2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 平面解析几何解答题含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

4<08年而解析几何（解答更J

高存•存瓶分析

平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何解答题中难度一

般较大，计算量比较大.主要知识点是

考点01椭圆及其性质

考点02双曲线及其性质

考点03抛物线及其性质

考点04解析几何定点定值问题

考点05解析几何综合性问题

高存真魅精折

考点01椭圆及其性质

22

1.（2020年新高考全国卷II数学（海南）•第21题）已知椭圆C：3+与=1（。>6>0）过点例（2,3）,点A为其左顶

ab

点，且4M的斜率为工,

2

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△ZM/V的面积的最大值.

2.（2020江苏高考•第18题）在平面直角坐标系X0X中，已知椭圆E:二+二=1的左、右焦点分别为片，月，点A在

43

椭圆E上且在第一象限内，AF.LF^,直线AK与椭圆E相交于另一点3.

⑴求AA片鸟的周长；

（2）在x轴上任取一点直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求OPQ尸的最小值；

⑶设点M在椭圆£■上，记与AM4B的面积分别为SpS2,若邑=3S],求点口的坐标.

3.（2020年高考课标III卷理科•第20题）已知椭圆C:三+夫=1（0＜根＜5）的离心率为出，人，8分别为。的左、

25m4

右顶点.

（D求C的方程；

（2）若点尸在C上，点。在直线x=6上，且BPYBQ,求APQ的面积.

5.（2023年北京卷•第19题）已知椭圆E:三+匚=1（。＞6＞0）离心率为或，4C分别是E的上、下顶点,

a2b23

B,。分别是E的左、右顶点，IAC1=4.

（1）求E的方程；

⑵设p为第一象限内E上的动点，直线尸。与直线交于点直线a与直线y=-2交于点N.求证:

MN//CD.

22

6.(2023年天津卷•第18题)设椭圆3+二=1(。>6>0)的左右顶点分别为4，劣，右焦点为尸，已知

ab

|4F|=3,|4F|=1.

(D求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线4尸交y轴于点。，若三角形aPQ的面积是三角形4/P

面积的二倍，求直线&尸的方程.

22

7.(2022高考北京卷•第19题)已知椭圆：E：=+e=1(a>6>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2，).

ab

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与X轴交于点M,N,当

l"N|=2时，求k的值.

2

8.(2022年浙江省高考数学试卷•第21题)如图，已知椭圆r二+y2=i.设4B是椭圆上异于尸(0,1)的两点，且

12

(n1

点。0,-在线段A3上，直线PAPB分别交直线y=-jx+3于C,。两点.

\2

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

⑵求ICDI的最小值.

-V

9.(2021高考北京•第20题)已知椭圆E：=l(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点

五5

的四边形面积为4.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过点P(o,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交y=-3交

于点M,N,当|PM|+|PMW15时，求k的取值范围.

22

10.(2020天津高考•第18题)已知椭圆二+2=1(。>6>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为尸,且10Al=||,

ab

其中。为原点.

(I)求椭圆方程；

(II)已知点C满足3OC=O尸，点8在椭圆上(5异于椭圆的顶点)，直线AB与以。为圆心的圆相切于点。

且产为线段43的中点.求直线43的方程.

22

11.（2019•上海•第20题）已知椭圆工+匕=1,为左、右焦点，直线/过工交椭圆于4B两点.

84

⑴若AB垂直于x轴时，求|AB|；

⑵当/耳43=90时，A在x轴上方时，求A,笈的坐标；

（3）若直线交y轴于M,直线跳;交y轴于M是否存在直线/,使SMAB=S"|MN，若存在，求出直线/的

方程；若不存在，请说明理由.

考点02双曲线及其性质

1.（2023年新课标全国II卷•第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2君,0）,离心率为J5.

（1）求C的方程；

（2）记C左、右顶点分别为4,4,过点（—4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线”4

与瓦42交于点P.证明:点尸在定直线上.

2.（2022新高考全国II卷•第21题）已知双曲线C：「-与=1（。＞0力＞0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为

ab

y=土由x-

⑴求c的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点。（玉,乂）,。（々,必）在C上,且.%＞占＞0,%〉0.过

P且斜率为―耳的直线与过Q且斜率为指的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一

个成立：

①M在上；②尸。〃A5；③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

3.（2021年新高考I卷•第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点片（-而,0）、川市,0）|峥闾=2,点

的轨迹为C.

（D求。的方程；

⑵设点T在直线x=g上，过T两条直线分别交。于A、5两点和P,0两点，S.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直

线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

4.（2022新高考全国I卷•第21题）已知点A（2,l）在双曲线C:A-——=1（。>1）上，直线/交C于P,Q两点,

a~a—1

直线A尸,AQ的斜率之和为0.

⑴求/斜率；

（2）若tan/PAQ=2j5,求的面积.

考点03抛物线及其性质

1.（2023年全国甲卷理科•第20题）已知直线龙—2y+1=0与抛物线C:丁=2Px（p>0）交于A,5两点，且

|AB|=4715.

⑴求〃；

⑵设F为C的焦点，M,N为C上两点，FM-FN=0，求△MF7V面积的最小值.

2.（2021年高考浙江卷•第21题）如图，已知F是抛物线产=2px（p>0）的焦点，/W是抛物线的准线与x轴的交点,

且四广|=2,

（1）求抛物线的方程；

⑵设过点F的直线交抛物线与人B两点，斜率为2的直线/与直线x轴依次交于点P,Q,R,N,

且|RN『=|PNHQV|,求直线/在x轴上截距的范围.

3.（2021年高考全国乙卷理科•第21题）已知抛物线C：*=2py（P>0）的焦点为尸，且尸与圆

M：%2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

⑴求。；

（2）若点尸在M上，PAPB是C的两条切线，A3是切点，求△血面积的最大值.

4.（2021年高考全国甲卷理科•第20题）抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在x轴上，直线/：%=1交C于P,Q

两点，且OPLOQ.已知点“（2,0）,且M与/相切.

⑴求C,河的方程；

（2）设4，4，4是c上的三个点，直线44,4A3均与:"相切.判断直线44与〃的位置关系，并说

明理由.

2，

5.(2020年浙江省高考数学试卷•第21题)如图，已知椭圆Gr：5+y2=i,抛物线G：y=2px(p>0),点A

是椭圆G与抛物线。2的交点，过点A的直线/交椭圆于点B,交抛物线。2于M(B,M不同于A).

(1)若°=二，求抛物线。2的焦点坐标；

16

(II)若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点，求p的最大值.

6.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第20题)设抛物线C:>2=2内(〃>0)焦点为F,点D(p,O),过F的直线交C

于M,N两点.当直线/WD垂直于X轴时，尸|=3.

⑴求C的方程；

(2)设直线与C另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为当a-夕取得最大值

时，求直线AB的方程.

7.(2019•浙江•第21题)如图，已知点F(1,0)为抛物线V=2p无(°>0)的焦点.过点尸的直线交抛物线于A,3两

点，点。在抛物线上，使得AWC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于。点，且。在点尸的右侧，记"FG,

△CQG的面积分别为S2.

(I)求。的值及抛物线的准线方程；

(II)求"的最小值及此时点G的坐标.

r21

8.（2019•全国III•理•第21题）已知曲线C：产］,。为直线尸-万上的动点，过。作C的两条切线，切点分别

为A,B.

（1）证明：直线过定点：

5

（2）若以E（0,5）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

9.（2019•全国I•理•第19题）已知抛物线。：/=3%的焦点为/，斜率为3的直线/与C的交点为A,B,与X

2

轴的交点为P.

⑴若|AF|+忸月=4,求/的方程；

（2）若=求

10.（2019•北京•理•第18题）已知抛物线C：立=-2处经过点（2,-1）.

（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（II）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线产-1分别交直线

OM,ON于点A和点艮求证：以A3为直径的圆经过y轴上的两个定点.

考点04圆锥曲线的定点定值问题

1.（2021年新高考全国II卷第20题）已知椭圆C的方程为5+与=1（〃>6>0）,右焦点为F（>/2,0）,且离心率为逅.

ab3

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线A1N与曲线f+y2=62a>o）相切.证明：“，N,F三点共线的充要条

件是|MN|=".

2.(2020年高考课标I卷理科•第20题)已知A、B分别为椭圆E：(a>l)左、右顶点，G为E的上顶

a

点，AGGB=8,P为直线x=6上的动点，R4与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为0.

(D求E方程；

(2)证明：直线CD过定点.

3.(2020年新高考全国I卷(山东)•第22题)已知椭圆C：三+*.=l(a>6>0)的离心率为也，且过点A(2,

a2b-2

1).

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且AMLAN,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值.

4.(2022年高考全国乙卷数学(理)•第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点p(l,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点7■，点“满足

MT=TH-证明：直线"N过定点.

考点05解析几何综合类问题

1.（2023年新课标全国I卷•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点，g）的距离，记动

点尸的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形A8CQ有三个顶点在W上，证明：矩形ABC。的周长大于

2.（2023年全国乙卷理科•第20题）已知椭圆C:[+，=1（。＞6＞。）的离心率是《，点A（—2,0）在。上.

⑴求C方程；

（2）过点（—2,3）的直线交。于P,Q两点，直线与y轴的交点分别为M,N,证明：线段的中点

为定点.

3.（2020年高考课标II卷理科•第19题）已知椭圆Ci：=1(a>b>0)右焦点F与抛物线C的焦点重合，Ci

HF2

4

的中心与C2的顶点重合.过F且与X轴垂直的直线交G于4B两点，交C2于C,。两点，M|CD|=y\AB\.

（1）求Q的离心率；

⑵设M是Ci与C2的公共点，若|MF|=5,求G与Q的标准方程.

22

4.（2019•天津•理•第18题）设椭圆f+与=1（"＞人＞0）的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的短轴长为4,

ab

离心率为三.

(I)求椭圆的方程；

(II)设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点加为直线”与X轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若

|。刎=|。耳(0为原点)，且。求直线尸石的斜率.

5.(2019•全国II•理•第21题)已知点A(—2,0),5(2,0),动点M(羽y)满足直线4%与五■的斜率之积为

记弦的轨迹为曲线C.

2

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于尸,Q两点，点尸在第一象限，夕石，入轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点

G.

(/)证明：ZiPOG是直角三角形；

他)求△POG面积的最大值.

6.(2019•江苏•第17题)如图，在平面直角坐标系X。中，椭圆。:二+与？=1(。>8>0)的焦点为月(-1,0),月(1,0).过

ab

B作光轴的垂线/,在光轴的上方，/与圆B：(%-1)2+y2=44交于点A,与椭圆。交于点£).连结入月并延长

交圆巴于点6,连结时交椭圆。于点石，连结心.

已知

2

(1)求椭圆。的标准方程;

(2)求点E的坐标.

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

4<08年而解析几何（解答更J

高存•存瓶分析

平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何解答题中难度一

般较大，计算量比较大.主要知识点是

考点01椭圆及其性质

考点02双曲线及其性质

考点03抛物线及其性质

备存真魅精忻

考点01椭圆及其性质

22

1.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第21题）已知椭圆C：二+A=l（a>6>0）过点M（2,3）,点A为其左顶

ab

点，且AM的斜率为—,

2

⑴求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△4M/V的面积的最大值.

22

【答案】⑴二+匕=1;⑵18.

1612

解析：⑴由题意可知直线AM的方程为：y-3=1（x-2）,即x—2y=T.

当y=o时，解得％=T,所以。=4,

22

椭圆。：2T+3v=1（°>6>。）过点M（2,3）,可得4记+9乒=1,

解得b2=12.

22

所以C的方程：L+匕=1.

1612

⑵设与直线A/W平行的直线方程为：x-2y=m,

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时的面积取得最大值.

1612

可得：3（/n+2y）2+4y2=48,

化简可得：16y2+12加y+3加2—48=0,

2

所以A=144/2-4xl6（3m-48）=0,即m2=64,解得m=±8,

与AM距离比较远的直线方程：x-2y=8,

直线4M方程为：x-2y=-4,

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,

利用平行线之间的距离公式可得：]=器±=*^

V1+45

由两点之间距离公式可得|AM|=J(2+4)2+32=36.

所以AAMN的面积的最大值：!义30x竺叵=18.

25

22

2.(2020江苏高考•第18题)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:土+&=1的左、右焦点分别为0K,点A在

43

椭圆E上且在第一象限内，AF^F^,直线与椭圆E相交于另一点5.

⑴求AA片鸟的周长；

(2)在x轴上任取一点p,直线AP与椭圆E的右准线相交于点。，求O尸•。尸的最小值；

⑶设点M在椭圆E上，记与的面积分别为SpS?,若$2=35],求点M的坐标.

【答案】【答案】⑴6；（2）T；（3）加（2,0）或,]-1）

22

【解析】⑴•••椭圆E的方程为土+匕=1,•/（TO）,巴（1，。）

43

由椭圆定义可得：AFl+AF2=4.

△AKE的周长为4+2=6

⑵设尸（灰，0）,根据题意可得与W1.•；点A在椭圆E上，且在第一象限，AF,^F^

，A[I,•.•准线方程为％=4,「0（4,%）,

OP-QP=（x0,0）•—4,—yQ）—（x0—4）x0=（x0—2）—4>—4,当且仅当尤（）=2时取等号.

・•・。尸尸的最小值为T.

⑶设"（为小），点加到直线AB的距离为a.A（l，|j，片（TO）

直线A々的方程为y=?（x+l）,•••点。到直线Ab的距离为星=3岳

.-.52=35]=3x|x|AB|x|=||ABp,："=|，二。占一4%+3|=9①

'__2

22（X=2X1=一3

,工+1=1②,.•.联立①②解得L/

43』=°12

3.（2。2。年高考课标IH卷理科•第2。题）已知椭圆。争今叱…的离心率为孚，/分别为C的左、

右顶点.

（1）求C的方程；

⑵若点尸在。上，点。在直线％=6上，且IBPH8QI,BP±BQ,；装APQ的面积.

【答案】（1）二+且=1；⑵E

25252

22

解析：⑴C:1-+^7=l（0<m<5）

25m2

a=5,b=m>

根据离心率=「用=字

解得m=1•或机=—2（舍），

44

22

，c的方程为：fs+pj=1

即巨嘴6

⑵不妨设p,2在x轴上方

.•点P在C上，点。在直线％=6上，且IBPRBQI,BP±BQ,

过点P作X轴垂线，交点为M，设％=6与X轴交点为N

根据题意画出图形，如图

\BP\^\BQ\,BPBQ,ZPMB=ZQNB=90°,

又ZPBM+ZQBN=9Q°,ZBQN+ZQBN=9Q°,

：.ZPBM=ZBQN,

根据三角形全等条件"A45”,

可得：4PMBTBNQ,

V16/

1—1,

25----25

：.3(5,0),

“|=砌=6-5=1,

设P点为(马,力)，

可得p点纵坐标为力=i,将其代入二+如二=1,

2525

_，zXp16,

可得s：-J+—=1,

2525

解得：％=3或与=-3,

P点为(3,1)或(-3,1),

①当P点为(3,1)时，

故叫=5-3=2,

£\PMB=/^BNQ,

：.\MB\=\NQ\=2,

可得：。点为(6,2),

画出图象，如图

可求得直线AQ的直线方程为：2x-lly+10=0,

2x3llxl+1

根据点到直线距离公式可得尸到直线AQ的距离为：d=l-21=J^L=旦

A/22+112V1255

根据两点间距离公式可得：\AQ\="6+5)2+(2-0『=5非,

APQ面积为：!x5，？x走=9；

252

②当P点为(—3,1)时，

故|阿=5+3=8,

.•APAfB=/\BNQ,

：.IMB1=1NQ1=8,

可得：。点为(6,8),

A(-5,0),2(6,8),

可求得直线4Q的直线方程为：8x-lly+40=0,

，八8x(—3)-11x1+40

根据点到直线距离公式可得尸到直线AQ的距离为：d=J_———同5

V1857185

根据两点间距离公式可得：|AQ|=J(6+5『+(8-Op=V185，

55

APQ面积为：X

V1852

综上所述，APQ面积为：

2

5.（2023年北京卷•第19题）已知椭圆E:三+工=1（。>>>0）离心率为逝，4c分别是E的上、下顶点,

a-b23

B,。分别是E的左、右顶点，IAC1=4.

（D求E的方程；

（2）设尸为第一象限内E上的动点，直线加与直线交于点/，直线2与直线）=—2交于点N.求证:

MN//CD.

22

【答案】⑴工+匕=1

94

（2）证明见解析

解析：（D依题意，得e=£=好，则c=@a，

a33

又AC分别为椭圆上下顶点，H。=4,所以26=4,即6=2,

5O4O

所以/―02=匕2=4,即60一―。2=_。2=4,则1=9，

99

22

所以椭圆石的方程为L+匕=i.

94

22

⑵因为椭圆E的方程为.+'=1,所以A（0,2）,C（0,—2）,8（—3,0）,。（3,0）,

22

因为P为第一象限E上的动点，设P（私"）（0<根<3,0<〃<2）,则是-+亍=1,

〃一0〃H

kpD=——-=——则直线尸D的方程为丫=-----(%-3),

m—3m—3m—3

2、3(3n-2m+6)

y-——x-2

33〃+2加一6HnA/3(3〃-2m+6)-12n1

联立〈,解得＜

n一12〃I3n+2m—63〃+2w—6,

y=-----x-3)

m-33n+2m-6

n—2n—2n—2

而即A=-----=——，则直线a的方程为丁=——x+2,

m—0mm

n—0—4M?I—4H7।

令y=—2,则—2=~X+2,解得X=*,即N--,-2,

mn—2\n—2)

22

又----1--------=1,贝！］92=9--------，8m=72—18H,

944

一⑵“

所以左=3”2*6=_______(―6扑+4一—12)(〃-2)________

MN3(3n—2m+6)—4m(9n—6m+18)—2)+4m(3M+2m—6)

3n+2m—6n—2

—6n2+4mn—8m+24_—6n2+4mn—8m+24

9n2+8m2+6mn—12m—369n2+72—18〃？+6mn—12m—36

_-6n~+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12)_2

-9n2+6mn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12^3’

又bp-4―X=W，即kMN=*，

J—U3

显然，MN与CO不重合，所以MN/ICD.

22

6.(2023年天津卷•第18题)设椭圆与+==1(a>6>0)的左右顶点分别为A，4,右焦点为F,已知

ab

|四=3,|Vl=L

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线4尸交y轴于点Q，若三角形4PQ的面积是三角形为尸P

面积的二倍，求直线&尸的方程.

r221

【答案】(D椭圆的方程为工+匕v=1,离心率为6=彳.

432

⑵y=±^^(x-2)•

解析：(1)如图，

221

所以椭圆的方程为土+匕=1,离心率为e=r£=一.

43a2

22

(2)由题意得，直线&尸斜率存在，由椭圆的方程为亍+1_=1可得4(2,0),

设直线4P的方程为y=左(x—2),

(22

土+上=1

联立方程组43，消去y整理得：(3+4/)Y—i6/x+16/-12=0,

y=：(%-2)

16产-128产—6

由韦达定理得f所以少

3+4423+4?

-12k

。(0,-2左).

3+4吃

所以SA©=；X4XNM，SA"=；xlx|yp|，SAV=；x4x|yp|,

所以S,424=S^PQ+SAAd=2S&PF+S.&A2P,

所以2%卜3丛|,即2卜24=3—强]2正k

解得左=±理,

所以直线4P的方程为y=±

2

22

7.(2022高考北京卷•第19题)已知椭圆：E：2+方=1(.>>>0)的一个顶点为A(0,l),焦距为2档.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,3直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当

|MN|=2时，求k的值.

【答案】解析：(1)依题意可得6=1,2c=2后，又。2=。2—62,

所以。=2,所以椭圆方程为工+必=1；

4

(2)解：依题意过点尸(―2,1)的直线为丁一1二左(％+2),设3(%,%)、。(々，%),不妨令一24再<%<2,

,-1=左(％+2)

由<X221消去y整理得(1+4左2+(16左2+8左)尤+16/+16左=0,

—+V=1

14

所以A=(16右+8d—4(1+4公)(1642+164)>0,解得左<0,

2

[6k--8k16左2+16左

所以X1+々

1+41'-l+4k2

y.—1X

直线AB的方程为y—1=2—X,令y=o,解得血=尸~

If

，为一1X,

直线AC的方程为丁一1=二一％,令y=0,解得尤N=L

赴if

所以归一司=国（%2+2乂办+2）,

、2

(16左2+8左“16左2+16左,,,16左2+16左J16严+8人)

即-4x----------=\k\+4

1+4左2J1+4左2।11+4产(1+4左2J

)(2/+左)2—(1+4%2)(/+%)=段

即告16k2+16左一2(16左2+8%)+4(1+4%2)]

整理得8"=4闷，解得左=T

8.（2022年浙江省高考数学试卷•第21题）如图，已知椭圆二+y2=i.设4B是椭圆上异于P（0,D的两点，且

12

c,D两点.

⑵求IC。I的最小值.

【答案】解析:⑴设0（273cos6>,sin是椭圆上任意一点,P（0,D，则

（iA2144144

|Pe|2=12cos20+（l-sin0）2=13-llsin2^-2sin^=-lllsin6^+—,当且仅当

sind=-工时取等号，故|PQ|的最大值是呸叵.

1111

12（1A3

⑵设直线/夕：y=履+」直线A3方程与椭圆r土+/=1联立，可得k2+—/+区—=0,设

2121⑵4

y1一11

4（%,乂）,5（%,%），所以，因为直线出：尸七1与直线产一于+3交于。

贝IJ%------------同理可得砺二--------------------------

（2%+1）石—1%+2%-2（2k+1）%—1

4%4九2

（2左+1）玉一1（2左+1）%—1

=2行=2日

[（2左+1）%一1][（2左+l）x2-1]Qk+I）?X]%—（2左+1）（X]+I?）+1

2

4^x—+1x1

3y/586k2+1645"kF般+'6艮,4

2|3Zr+l|5|3）t+l|-5x件+1|~

当且仅当归=怖时取等号，故|CD|的最小值为竽.

22

9.（2021高考北京•第20题）已知椭圆E：=+与=1（“>>>0）一个顶点A（0,-2）,以椭圆£的四个顶点为顶点

ab

的四边形面积为4、后.

⑴求椭圆E的方程；

（2）过点P（O,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交尸-3交

于点M,N,当|PM|+|PMW15时，求k的取值范围.

22

【答案】⑴5+?=1；⑵-31）513.

解析：（1）因为椭圆过A（o,—2）,故b=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4君，故;x2ax2Z;=4E，即</=君，

22

故椭圆的标准方程为：土+匕=1

54

⑵

设3（%,乂）,。（为2，%），因为直线的斜率存在，故再々A。，

…X+2-xx.

故直线AB:y=2—x-2,令y=—3,则与=——、，同理/=——：

国X+2%+2

y-—3

直线3C:y=fcc—3,由4,,,可得（4+5左2）必—3。丘+25=0,

4%2+5/=20''

故A=900左2—100（4+5左2）>0,解得左<—1或左>1.