

A.X=-------B.x=------C.x=------D.x=--------

24242424

y=lgsinx+79-x2j,则/(x)=cos2x+2siru,

8.已知集合A=xXGA的值域为（）

A.Ll-4D.,2

9.如图，长方体ABCO-A耳G2中,2AB=3AA]=6,AP=2PB~点丁在棱AA上，若7PL平面P5C.则

tilluuu

TP・B、B=()

C.2D.-2

/（%）是定义在（0,+“）上的增函数，且满足：/（X）的导函数存在，且犬则下列不等式成立的是（

10.

A.”2)<2/(1)B.3/(3)<4/(4)

C.2/(3)<3/(4)D.3/(2)<2/(3)

11.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱A8CO-A4G。中，尸是上底面A/|GR上的动点.给

出以下四个结论中，正确的个数是（）

①与点。距离为G的点p形成一条曲线，则该曲线的长度是]；

②若DP〃面ACB,,则OP与面ACGA所成角的正切值取值范围是半，、回；

③若DP=5则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为60.

A.0B.1C.2D.3

12.已知i是虚数单位，则三•三=（）

A.4二B.：——二C.+二D.二

JJIJ21JJ

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；

随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量却和晶分别

表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则O（酊）=,E（酊）-E（&）=.

14.如果抛物线V=2内上一点A（4,m）到准线的距离是6,那么山=.

x-l<0

15.变量工，）’满足约束条件,x+y+120,则目标函数z=-2x+y的最大值是一.

[x-y+3>0

16.如图，在菱形48co中，43=3,ZBAD=60°,E,尸分别为8C,C。上的点，CE=2EB,CF=2FD,若线段E尸

上存在一点M,使得AM=xA3+gAD（xeR）,贝口=,AMBD=.（本题第1空2分，

第2空3分）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8

X---------

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为2,（/为参数）.以坐标原点。为极点，x轴的正

4f

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=2sin8.

（1）求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程;

TT

(2)若射线e(2>0)与/和C分别交于点A8,求|AB|.

4

22

18.(12分)已知椭圆E：「+与=](。>力>0)的左、右焦点分别为耳和尸2,右顶点为A,且|人耳|=3,短轴

a~b~

长为2vL

(1)求椭圆E的方程；

(2)若过点A作垂直x轴的直线/,点T为直线/上纵坐标不为零的任意一点，过F?作"；的垂线交椭圆£于点P和

Q,当幽=述时，求此时四边形7P耳。的面积.

\PQ\24

19.(12分)记抛物线。：丁=2内5>0)的焦点为尸，点。,E在抛物线C上，且直线DE的斜率为1,当直线OE

过点F时，1。后卜4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若G(2,2),直线DO与EG交于点H,D/+EI=0,求直线印的斜率.

20.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且点(〃,S,,)(〃eN*)在函数丫=2川—2的图像上；

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足：4=0,%+2=%，求也｝的通项公式；

(3)在第(2)问的条件下，若对于任意的〃eN*,不等式包<九〃川恒成立，求实数2的取值范围；

21.(12分)如图，在四棱锥fi48C£>中，RiJ_平面A5cO,ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为

PC的中点.

(1)求异面直线AP,5"所成角的余弦值；

4

(2)点N在线段上，且AN=2,若直线MN与平面所成角的正弦值为不，求2的值.

22.(10分)在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张

明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.

已知张明每次击中鼓的概率为士3，王慧每次击中鼓的概率为2一；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明

43

和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.

(1)若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全

自动洗衣机的概率是多少？

(2)张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和百的分布列和数学期望E记).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

如图，将四面体ABC。放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上

下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.

【详解】

A4BC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后AB=2y/3,

22+22-（273）2

£

cos/ADB=

2x2x22

ZADB=120，

设MDB外接圆的半径为r,

2百

=2r=4：.r=2,

sin120

如图：易得CO，平面曲，将四面体ABC。放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体

外接球的半径为R,

2222

7?=/+1=2+1=5，

四面体A3CD的外接球的表面积为S=4兀R2=2()4.

故选：D

【点睛】

本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径

时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,

比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.

2、B

【解析】

/(x)=V2sin(2x+-)+2,xe,一工42x+土〈红利用整体换元法求最小值.

4L44J444

【详解】

由已知，/(X)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=0sin(2x+?)+2,

一兀,兀乃一兀…〜7171兀，c,、,

又—<x<—,：.——<2x+—<一，故当2x+—=——,即》=——时，/(x)min=L

44444444

故选：B.

【点睛】

本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.

3、B

【解析】

作出可行域，对，进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.

【详解】

当k2时，可行域即为如图中的AO4M,此时目标函数z=9x+6y在A（2,0）取得最大值Z=18不符合题意

f>2时可知目标函数Z=9x+6y在八x+2-y=，t的交点（——8T，-2--f---4-）处取得最大值，此时Z=f+16

2x+y=433

由题意可得，20M+16s22解可得4<t<6

故选：B.

【点睛】

此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于

熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.

4、D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000xl2%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

5、B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为A4-A①一CC—C3一区4,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=3364,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为

黑蚂蚁爬完2020段后回到"点，

所以它们此时的距离为J5.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

6-A

【解析】

设A,5坐标，根据向量坐标运算表示出8P=2PA，从而可利用乂丁表示出。力；由坐标运算表示出OQ-A3=1,代

入a,b整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A(a,O),B(O,b),其中a〉0,A>0

3x八

x-2(^a-xa=—>0

BP=2PA...(x,y-〃)=2(a—x,-y),即<2

y-b=-2y

b=3y>0

P,Q关于)‘轴对称-.Q(-x,y)

OQ-AB—(—x,•{—a,b^-ax+by—1—x2+3y2=l(x>0,y>0)

故选：A

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

7、B

【解析】

由点求得9的值，化简“X)解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得了(x)的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

由题可知2sin\2x^-+(p\=Q,\(f\<^-.(p=-^

\12)26

=>/2sinf2x4--^-

所以/(x)=sin\2x+&+cos2呜=0sin----1——

I6I64

A—57r7i..

令2xH-------=—+kjr,keZ,

122

371k兀，)

得x=----1------,keZ

242

令攵=3,得x=

24

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

8、A

【解析】

先求出集合A=(O,3],化简/(x)=—2sin2x+2sinr+l,令sinx=f«0,1],得g(f)=-2*+2/+1由二次函数的

性质即可得值域.

【详解】

Isinx>0/i/\

由Z炉〉0no<x«3,得A=(0,3_],”x)=cos2x+2sinr=-2sin2x+2situ：+l，令sinx=f,xe(0,3J,

.」e(0』],所以得g(t)=—2户+2r+l,g(r)在1°，£|上递增，在(对上递减，==|，所以

33

g(f)G1,-,即/(X)的值域为1,-

故选A

【点睛】

本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题

9、D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知7PlpB;结合A0=2P4即可证明进而求得力4I.由线段关系及平

UUUUU

面向量数量积定义即可求得7P-4B.

【详解】

长方体ABCO-AgG〃中，2AB=3/U1=6,

点7在棱441上，若7P_L平面PBC.

则7P_L依，AiP=2PBi

则ZPTAX=NBPB],所以AP7X]=\BPBX,

则必=P6]=1,

UHUUIT|UIT||UUII|

所以TP.耳8=TP・B|B•cosZPTA

=722+l2X2XJJ=-2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

10、D

【解析】

根据/（X）是定义在（o,+。）上的增函数及m有意义可得广（力＞0,构建新函数g（x）=no,利用导数可得

J⑴x

g（x）为（（）,+e）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为“X）是定义在（0,+纥）上的增函数，故/（x）NO.

又m有意义，故尸（力看0,故r（x）＞0,所以“X）〈靖（X）.

令g(x)=小),

贝!lg，(x)=x2~~~~〉0，

故g（x）在（0,+力）上为增函数，所以g（3）＞g（2）即卓＞,

整理得到2〃3）＞3〃2）.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

11、C

【解析】

①与点。距离为石的点P形成以A为圆心，半径为夜的1圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在4（或

4

G）时，0P与面ACG4所成角ND4,。（或NOCQ）的正切值为在最小，当尸在。时，ZJP与面ACG4所成角

3

Noq。的正切值为V2最大，可得正切值取值范围是［中,夜］;③设P（x,y,1）,则/+/+1=3,即/+丁=2,

可得DP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为DF=jDp2-DD；=J（G『-12=&，与点。距离为6的点P形成以R为圆心，半径为④的

1圆弧MN,长度为工.2兀•&=走兀；

442

②正确，因为面AOC"面AC与，所以点P必须在面对角线4G上运动，当P在4（或G）时，0P与面ACG4

所成角ND4,。（或NOG。）的正切值为业最小（。为下底面面对角线的交点），当P在。时，0P与面ACGA

3

所成角N。。。的正切值为正最大，所以正切值取值范围是当；

③正确，设P（X,y,l）,贝!|尤2+/+1=3,即Y+y2=2,£）P在前后、左右、上下面上的正投影长分别为"y2+1,

V+1A+

Jd+i,西+丫2,所以六个面上的正投影长度之2（Jy2+i+Jx2+i+&）«22J^'+V2=6五,

当且仅当尸在。时取等号.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.

12、D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

二二一二二।ZG-ZI,.二一二；

------+---------......—~~-+----------------=_**■**♦+--------

2J+-Y（Z+Zi）（Z-：）--2

二I31

-7二+/,+=♦;=：71

故选二

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、20.2

【解析】

分别求出随机变量却和&的分布列，根据期望和方差公式计算得解.

【详解】

设a,Z>e{l,2,1,4,5},则p（却=a）=1,其前分布列为：

12145

2]_2

P

55555

E(第)=-x(1+2+1+4+5)=1.

5

D(6)=|x[(1-1)2+(2-1)2+(1-D2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

$=1.4|a-b|的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

P©=1.4)=?=于/心=2.3)=?="P©=4.2)=¥=-,PU2=5.6)=苗=历，可得分布列.

1.42.34.25.6

2321

P

5To1010

E（Q）=1.4x—F2.3x---F4.2x---F5.6x—2.3.

5101010

：.E⑹-E（晶）=0.2.

故答案为：2,0.2.

【点睛】

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.

14、±40

【解析】

先求出抛物线y2=2内的准线方程，然后根据点A（4,〃。到准线的距离为6,列出4+g=6,直接求出结果.

【详解】

抛物线y2=2px的准线方程为x=-g

由题意得4+4=6,解得p=4.

2

•••点4(4,m)在抛物线y2=2px±.,

77i2=2x4x4>**•m=±4>/2，

故答案为：±4，^.

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

15、5

【解析】

x+y+1=0x=-2

由＜可得<

x-y+3=0y=i

可得A(-2,1),

目标函数z=-2x+y变形为y=2x+z,

平移直线y=2x+z,

当直线y=2x+z经过A(-2,1)时，

可得2=—2犬+丁有最大值4+1=5,

故答案为5.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变

形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

13

16、--

22

【解析】

根据题意，设EM=2EF，则

iI222/L12715

AM=AB+BE+EM=AB+~AD+AEF^AB+-AD+——{AD-AB)=(\——)48+(—+——)AD=xAB+-AD,所以

3333336

■,221

="X=215

,M〈，解得：，所以AM=；A8+5A£>,从而有

13326

—I——A——

〔3364

15112591]53

AMBD^(-AB+-AD)(AD-AB^—ABAD一一AB'+-AD'--x3x3xcos60°——*9+—x9=」.

263263262

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/：x+y-4=0(x*0)；C：x2+y2-2y=0.(2)\AB\=j2

【解析】

Q

(1)由工=上可得

2+t

8

x=---

由2：,消去参数f,可得直线/的普通方程为x+y-4=0(xw0).

4f

y=---

['2+r

由夕=2sin。可得夕2=20sin。，将y=/?sin6,炉=/十丁代入上式，可得/+y一？、二0,

所以曲线C的直角坐标方程为Y+y2-2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程为x+y-4=0(xK0),

7T

将其化为极坐标方程可得0COSe+0sin6-4=0(8*]),

当。=；S>0)时，p=2y[2,

APB=42,

所以|48|=|/-%|=|2应一0|=及.

风⑴<4=1⑵莘

【解析】

。+。=3

（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；

Q2=+C2

（2）设7（2,一根）（加工0）,则阻=及+1,设直线PQ的方程为工=冲+1,联立直线与椭圆方程，消去工,设

P（芭,y）,。（々,必），列出韦达定理，即可表示IPQI,再根据四•=述求出参数〃?，从而得出“小。，最后

由点6到直线PQ的距离得到S”p0=S\F\PQ，由S四边形7PGQ=SATPO+SgpQ=2s△TP0即可得解;

【详解】

Q+C=3a=2

解：（1）<b=6解得

a2=b2+c2c=\

r2v2

・•・椭圆E的方程为土+匕=1・

43

（2）TAQ,。），.•.可设7（2,-机）（加工0）,，|*|=J"+].•••%%=六=-m,

.•.心0=,，.•.设直线PQ的方程为x=/ny+l,

m

x=my+1

<x2y2，（3加+4）丁+6冲—9=0,显然/>0恒成立.

----1----=1

143

设「（与，弘），。（£，%），则%+%=告匕,[9

3m+43m+4

•'-IP。1=5（"々）2+（必-%）2=/〃?（弘-必）丁+（凹-必）2

=J"+|）[（y，+yjfT=J+七」

.幽=心.3苏+4=3*+4=逑

[PQ12（m2+l）12A/^TT24，

二18机4一m2-17=0，.•.解得根2=],解得加=±1,

12V2

\TF2\=y/2,\PQ\^—,SSTPQ=~xy/2x^-=

7

•.•此时直线PQ的方程为x士y—l=0,耳（一1,0）,

...点到直线的距离为"

6PQ号3=收

25-24行

四边形

,.S">40ATP。丁4MIPQ乙QATPQ_7

即此时四边形TP^Q的面积为芋.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

19、(1)y2=2x(2)0

【解析】

(1)根据题意，设直线DE:y=x—与。：、2=22氏5>0)联立，ny2-2py-p2=0,再由弦长公式,

IOE|=Jl+5比一%|=4求解.

y2f_2

,2\二1

设。手,必百言,必根据直线的斜率为则yl

(2)£|，DE1，,得到必+y=2,再由

2

I，722

2

DI+EI^O,所以线段。石中点/的纵坐标为y,=l,然后直线。O的方程y=1X与直线EG的方程

2,>

y=-------U-2)联立解得交点”的纵坐标为y=1，说明直线以///X轴，直线印的斜率为0.

必+，

【详解】

P_则直线

(1)依题意，F,oj,=x—g

2

y2=2px,

联立p^y2-2py-p2=0

设。(石，乂)，以电，%)，

贝!||OE|=J1+」一%|=J1+*X](必+%)2-4%、2=3.2舟=4，

解得〃=1,故抛物线C的方程为y2=2x.

⑵D^2，y'

，%，

_2

因为直线OE的斜率为1,则21_片％+y，所以%+X=2,

T一万

因为。/+£7=()，所以线段DE中点I的纵坐标为x=1.

V=上1-无2

直线。。的方程为'才，即y=-x

t,

G_%-2/2

直线EG的方程为了一=JT二"一，即丁=-----U-2)②

--------Z%+2

人-■

联立①②解得2即点〃的纵坐标为力,=1,即直线H///X轴，

故直线HI的斜率为0.

如果直线EG的斜率不存在，结论也显然成立，

综上所述，直线小的斜率为0.

【点睛】

本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

20、(1)a„=2n(/?eNs)(2)当“为偶数时，2=^+|2"2

当〃为奇数时，(3)(l,4w)

(33

【解析】

(D根据%=5“-2-，讨论〃=1与〃22两种情况,即可求得数列｛%｝的通项公式;

(2)由(1)利用递推公式及累加法，即可求得当〃为奇数或偶数时｛〃｝的通项公式.也可利用数学归纳法，先猜想出通

项公式，再用数学归纳法证明.

b

(3)分类讨论，当〃为奇数或偶数时,分别求得广的最大值，即可求得；I的取值范围.

【详解】

(1)由题意可知,S“=2--2.

当心2时=Sn-S„_i=2向一2-(2"—2)=2%

当〃=1时,％=百=2,+1-2=2也满足上式.

所以a”=2"(〃eN*).

(2)解法一：由(1)可知2+|+2=2"(〃eN*

即%+%=2人（心）

当k=1时也+4=21①

当攵=2时，优+包=22,所以一优一打=一22,②

当攵=3时,仇+々=23,③

当攵=4时，仇+仇=24，所以也一包=-24,@

当左=〃一1时，"为偶数bn+bn_x=2"-'

当k=n时,”为偶数所以一2一b,i=-2-'

以上〃-1个式子相加，得

d+4=2—2?+23—24+…+2”T^2[1-(-2)n']=—+

1-(-2)33

2"2

又伪=0,所以当〃为偶数时血,=土+上.

33

同理，当〃为奇数时，

234,,-21(2)＞，

=2-2+2-2+----2'=["-']=

1-(一2)3

所以，当“为-奇数时也=2土“-』2.

33

解法二：

猜测：当〃为奇数时，

nn22

bi=2-'-2-+---+2-2

猜测：当"为偶数时，

1,22

Z,n=2"--2-+----2+2

以下用数学归纳法证明:

"=1,命题成立；

假设当〃=攵时，命题成立；

当n为奇数时,bk=-2=+…+22-2,

当〃=k+1时，”为偶数，由bk+i+&=2人(ZeN*)得

k

bk+i=2-bk=2*-2*T+2卜2+…一2?+2

故,〃=A+1时,命题也成立.

综上可知，当“为奇数时2=土2"一女2

"33

同理，当〃为偶数时,命题仍成立.

六+|（〃为偶数）

（3）由（2）可知a=<

:一］（〃为奇数）

2"2

1-----1---

①当，，为偶数时,£匚=齐土2"+213

=--1---:---,

%2__22n+,-222,,+|+2

33

bbb、

所以广随〃的增大而减小从而当〃为偶数时,~r~的最大值是片=1.

r_2

②当n为奇数时=33=r_-23

,,+In+l

b„+l2"M,22+：22+2

33

bb131।

所以广n随”的增大而增大，且A=3-诉f<3<l

%%22+22

b

综上，工J的最大值是1.

%

因此,若对于任意的neN“，不等式”,<他用恒成立，只需4>1,

故实数X的取值范围是（1,+8）.

【点睛】

本题考查了累加法求数列通项公式的应用，分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法，数学归纳法证明数列的应用，数列的

单调性及参数的取值范围，属于难题.

21、(1)逅.⑵1

3

【解析】

(D先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量8M和向量AP的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2,由AN=2,设N(0,2,0)(0<z<4),则MN=(—1，一L-2),再求得平面尸8c的一个法向量，利用直线MN

4_____IMN-mII-2—，I4

与平面尸因所成角的正弦值为二'由小(MN，Q尸而而飞5+(八1猿.&=二求解.

【详解】

(1)因为/M_L平面A5C£),且48,ADcYffiABCD,所以PALAD.

又因为N8AO=9()。，所以如，AB,AO两两互相垂直.

分别以AS,AD,A尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则由AO=2A8=28C=4,Ri=4可得

A(0,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),尸(0,0,4).

又因为M为PC的中点，所以