2023-2024学年江苏省南通高一年级下册第一次月考数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南通高一下册第一次月考数学试题

一、单选题

1.函数/(x)=：-lnx的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(3,-H»)

【正确答案】B

【分析】由函数的解析式可得/(2>/(3)<0,再利用函数的零点的判定定理可得函数

〃x)=±-lnx的零点所在的大致区间.

X

a3

【详解】函数〃x)=：-lnx满足/(2)=j-ln2>0,f(3)=l-ln3<0,且函数/(x)

是减函数

.•丿(2).〃3)<0

根据函数的零点的判定定理可得函数〃x)=：-lnx的零点所在的大致区间是(2,3),

故选：B

2.已知则下列命题中正确的是()

A.3x(),Vx>/，有优>x">log,,x成立

B.,Vx>%0,有/>k>g«x>x"成立

C.肛),Vx>/，有x">a">log,,x成立

D.丸)，Vx>xn,有x">log«x>优成立

【正确答案】A

【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案.

【详解】因为”>1,所以函数y="*、y=x\y=log“x均为单调递增函数.

而且各类函数的增长速度为：指数函数快于基函数，幕函数快于对数函数.

所以，3x0,Vx>/，有优>x">log,,x成立.

故选：A.

3.专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间，(单

位：天)与病情爆发系数A，)之间，满足函数模型：f(t)=-­丄…，当/⑺=0」时，

标志着疫情将要局部爆发，则此时r约为(参考数据：4/=3)()

A.10B.20C.30D.40

【正确答案】A

【分析】根据/(。=0」列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方

程，即可得答案.

【详解】解：因为/Q)=0.1,fQ)=]+e，x，)，

所以，即1+〃須2=10,

所以"022(3…=9，由于故(/)2=e22=9,

所以e《22(3”40Te22,所以-0.22(3-40卜2.2,解得年10.

故选：A.

4.平面向量a,8共线的充要条件是()

A.a,厶方向相同B.a,6两向量中至少有一个为零向量

C.3Ae/?,b=AaD.存在不全为零的实数4,4，

【正确答案】D

根据a,方共线的定义得到向量a,〃共线的充要条件

【详解】由a，6共线的定义，

若a，6均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数4,4,使得4：+4力=3；

若awO，则由两向量共线知，存在几片0,使得6=2a，

BPAa-b=O＞符合题意.

故选:D.

本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.

11Q

5.已知cosa=,,cos(a—fi)=-^,且贝lj夕=()

71―兀一兀r5兀

A.-B.-C.-D.—

46312

【正确答案】c

【分析】先利用cosa=:和平方关系得到sina=M§,再利用两角差的余弦公式和平方关

77

系得到关于sin£,cos/的方程组，进而求出角夕.

【详解】由cos(a-y?)=両，可得cosacos夕+sinasin^=R,因为cosa=,,0<^S<a<y,

所以sina=Jl-曰=.即；cos0+sin/?=,即2cos夕+8Gsin£=13,

又根据sW夕+cos2夕=1,解得si^=正，故选C.

本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，意在考查学生的基本运算能力，

属于中档题.解决本题的较好方法是研究已知角和所求角的关系，即=具体

解法如下：

因为cosa=，,0<a,所以sina=生叵，因为0<方<a<£,

7272

所以0<a-夕<],又cos(a-4)=V，所以sin(a-£)=笔，则

nr/mi/m••/m113463百1p

cosp=cos[a-(a-p)\=cosacos(a一4)+sinasin(a-p)=yx—+—x,乂

0<夕苦,所以夕弋.

6.我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉

数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合

思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正

方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记AB=a,AO=6,且

E为防中点，则AF=(

B.L+4

33

D.

55

【正确答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，设出边长，得到点的坐标，列出方程组，求出答案.

【详解】以A为坐标原点，48所在直线为x轴，所在直线为V轴，建立平面直角坐标

系,

设A尸=1,则8F=2,AB=>A，

过点尸作尸。丄x轴于点0,则尸。="竺=厶叵，

AB5

22

由勾股定理得：AO=>JAF-FO=:Y，

讪/石2石]^（非26]

则尸—，故AF=—,

丿[33丿

又川石,0）,。（0,石），

所以设4尸=ma+nb="逐,0）+"（0,遂）=（6见右〃）,

7.已知直角梯形488,4=90。,厶即（24。=£^=丄厶8=1,「是灰：边上的一点，则

2

A.[-U]B.[0,2]C.[-2,2]D.[-2,0]

【正确答案】D

【分析】法一：设8P=ABC（0W/l<1）,把”与pc表示为AB与BC的线性关系，把APPC

表示成关于2的解析式，求解岀取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出

APPC的范围

【详解】法一：因为尸在BC上，不妨设BP=/IBC，

贝i]PC=(l-/l)BC(其中0W4W1)

所以APPC=(A8+2P)PC

=ABPC+BPPC=(1-A)ABBC+ABCPC

=(l-2)/lBBC+2BC(l-A)BC

=(1-2)X2XV2XCOS135°+^(1-2)X(>/2)2

——2(1—A)+24(1—A)

=-222+42-2=-2(/l-l)2,

因为OW/lWl,所以-20—1)2e[-2,0]

法二：如图，以点A为坐标原点，A8所在直线为x轴，A。所在直线为y轴建立直角坐标系.

则A(0,0),8(2,0),£)(0,1),C(l,l),其中NABC=45。，设点+

其中OWmWl,AP=(l+m,\-tn),PC=

AP-PC-—m[\+tn)+m[\—in)=-:2nr

"：0<m<l

：.AP-PC=-2>n2e[-2,0]

8.已知向量a,b的夹角为且对任意实数4,-〃>|冃4-可恒成立，则|°|:闻=()

A.1:1B.2:1C.5.1D.4:6

【正确答案】B

【分析】利用模长与数量积的关系，整理不等式，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】,一研=Id-2而.〃+£=同2_2/1同.忖cos尹；12ML

|o-Z>|=|a「-2a?+W"=冋2-2冋.WcosI+W,

由卜_劝闫&_可，则冋2-2冋似+万时>|d|2_同似+卜『，

整理可得;12好_加似+冋似_心0,

设同胴=f,则储-比+f-120,即△=/-4(1)40,解得f=2.

故选：B.

二、多选题

9.已知向量。4=(3,Y),08=(6,-3),OC=(5-〃?,一3-间，若/A6c为锐角，则实数“可

能的取值是()

A.—1B.0C.-D.1

【正确答案】BD

【分析】利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标

表示，结合向量共线的条件即可求解.

【详解】因为OA=(3,-4),=(6,-3),OC=(5-m,-3,-m),

所以B4=OA_O3=(_3,_l),3C=OC_O3=(_l_〃?,_m).

因为NASC为锐角，

,,3

所以BA,BC=(—3,—1—%7,―6)=3+3机+〃2>0,解得m>——.

当3A〃8c时，(-3)X(TM)一(一1-加)x(—l)=0,解得机=1

当NABC为锐角时，实数机的取值范围是,：,£]u(g,+8]

所以实数加可能的取值是0,1.

故选：BD.

10.在“43C中，。広尸分别是边8008中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

ABACCAD

C.若17力+??胃=丨.内，则BD是AB在BC的投影向量

/ioACA”

D.若点P是线段4。上的动点（不与AD重合），S.BP=ABA+pBC,则〃，的最大值为:

【正确答案】BCD

【分析】对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C,首先根

据已知得到AO为NB4C的平分线，即AD15C,再利用平面向量的投影概念即可判断C

正确.对选项D,首先根据A,P,。三点共线，设BP=，84+（1-0<r<l,再根据已知

A=/

得到\-t，从而得到），=/，〃=«二）=:（八3+：,即可判断选项D正确.

u=----2228

I2

【详解】如图所示：

对选项A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD^0^故A错误.

对选项B,DA+EB+FC=--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

=--AB--AC--BA--BC--CA--CB

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=O,故B正确.

222222

ARATAn

对选项C,丄巴，q,*分别表示平行于43，AC，AO的单位向量,

IAB|\AC\\AD\

ARAC

由平面向量加法可知：丄+叶一为-B4C的平分线表示的向量.

\AB\\AC\

因为四+四=巫丝，所以AO为-54C的平分线,

|A8|\AC\\AD\

又因为4。为BC的中线，所以如图所示:

BD

BA在BC的投影为cos8=184,8。,

BA

所以8。是3A在BC的投影向量，故选项C正确.

对选项D,如图所示:

设8尸=154+(1-0<r<l.

又因为3。=—3C,所以+

22

因为旅=XBA+〃8C,则\-t,04f41.

I〃=2---

人1o1-1.

当时，初取得最大值为g.故选项D正确.

故选：BCD.

11.已知a=（cosasin。）,/?=（cos°,sine）,则下列选项中可能成立的是（）

A.卜+可=|々一司B.|d-fe|=l

C.+D.卜〃-5。|=6

【正确答案】ABD

【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判

断岀答案.

【详解】=(cose+cose，sine+sine),a-b=(cos0—cos^>,sin6*-sin^),

,+司=(cos6+coss)-+(sine+sins)-=2+2(cos0cos^+sin^sin^)=2+2cos(0-^),

,一同=(cos，一cos夕y+(sin，一sinp)~=2-2(cosecos*+sin6sin*)=2-2cos(e—e),

若e="5,此时,=卜_可1=2,故卜+叫,A可能正确;

若e=0+],此时k-4=1,卜一耳=1,B选项可能正确；

+=(cose+cos0,sin，+sin9).(cose-cose，sine-sin9)

=cos20-cos2^9+sin20-sin2^=^cos2^++sin2^-(cos2^+sin2^9)=1-1=0,

故C一定不正确；

1-5Z?|=(4cos0-5cos+(4sin0-5sin^?)~=16+25-40(cos0cos°+sin6sin屮)

=41—40cos(〃—e),

当cos(0-e)=g时，,a-56『=36,故ka-5司=6,D可能正确.

故选：ABD

12.如图，直线4〃4,点A是4,4之间的一个定点，点A到44的距离分别为1，2.点B是

直线4上一个动点，过点A作AC丄交直线4于点C,G4+GB+GC=0,贝ij()

EC_____________,

;

DB2

A.AG=』(AB+AC)B.△G4B面积的最小值是]

J亠

c.|AG|>ID.GA-GB存在最小值

【正确答案】ABC

【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出C(加,3),8,G坐标，根据AC丄A8及

G4+GB+GC=0即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG,g(A8+AC)即可判断A；取AB

中点为F，连接CF,根据GA+GB+GC=0,可得G,C,F三点共线，且G为CF靠近尸的

三等分点，即可找到△G4B面积与-45c面积之间比例关系，进而建立钻面积等式，

根据基本不等式即可判断B,求出再根据基本不等式可判断C；写出G4G8进行化简,

根据用的范围即可得G4G8最值情况.

【详解】解：记A8中点为F,连接CF,以。为原点，

方向分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系：

y

E

A

i

D

所以A（0,2）,E（0,3）,设。（以3）,8（〃,0）,6（人,丁）,团,〃,工丿£1<,月”,〃工0,

所以AC=(〃z,l),4B=(n,—2),因为AC丄AB,所以AC-A8=0,

2jo),所以GA=(—x,2—y),

即6〃一2=0,故〃=—,即B

tn

GB=\--x,-y,GC=(m-x,3-y)

Imf

2c八

一+m-3x=0

因为GA+G8+GC=0，所以,m

5—3户0

2

一(22

-rn___——+m—+772[

AY一m___5m_____1

解得3,即G,所以4G二，

333-3

5

y=-7

，3

2

—卜"i

因为g(AB+AC

,-2=m___

3~3

7

故AG=；（A8+AC）,选项A正确;

因为G4+GB+GC=0，所以GC=-(GA+GB),

即GC=-2GF，所以G,C,尸三点共线，且G为C厂靠近F的三等分点,

所以SAGAB=2S〉ABC?AC|.网

1irr+^v+2>2.m2+2=2,

3m23VVnt23

当且仅当心》即…1时取等,

所以选项B正确;

(22

——\-tn2

m1

因为AG=~，所以,6卜m+一

339

金+祥+42.

_______

Y94-99

4

当且仅当r=ITT,即时取等，故|AG|NI,选项C正确;

m

(23

+m----m

丄5

因为GA=_m___,GB=m___

3333

/

2323］

-+"i----ni+〃?----m

55

所以GA,G5=m___m___m___m___

3333339

7丿

2666

-)5m-y—6

——=—m

9-9

因为〃?wR且n?w0,所以勿［2>o,记=x------6,x>0,

x

可知/(X)单调递增，没有最值,即G4G8没有最值，故选项D错误.

故选：ABC

思路点睛：该题考查向量的综合应用，属于难题，关于三角形三心的思路有:

(1)若G为一ABC的重心，则①G是三边中线的交点，②GA+G8+GC=0,③重心分三

角形中线为2:1；

(2)若。为一43C的内心，则①。是三角形三个角平分线的交点，②〃OA+》O8+cOC=0,

③S^BOC*S&oc：S^BOA=a：b：c；

(3)若。为ABC的外心，则①。是三角形三边垂直平分线的交点,

②sin2A•QA+sin23•08+sin2coe=0，③S^BOC:5A(4OC:S^BOA=sin2A:sin28:sin2C.

三、填空题

］71

13.已知aw。,(，sin|2a,贝ljsin2a=

3

【正确答案】6+3历

6

【分析】利用两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】因为a£（。仁），所以"一?£（一宗会）

又0<"2*—!<4呜=4年,所以2a-我词,

因此cos（2a-?）=Jl-sin2（2a_q）=,

u而..（万丄吟1百6\/66+30

从而sin2a=sin2a——十—=—x——+——x——=------------.

（33丿23236

故4+3应

6

14.设点。是面积为4的一A8C内部一点，且有。4+303+4OC=0，则J50c的面积为

【正确答案】1##0.5

【分析】根据OA+3OB+4OC=0确定点0的位置，然后将面积比转化为边长比即可.

【详解】

OA+3OB+4OC=0

134

...——。4=二08+—0C；

777

设-；OA=OO；

一3一4一

则：0。==08+=0。,即及。,。三点共线；

77

所以丝!=义心=丄；

\ADlsABC8

「411

「•S80c=4x^=7；

oZ

故；

15.在半径为1的扇形AOB中，/4。8=60。,（7为弧上的动点,48与OC交于点尸,则OP.BP

的最小值是.

【正确答案】

16

【详解】试题分析：设弦AB中点为M，则OPBP=(OM+MP)BP=MPBP,若MP,BP同

向，则0P-82>0;若MP,BP反向，则。尸尸<0，故OP-8P的最小值在MP,8P反向时

取得，此时|叫+网=g,op.BP=一府卜网2」阴；网产=_,，当且仅当

冋卜网=；时取等号，即OP-BP的最小值是

向量数量积、基本不等式求最值

16.设函数=方程〃x)=,”有四个不相等的实数根演，々，占，%,

[/(4-x),2<x<4

则无；+考+考+x：的取值范围为.

【正确答案】120,2)

【分析】先求出分段函数的解析式，然后作出函数图象，确认零点所在区间以及零点之间的

关系，然后将转化为其+考+4+/关于演的函数，求出函数的值域即可.

【详解】因为2Vx<4,则0<4—x<2,/(x)=/(4-x)=|ln(4-x)|

作出函数图象，如图:

所以玉+%4=W+玉=4,-lnx）=lnx2,所以石々二1，

114

所以％=—，/=44一一=4-々，

X?x2

।（।Y

所以芍+X；+X；+芍=—7+%+（4-尤2）+4-----

X2\X2）

（iY（1）

=2x——8%,H—+28

I2Xl）X2）

因为电«1,2）,所以々+：€（2,|）

令F+卜八局,

所以原式化为〃。）=2r-8/+28丿€（2,1）,

因为〃⑺在（2,|）单调递增，

所以20＜力（。＜?,即x；+4+X；+£的取值范围为（20,日

故答案为.（20,日）

四、解答题

17.如图：直角三角形ABC中，AC1BC,AB=2,。是AB的中点，M是C。上的动点,

(1)若M是C。的中点，求的值；

(2)(M4+MB)-MC的最小值.

31

【正确答案】(1)--；(2)--

42

【分析】(1)根据向量的线性运算，得M4=A/£)+£)A且MB=MD-D4，因此

MA-MB=ML)2-D/(>再代入题中数据即可得到MA-MB的值；

(2)设MD=x,则MC=1-x,由三角形中线的性质化简得

(MA+=2MD.MC=lx2-lx,接下来求二次函数)，=282-2x在区间［0,1］上的最值，即

可得解.

【详解】解：(1):8是Rt_ABC的斜边A8上的中线，

:.CD=^AB=l,得MD=：CD=；

MA=MD+DA>MB=MD+DB=MD-DA，

：.MAMB=［MD+DA)\MD-DA)

，21/1fQ

=MD-DA=|-CD|2-1DAP=I-I-『二-“

(2)设MD=x,则VC=l—x.其中醱W1

MD是△M4B的中线，M4+MB=2MD,

得(M4+㈣.MC=2MD-MC

=-2陷.陷=-2x(1-x)=2A-2-2x,

2x2-2x=2(x--)2--

22

・•・当且仅当X时，2/-2X的最小值为

22

即当x=L时，（MA+MB）.MC的最小值为

22

18.已知函数/（X）=Asin（3x+e）（A>0,（y>0,|夕|<口的部分图象如图所示.

【正确答案】（1）答案见解析;

八、4G+3

⑷--------

【分析】（1）根据函数图象可得4,周期7,即可求出。，再由图象过点（卷》,2）即可求出

。，得到函数解析式，求出单调区间；

（2）由=。求岀sina,cosa,再由两角差的正弦公式直接计算/（1-刍）即可.

126丿526

【详解】（1）由图象可知，A=2,且7=2（三万-2万）=乃=生，解得3=2

1212co

所以/（x）=2sin（2x+9）,

因为f（--:万）=2sin（1）+⑼=2，

126

571

所以一4+夕=2占）+—（占GZ）

62

7T

则尹=20r-§（KeZ）,

则仅当匕=0时•，符合题意，

TT

所以/（X）=2sin（2x--）,

令2Z4一,W2x-—<2k7r+—（keZ）,解得k7r-—<x<k7r+—（keZ）

TT

综上，/(x)的解析式为F(x)=2sin(2x-g),

单调增区间为ki-黑,ki+空(yZ)；

(2)因为f(%)=2sin(2x-工),

3

所以f(W+J)=2sina=?,

265

所以sina=|,又71

2

所以cosa=Jl-sira=—,

小I、Jf(a九、o-/2万2万•2乃46+3

9T以-----)=2sin(<z------)=2sinacos------2cosasin——=-------------

263335

19.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商

品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价P(x)(元)与时间x(元)的函数关系近似

满足尸(x)=l+f(女为正实数).该商品的日销售量。(x)(个)与时间x(天)部分数据如

下表所示：

第X天10202530

Q(x)个110120125120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

⑴求k的值；

(2)给出以下两种函数模型：①Q(x)=ar+6,②Q(x)=a|x-25|+A,请你根据上表中的数

据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并

求出该函数的解析式；

(3)在(2)的情况下，求该商品的日销售收入〃x)(04x430,x€N+)(元)的最小值.

【正确答案］⑴)=1

(2)选②，Q(x)=\25-\x-25\,1<X<30,XGN+

⑶/⑴而n=121

【分析】(1)根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出左=1；

(2)当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入。(1。)=110,

2(20)=120,待定系数法求出解析式；

x+—+101,l<x<25,xeN+

(3)求岀〃x)=P(x)-Q(x)={*,当1MX425时，由对勾函

---x+149,25<%<30,xeN+

数得到其单调性，从而求出最小值，当25<x430时，由函数单调递减求出最小值，比较后

得到/(x)的最小值.

【详解】⑴由题意得：第10天该商品的日销售收入为P(10)Q10)=(l+2)xll0=⑵，

解得：k=1,

(2)由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，

VQ［x}=a\x-2^+b,0(10)=110,2(20)=120,

.J15a+人=110

■*[5«+/?=120'

解得：“=-1,6=125,

Q（x）=125—|x—25],l<x<30,xeN,:

J1004-x,l<X<25,XGN

（）+

(3)由(2)可知:Qx=125-|x-25|-

[150-X,25<X<30,XGN+

1nn

x+—+101,l<x<25,xeN

x+

所以/（x）=P（x）-Q（x）=，

--x+149,25<x<30,xeNt

、X

当”x425时，由对勾函数知y=x+詈在［1,10］上递减，在［10,25］上递增,

所以当X=l()时，/(x)取最小值，/Wmin=121,

当25<x430时，)，=?-》在(25,30］上递减,

所以当x=30时，/(X)取最小值，/U)mjn=124,

综上：所以当x=10时，/(x)取最小值，=121.

20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,B,C三点共线，点。不在直线A8上，满

足OC=；OA+2O8.

⑴求2的值；

/冗2

(2)A(l,cosx),B(l+cosx,cosx),xe[O,—],f(x)=OAOC-(2m+^)\AB\,若/(x)的最小

值为g(m),求g(m)的最大值.

【正确答案】(1)(;

⑵1.

【分析】(1)根据给定条件，利用平面向量基本定理推理计算作答.

(2)利用向量数量积的坐标表示求出函数/(x),再借助二次函数在闭区间上的最值求出

g(/M)即可求解作答.

【详解】(1)因A,B,C三点共线，即AC=〃AB,贝J有1OC=(1-〃)OA+〃O8,〃eR,

112

依题意，。4。8不共线，而OC=§OA+XO3,于是得1一"=§，4=丸，解得4=§，

所以见的值是;.

27T

(2)因4(l,cosx),B(l+cosx,cosx),由(1)知，OC=(l+?cosx,cos%),xe[O,—],

2222,5

f(x)=1+—COSA：4-COS-x-(2m4--)cosx=(cosx-m)~+,jfn0<cosx<1,

当机40时，COSX=0,有gO)=/(X)min=1，

当0<相<1时，cosx=m9有g(M=/(x)min=1一/£(°，1)，

当机Z/时，8sx=1,有g(〃2)=/(%)min=2-2机40,

1,m<0

所以g(M=i->,0<加<1的最大值是1.

2-2m,m>I

思路点睛：涉及分段函数最值问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出

这些集合的并集即可探求出最值.

x2+4x+3,x<0

21.已知函数/(、)=，4

--------l,x>0

x+1

⑴画出“X)的图象，并写出“X)的单调递减区间;

(2)当实数。取不同的值时，讨论关于x的方程/(x)=a的实根的个数；(不必求出方程的解)

⑶若关于x的方程"(x)F+(2,〃-l)/(x)-加+1=0的有4个不同的实数根，求小的取值范

围.

【正确答案】(1)图象见图，单调递减区间为(-8,-2)和(0,+co)；

⑵当a>3时，/(力=。有1个根；

当。=3时，=a有2个根；

当—l<a<3时，=a有3个根；

当。=-1时，=a有I个根；

当“<一1时，〃x)=a没有根；

7

【分析】(1)分析岀函数的单调性及值域，作出图象，再结合图象即可得函数的单调区间；

(2)将问题转化为函数y=f(x)与y="的交点个数，结合图象，分。>3、。=3、-l<a<3、

”=-1和°<-1讨论即可；

(3)设f(x)=r,问题转化为广+(2机-1)一,"+1=0两个根必需满足：一个根大于3,一个根

位于(-1,3),或一个根等于/,一个根位于(-1,3),分别求解后再取并集即可.

【详解】Q)解：因为当X40时，F(x)=x2+4x+3,图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-2,

两个零点分别为x=-3,x=-l,最小值为-1；

4

当x>0时，/(外=:三-1,在(0,+0上单调递减，零点为x=3.

x+1

所以其图象如图所示：

所以“X)的单调递减区间为(-8,-2)和(0,+8)；

4

(2)解：因为"0)=3,1>0时，f(x)=—在。+8)上单调递减，且一1</。)<3,

所以当。>3时，/(x)=〃有1个根；

当a=3时，/(x)=a有2个根；

当-1<”3时，f(x)=a有3个根；

当a=-l时，〃x)=a有1个根；

当。<一1时，f(x)=a没有根；

(3)解:设/(x)=f,

则问题转化方程有r+(2机-1)一机+1=0两个不同的根乙.

要使原方程有4个不同的实数根,

则方程的广+(2，〃-l)r-〃?+1=0两个根必需满足:

一个根大于3,一个根位于(7,3),或一个根等于一1,一个根位于(7,3),

当一个根大于3,一个根位于(-1,3)时，

A=(2/n-l)2-4(l-/n)>0

,7

■(-1)2+(2m-l).(-l)-m+l>0,解得m<--.

32+3(2/n-l)-/n+l<05

当一个根等于-1，一个根位于(T,3)时，

△=(2w-l)2-4(l-/n)>0

<(-1)2+(2W-1).(-1)-;M+1=0,解得加=1；

32+3(2/n-l)-/«+l>0

综上所述，用的取值范围为

22.如图，A、B是单位圆上的相异两定点(。为圆心)，且