高考数学二轮复习 过关检测八导数的简单应用

专题过关检测(八)导数的简单应用

A级一一“12+4”提速练

1.已知函数/"(X)的导函数/(x)满足下列条件：

①/(x)>0时，/一1或x>2；

②F(x)〈0时，一1<K2；

③f(x)=0时，了=-1或x=2.

则函数『(x)的大致图象是()

解析：选A根据条件知，函数f(x)在(一1,2)上是减函数，在(一8,-1),(2,+8)

上是增函数，故选A.

2.已知a为函数f(x)=x3—12x的极小值点，则a=()

A.l4B.-2

C.4D.2

解析：选D由题意得/(x)=3，-12,由/(入)=0得*=±2,当x£(—8,—2)

时，/(x)>0,函数Hx)单调递增，当X£(—2,2)时，/(x)<0,函数F(x)单调递减，当

或£(2,+8)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，所以己=2.

3.已知函数F(x)=—Inx+万+3,则函数“x)的单调递减区间是()

A.(—8,0)B.(0,1)

C.(0,+°°)D.(1,+°0)

1/(x)〈0,

解析：选BF(x)=——+x(x〉0).由、得0<水1.所以函数Hx)的单调

x〔x>0,

递减区间是(0,1).

4.函数F(x)=£—Inx的最小值为()

A.1+ln2B.1-ln2

1+ln21-ln2

C.-------D.-------

解析：选C因为f(x)=/—Inx(x>0),所以F(jr)=2x—~,令2x—‘=0得才=卓,

xx2

f(x)〈0,贝！0<x<¥.所以/'(x)在(0,由上单调递减，在

令F(x)>0,则令

+8)上单调递增，所以+x)的极小值(也是最小值)为In¥=1+；2,故

选C.

5.已知函数f{x}=f+2x+sinx,若f{a)+/(l-2a)>0,则实数a的取值范围是()

A.(1,+°0)B.(一8,1)

解析：选B・・,函数Ax)的定义域为R,A—x)=—F(x),・・・F(x)为奇函数.又/(x)

=3f+2+cosx>0,在R上单调递增，所以F(a)>F(2a—1),a>2a—1,解得水1.故

选B.

6.定义在R上的函数f{x)=—f+/与函数且(才)=_f(x)—4才在［―1,1］上具有相同的

单调性，则A的取值范围是()

A.(一8,o］B.(一8,-3］

C.［-3,+8)D.：0,+8)

解析：选D/(x)=—3*W0在［―1,1］上恒成立，故Hx)在［—1,1］上递减，

结合题意g(x)=—£+〃—我在［-1,1］上递减，

故g'(x)=—3x—k^0在［—1,1］上恒成立,

故，2—3?在［—1,1］上恒成立,故一20.

7.(2017•全国卷H)若x=-2是函数Ax)=(£+ax—l)e-的极值点，则人工)的极

小值为()

A.11B.—2e3

C.5e-3D.1

解析：选A因为Ax)=(V+ax—1)6-，

所以f(T)=(2^+a)ex1+(x+ax—1)ex1

=［x+(a+2)x+a-1］e"-1.

因为x=—2是函数F(x)=(/+"—l)e-的极值点，所以一2是/+(a+2)x+a—l

=0的根，

所以a=—l,f(x)=(S+x—2)e'T=(x+2)(x—1)e'T.

令f(x)>0,解得水一2或x>l,

令f(x)<0,解得一2〈水1,

所以/<x)在(-8,—2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以当x=l时，f(x)取得极小值，且?(王)极小值=『(1)=一1.

8.(2020届高三•江西七校第一次联考)若函数f(x)=2x-3渥+6x在区间(1,+-)

上为增函数，则实数〃的取值范围是()

A.(—8,1]B.(—8,I)

C.(—8,2]D.(—8,2)

解析：选C因为/(x)=6(f—修+1),且函数/"(X)在区间(1,+8)上是增函数，

所以f(x)=6(x?—RX+1)20在(1,+8)上恒成立，即廿一〃x+120在(1,+8)上恒成

立，所以勿w'+1=为+,在(1,+8)上恒成立，即勿w(x+']in(xe(1,+8)),因为当X

xx\X)

e(l,+8)时,所以后2.故选C.

9.(2019•广东七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x),当xWO时，有

xf'W<0,则下列各项正确的是()

A./(-1)+/(2)>2/(0)

B.f(—l)+f(2)=2F(0)

C.A-D+A2)<2A0)

D.f(—l)+r(2)与2f(0)大小关系不确定

解析：选C由题意得，K0时，f(x)是增函数，x〉0时，/<x)是减函数，；.x=0是函

数/5)的极大值点，也是最大值点，•••『(一1)〈/(0),/(2)</(0),两式相加得，A-D+

r(2)<2/(0),故选C.

10.已知函数f(x)在定义域R内可导，f(x)=f(2—x),且当xG(—8,1)时，(x—

l)f'(x)<0.设a=f(O),6=gj，c=f(3),则a,b,c的大小关系为()

A.c〈水6B.水伙a

C.a<b<cD.欣

解析：选A依题意得，当x〈l时，f'(x)>0,函数F(x)为增函数.又f(3)=f(—1),

-1<O<|<1,.,"(一1)〈『(0)〈用，即f⑶〈f(0)〈O，Ac<a<b.

11.函数f(x)(x>0)的导函数为F(x),若xf(x)+F(x)=e*,且『⑴=e,贝U()

A.f(x)的最小值为eB.『(x)的最大值为e

C.f(x)的最小值年D.f(x)的最大值为％

解析：选A设g(x)=xf(x)—e\

所以g'(x)=_f(x)+x/(x)—e"=0,

所以g(x)=xf5为常数函数.

因为因1)=ixr(l)—e=0,

所以g(x)=xf{x)—e"=g(l)=0,

所以f(x)=n，f'(x)=.(『),

XX

当0〈£〈l时，fr(x)<0,当X>1时，fr(x)>0,

所以F(x)2F(1)=e.

12.已知函数_f(x)=xlnx+#—3x在区间,一g,力内有极值,则整数〃的值为(

)

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B由题意知，f'(x)=lnx+l+x—3=lnx+x—2,令g(x)=lnx+x—2,

(3、3331

因为=5+5—2=ln---<lng(2)=ln2>0,所以函数g(x)=lnx+x

—2在俘，2)内有零点.又g，(x)=；+1>0在(0,+8)上恒成立，所以函数g(x)=lnx

+x—2在(0,+8)上单调递增，所以函数g(x)=lnx+x—2在(0,十8)上有唯一的零点

Ab,且苞金仔，2),所以当万金仔，X。)时，f'(x)〈0，当才£(苞,2)时，f'(x)>0,所以Ab

是函数/'(X)唯一的极值点，且刘6,，2),所以〃=2.

13.函数_f(x)=£—3+2在(0,+8)上的最小值为.

解析：函数Hx)=*3—£+2,(0,+°°),

2当x£(0,日)时，f(X)〈0,

可得/(^r)=3x~2x,令3f—2x=0,可得入=0或X=鼻,

U

函数是减函数；仔，+8)时，/(x)>0,函数是增函数，所以*=•!是函数的极小值也

42普

是最小值，所以f^x)min十42T

F-50

答案：力

14.已知函数F(x)=f—5x+21nx,则函数F(x)的单调递增区间是.

2

解析：函数F(x)=3—5x+21nx的定义域是(0,+8),令f'(x)=2x—5+-=

x

2x-s+2=(x—2)(2x—I)*,解得°〈水.或e2,故函数f(x)的单调递增区间是(0,「和

xx2

(2,+°°).

答案：(0,m和(2,+8)

15.已知f^x)=f+ax+31nx在(1,+8)上是增函数,则实数己的取值范围为.

解析：由题意得/(x)=2x+a+;=,；-20在(1,+8)上恒成立og(x)=2V

a

—W1,

+ax+3N0在(1,+8)上恒成立=/=&2—24忘0或《4、'Q—2mWaW29或

演1)却

［a2一4,l

U-5=a-2机

答案：［―2/，+8)

16.若函数f(6=~2^+4^r—31nx在上不单调,则t的取值范围是.

解析：对f(x)求导，得尸(x)=—X+4—江―x"x—3=(x—l)(x—3).令一⑸

XXX

=0,得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间右+1)内，函

数f(x)在区间［t,右+1］上就不单调，所以伙1〈t+1或伙3＜亡+1,解得0〈伙1或2〈伙3.

答案：(0,1)U(2,3)

B级一一拔高小题提能练

1.已知函数r(x)=亍一/Q+ln，若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数A

的取值范围为()

A.(—8,e]B.[0,e]

C.(―0°,e)D.[0,e)

*e」2xe，(21、(一心一^

解析：选Af'(x)=-------4------4-/+：=----------2--------(x>0)・设g(a=一,则

XyXXJXX

g'(x)=『)e,则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增.

X

PX

所以g(x)在(0,+8)上有最小值，为g(D=e,结合g(x)=：与y=A的图象可知，要

满足题意，只需jt^e.

2.设定义在(0,+8)上的函数f(x)满足x/(x)—f(x)=xlnx,年)=，,则f(x)()

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值

D.既无极大值，又无极小值

解析：选D因为xf(x)—f(x)=xlnx,

所以.(x)["x)=3,

XX

所以产=3,所以以=}n'+c,

\x)xx2

所以f{x}因为=^-ln-+cX所以所以/(x)

2\eyZeeee22

+lnx+；=；(lnx+l)220,所以_f(x)在(0,+8)上单调递增，所以广(x)在(0,+°°)±

既无极大值，也无极小值.

3.(2019•洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R的奇函数y=f^的导函数为y=

f'(x),当x>0时，xf'(才)一『(9<0,若8=黑.[),c=—“、",贝|劣b,c

eIn23

的大小关系正确的是()

A.a<c<bB.伙

C.水伙。D.

解析：选D由题意，构造函数g(x)=",当x>0时，g'(x)=x.(?—”o,

函数g(x)在(0,+8)上单调递减.•函数f(x)为奇函数，.•.函数g(x)是偶函数，，c=与普

=g(—3)=g⑶,又3=g(e),6=g(ln2),且3>e>l>ln2>0,・・.g(3)<g(e)<g(ln2),・1

c<a<b,故选D.

4.已知函数/"(x)=e'+f+(3a+2)x在区间(一1,0)上有最小值，则实数a的取值范围

是