人教A数学必修三教案学案3.3.1 几何概型

3.3.1几何概型

教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概

率.它也是一种等可能概型.教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随

机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的P（A）的

公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整.这节内容中的例题既通

俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法，尤

其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，

把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.

教学目标：1.通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运

用.

2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，

设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力.

3.通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提

高学生对自然界的认知水平.

教学重点与难点：是随机模拟部分.这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教

科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，

以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试

验，得到模拟的结果.随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数,

进行模拟活动.

教学过程：

一、问题情境

如图，有两个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则

乙获胜.

问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.

图30-I

二、建立模型

1.提出问题

首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面

特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即：字母B

所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比.接着提出这样的问题：变换图中B

与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率

的因素的确定性）.

题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型.

2

注意：（1）这里"只'’非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能

还与其他因素有关，这是错误的.

（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）.

2.引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰----抽象概括

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样

的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

C,A、_构成事件A的区域长度（或面积或体积）

）一试收的全部结果构成的区诫长度（或面积或体积）

3.再次提出问题，并组织学生讨论

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发

现草履虫的概率.

（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多

于lOmin的概率.

通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法.

三、典型例题

1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30〜7：30之间把报纸送到你家，而

你父亲离开家去工作的时间在早上7：00〜8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称

为事件A）的概率是多少.

分析：我们有两种方法计算事件的概率.

（1）利用几何概型的公式.

（2）利用随机模拟的方法.

解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示

父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型

的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A

发生，所以

602-孚

P（A）=-—?-=-=87.5%

00

解法2：设X,Y是。〜1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间，Y

+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X—0.5,那么父亲在离开

家前能得到报纸.用计算机做多次试验，即可得到P（A）.

3

教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的

解答过程，要求学生说明解答的依据.教师总结，并明晰用计算机(或计算器)产生随机数

的模拟试验.强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多,

频率越接近概率.

2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆

子数之比，并以此估计圆周率的值.

解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆

子数与这个区域的面积近似成正比，即

圆的面积落在园中的豆子数

正方形的面积“落在正方形中的豆子数

假设正方形的边长为2,则

圆的面积_«_芯

正方形的面积—I3衣一不

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以

落在圆中的豆子数,

X、落在正方形中的豆子数

这样就得到了兀的近似值.

另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：

(1)产生两组0〜1区间的均匀随机数，a,=RAND,b,=RAND；

(2)经平移和伸缩变换，a=3—0.5)*2,b=(b|-0.5)*2；

_4N,

(3)数出落在圆内a?+b2<l的豆子数Ni，计算“―k(N代表落在正方形中的豆子

数).

可以发现，随着试验次数的增加，得到兀的近似值的精度会越来越高.

本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.

［练习］

1.如图30-4,如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域.

2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=l和y=x2围成的部分)的面积.

图30-1m30-5

4

3.画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积.

作业：课本

5

3.3.1几何概型

课前预习学案

一、预习目标

1.了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用.

2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，

设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力.

二、预习内容

L________________________________________________________________________

一，简称为几何概型.

2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3.讨论：

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求

发现草履虫的概率.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用.

学习重点与难点：几何概型的计算方法.

二、学习过程：

例1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家,

而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00〜8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸

（称为事件A）的概率是多少.

父亲高开家去工作的时间

图30-2

分析：我们有两种方法计算事件的概率.

（1）利用几何概型的公式.

（2）利用随机模拟的方法.

解法1：

解法2：

6

例2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的

豆子数之比，并以此估计圆周率的值.

H30-3

解：

用计算器或计算机模拟，步骤如下:

(1)

(2)

(3)

三、反思总结

1、数学知识：

2、数学思想方法：

四、当堂检测

一、选择题

1.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长

都不小于1m的概率是.

A.-B.-C.-D.不确定

234

2.己知地铁列车每10min一班，在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上

车的概率是

11

AC

—9-8-

10

3.在1万kn?的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意

一点钻探，钻到油层面的概率是.

二、填空题

1.如下图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,

向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是.

7

2.如下图，在一个边长为4、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分

别为‘4与_1”,高为b,向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为

32

三解答题

1在等腰RtZXABC中，在斜边A8上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率.

答案一、选择题

1.B2.A3.C

二、填空题

三、解答题解：在上截取AC'=AC,于是尸(AM<AC)=P(AM<AC')

答:AM的长小于AC的长的概率为立.

2

ACAC41

课后练习与提高

1.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大

于2m的概率是.

2.如下图，在直角坐标系内，射线