2023年高考数学一诊试卷（文科）

2023年高考数学一诊试卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题洪60.0分。在每小题列出的选项中,

选出符合题目的一项)

1.已知集合/={%|0<x<2],B={xEZ\x>0},则AnB子集的

个数为()

A.2B.3C.4D.8

2.复数Zi逐2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若Zi=1-2i"为

虚数单位，则Z2=()

A.l+2iB.-l-2iC.-1+2iD.2+i

1

-

3.右sina+cosa2

33

c

---1

84

4.已知/(%)是定义域为R的奇函数，当％>0时，/(%)=log2x,则

/(-4)=()

A.2B.-2C.1D.-1

5.”稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志

的力量""当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到

的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现"…当读到这些话时，你

会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的

阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学

生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制

成如图所示的频率分布直方图，则从这800名学生中随机抽取一人，

周平均阅读时间在(10,12］内的频率为()

D.0.30

6.已知焦点在%轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线

的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是()

A.辿B.2C.渔D.在

322

7.在长方体/BCD—中，底面4BCD为正方形，=2,

其外接球的体积为367T,则此长方体的表面积为()

A.34B.64C.4V17+17D.8vl7+34

8.已知函数f(%)=2sin(a)x+?)®>0,\(p\<

学的部分图象如图所示，则/(7)=()

4O

11

A.-B.--C.1D.—1

22

9.南宋数学家杨辉在前羊解九章算法)中提出了垛积问题,涉及逐

项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等

差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29,则该数列的第18项为

()

A.172B.183C.191D.211

10.已知点2(-3,2)在抛物线。：/=2Px(p>0)的准线上，过C的焦

点且斜率为k的直线与C交于4,8两点.若丽・丽=0,则k=()

A.1B.V2C.V3D.3

11.在直三棱柱-4181cl中,AB=4fBC=AC=2y[2,AA1=1,

点M,N分别是4出，4©的中点，则直线B例与CN所成角的余弦值

为()

A.叵B.①C.叵D.在

5533

12.设a=e0-1-1,b=^,c=lnl.1,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

%+y—4<0,

13.若实数％,y满足约束条件2x-y-6<。，则z=%+y的最大值

,x-1201

是•

14.已知向量方=©犯2)4=(2,3m),若为与3共线且方向相反，则

\2a+b\=.

15.在如图所示的平面四边形4BCD中,AD=3,A\-----刁。

AB=BC=CD=y/3,则gcosA-cosC的值

BC

为

16.若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=—x2+nx-

6(%>0)的公切线，则m,n=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知等差数列入｝的前几项和为%，且=2品=5，等比数列也｝中，

匕2=4,既=32.

⑴求数列5｝和叫｝的通项公式；

(2)设％=an+bn,求数列｛cn｝的前几项和7n.

18.(本小题12.0分)

某校组织了全体学生参加"建党100周年"知识竞赛，从高一、高二

年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩(满分100分)，统计如表：

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

高一年级310121510

局1—年级46101812

(1)分别估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值看与高(同一组中的数

据以该组数据所在区间中点的值作代表)；

(2)学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据.完成下面

的2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为竞赛成绩优秀与年级有

关？

非优秀优秀合计

高一年级

高二年级

合计100

附:f…黑黑…，其中九=a+b+c+d♦

a0.150.100.050.01

2.0722.7063.8416.635

19.(本小题12.0分)

如图甲所示的正方形A4a中，AAt=12,AB==3,BC=

1

B1G=4,对角线4r分别交BB],CQ于点P,Q，将正方形力/A'4

11

沿BB[CC]折叠使得与44；重合，构成如图乙所示的三棱柱/BC-

必a6.点M在棱/C上，且力M=y.

(1)证明：BM〃平面/PQ；

(2)求三棱锥M-/PQ的体积.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆。：京+京=l(a>b>0)的离心率是乎,F],尸2分别是椭圆

的左、右焦点，P是椭圆上一点，且4PF/2的周长是4+2V3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线y=kx+t与椭圆C交于M,N两点，。是坐标原点，且四边

形。MPN是平行四边形，求四边形。MPN的面积.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)="%+/QCR).

(1)当a=1时，求函数在(l,f(1))处的切线方程;

(2)若%>x2>1时，恒有-产2)<三，求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系%。丫中，已知圆c的参数方程为仁Z(爸肃T(其

中。为参数).以坐标原点。为极点，％轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

直线，的极坐标方程为3pcos6+4psin0+6=0.

(1)将圆C的参数方程化为普通方程，直线，的极坐标方程化为直角坐标

方程；

(2)若M是直线，上任意一点，过M作C的切线，切点为4,B,求四边形

4MBe面积的最小值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=\x-2\-2\x-l\,xER.

(1)求不等式f(%)<4x+1的解集；

(2)若对于V%ER,a2-a>/(%)+\x-2\,求a的取值范围.

答案和解析

L【答案】C

【解析】解:集合力=(%|0<x<2],B=(XEZ\x>0],

则An8={1,2},

AnB的子集的个数为22=4.

故选：C.

先求出4nB,由此能求出/nB的子集的个数.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：复数Z]0在复平面内对应的点关于虚轴对称lZ1=l-2i,

则Z2=-l-2i.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为sina+cosa=-,

所以两边平方,可得sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=1,

贝(Jsin2a=—|.

故选：D.

将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公

式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数

化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为是定义域为的奇函数，当%＞。时，/(%)=

f(%)Rlog2%,

所以

f(4)=log24=2,

则f(―4)=-2.

故选：B.

由已知先求出f(4),然后结合奇函数的定义即可求"-4).

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意可得(0.002+0.003+0.005+0.005+0.15+a+

0.005+0.004+0.001)x2=1,

解得a=0.1,

•••周平均阅读时间在(10,12］内的频率为2a=0.20.

故选：A.

直接利用频率分布直方图的性质求解即可.

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

6.【答案】A

【解析】解：焦点在%轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近

线的倾斜角的5倍,

可设一条渐近线的倾斜角为a，所以5a+a=7i,可得a=%,

依题意-=tan-=—,e=-=11+-^=—.

a63aya23

故选：A.

利用一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，求出倾斜角，

列出关系式，即可求解双曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力.

7.【答案】B

【解析】解：设外接球的半径为R,因为外接球的体积为36兀,所以U=

疑R3=367T,所以R=3,

设底面正方形ABCD边长为a,

因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，

所以，a?+a?+a?=2R=6,所以a=4,

所以长方体的表面积为2(4x4+2x4+2x4)=64,

故选：B.

根据长方体外接球直径为体对角线长求出底面边长，进一步求得长方体的

表面积.

本题考查棱柱表面积，外接球的体积，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由图可知，最小正周期丁=2(苧-看)=兀，

则a=与=2,

图象过点e，2),

O

则2s出(2X-+(p)=2,即巴+(p=^+2kn,即9=2+2kn,kEZt

i@V，

则9=9

故〃%)=2s讥(2%+5,

o

所以/年)=2s讥(2xy+-)-2s讥(詈)=2s讥(2TT-^)=-1.

故选：D.

根据图象求出口和W,即可求函数f(%)的解析式，即可求解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：设该数列为｛册｝,

•••数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29,

;数列5｝满足%=4,4-an_i=n+l(n>2),

：•un=(dn—Q九_])+(Q?i-i—2)+…+(。2—=3+4+5+.

,,+?!+1+4

(3+九+1)(?1-1)/(?l+4)(7l—1)

=---------r4=-------

22+4,

22X17

a18=-2-+4=191.

故选：C.

利用等差数列的求和公式，累加法求解即可.

本题考查了等差数列的求和公式，累加法的运用，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：抛物线c:y2=2Px(p>o),则抛物线c的准线为％=-，

•・•点P(-3,2)在抛物线。的准线为％=-.

•・•一£=_3,解得口=6,

二抛物线C的焦点为(3,0),

过焦点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(%-3),

联立,整理得后%2一6Q+k2)x+91=o,

.•./=36(2+k2)2-36k4=144/c2+144>0,

设4(%1，为),BN，%),

•••+%2=6。警2),%1%2=9，则为+y2=k(x、+%2-6)=Y,y1y2=

12(与-3)(%2-3)=36,

・••P(-3,2),

~PA=(%]+3,%—2),丽=(x2+3,丫212),

又与•=0,则％1不+3(/+%2)+7172-2(%+y2)+13=0,

9+3x如亨)-36-2X—+13=0，即必—6k+9=0，解得k=3.

kzk

故选：D.

由题意得抛物线C的准线为为=-|，可得-<=-3，求出p，则过焦点(3,0)

且斜率为k的直线方程为y=Kx-3),联立方程组，利用韦达定理，即

可得出答案.

本题考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想,

考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

1L【答案】X

【解析】解：如图所示，取BC的中点E,连接EN,

则根据题意易得四边形MNEB为平行四边形，

:.BM//EN,

二直线与CN所成角为“NE,

又根据题意易知8C1平面4CC14,且CNu平面ACCMi,

•••BC1CN，又EN=BM=质萨三瓦薜=45,CN=y/^N2+QC2=

V3,

“arr?C7VV3V15

ACOSNCNE=—==——

EWV55

故选：A.

将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解.

本题考查异面直线所成角问题，化归转化思想，属基础题.

12.【答案】B

【解析】解：令/(%)=ex-l-x,x>0,

则f(%)=e%—1>0恒成立，

故f(%)在(0,+8)上单调递增，汽x)>f(0)=0,

故e"—1>x,

所以i-1>0.1,

所以a>b,

又e">x+1,

所以%>ln(x+1),

所以。1>lnl.1,即b>c,

故c<b<a.

故选：B.

先构造函数/(%)=靖-1-%,%>0,对其求导，结合导数分析函数的

单调性，结合单调性可比较a,匕的大小，然后可比较匕，c的大小即可判

断.

本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题.

13.【答案】4

【解析】解：由约束条件，画出可

行域如图，

目标函数z=%+y可化为：y=

-x+z，得到一簇斜率为-1，截距

为z的平行线，

要求Z的最大值，须满足截距最大，

•・・当目标函数过点/或C时截距最大，

由+y-4=0可得。(1，3)，

由焦;，丫。。可得若，|)，

・•・z的最大值为4.

故答案为：4.

X+y—4<0,

先根据约束条件件忸-y-6<0,画出可行域，再转化目标函数，把求

<x—1Z0,

目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题找到最优解代入求值即可.

本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率

与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程

度.属简单题.

14.【答案】竽

【解析】解：向量为=(|m,2),b=(2,3m),方与3共线且方向相反，

1

则•3m=2x2,解得m=-2或2(舍去)，

故左=(一|，2),b=(2,-6),

所以2元+方=(|,—2),即|2方+呢=JG)2+(—2)2=拶.

故答案为：粤.

根据已知条件，结合向量平行的性质，求出根，再结合向量的坐标运算,

以及向量模公式，即可求解.

本题主要考查平面向量平行的性质，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】解：由题意得力+AB2-2AD•ABcosA=BC2+CD2-2BC•

CDcosC,

AD=3,AB=BC=CD=6,

:.12—6y[?>cosA=6—6cosC,即V^cosA—cosC=1.

故答案为：1.

由余弦定理得+AB2-2AD•ABcosA=BC2+CD2-2BC-CDcosC,

结合题意可得12-643cosA=6-6cosC,求解即可得出答案.

本题考查余弦定理，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

16.【答案】-27

【解析】解：设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),

由函数y=x3(x>0),得y，=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1,

l3=3+m,即m=-2,

设与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b,3b+m),

由函数y=—/+nx-6(%>0)彳导y'=-2x+n厕一2匕+n=3(b>0),

又一炉+nb—6=3b—2,

:.—b2+b(3+2b)—6=3b—2,而匕>0,则匕=2,n=7.

故答案为：-2；7.

设切点坐标利用导数求得在切点处的切线方程，结合切线为y=3x+m,

即可求得血与九的值.

本题考查利用导函数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力,

属于中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛册｝的公差为d,

因为@6=2,S5=5,

所以Qi+5d=2,5al+10d=5,

解得的=d=］所以厮=|+|(n-l)=^,

设等比数列出｝的公比为q,贝叼3若=8,解得q=2,

则比=£=2,所以%=2n.

(2)由(1)得：cn=%+bn=三+2",

所以〃=©+2)+(|+22)+(|+23)+••・+6+2n)

=(-+-+-+••­+-)+(2+22+23+…+2n)=-n(n+l)+2n+1-2.

33336

【解析】(1)根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出％,

d,瓦，q的值，进而求得数列｛册｝和｛%｝的通项公式；

n

(2)由(1)可知％=an+bn=^+2，然后利用分组求和法求出数列的和.

本题考查了等差数列和等比数列的基本知识和分组求和法的应用，考查了

学生的计算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)高一年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为

一1

=6x(55x3+65x10+75x12+85x15+95x10)=78.8,

高二年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为石=2x(55x

4+65x6+75x10+85x18+95x12)=80.6,

故估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值分别为78.8与80.6.

(2)2X2列联表如下：

,故没有90%的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关.

【解析】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属

于基础题.

(1)根据表格的数据，结合平均值公式，即可求解.

(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

19•【答案】(1)证明：过M作MN〃CQ,交AQ于N,连接PN,BM,

由于PB〃CQ,贝,所以M,N,P,B共面，

且平面MNPBn平面/PQ=PN,

因为AB=3,BC=4,所以AC=AAf-AB-BC=12-3-4=5,

又在正方形44%①中，ZCAQ=7,

所以PB=AB=3,：.QC=7,：.tan/QAC=1,

由力M=y,得MN=^x^=3=PB,

所以四边形MNP8为平行四边形，则BM〃PN,

又PNu平面/PQ,BMU平面4PQ,所以〃平面4PQ；

(2)解:由⑴知"2=AB2+BC2,所以481BC,

因为/C=5,AM=y,即4M=|4C,

QQQQ411

所以KW-APQ=y^C-APQ='Up-ACQ=y^B-ACQ=3，Q-ABC=7X3X2X

3x4x7=6.

[WtJT]a)^M^MN//CQ,连接PN,BM,证明四边形MNPB为平行四

边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

(2)根据三棱锥的等体积法，将三棱锥M-APQ的体积转化为求Q-ABC

的体积，结合二者之间的数量关系，可得答案.

本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题.

20.【答案】解：（1）由题意可得心a2，可得a=2,c=V^,

、2a+2c=4+2^/3

b2=a2—c2=4—3=1,

2

所以椭圆的方程为：・+f=i；

4

（2）设M（X21）,N（%2，V2），

联立R2U314，整理可得：（1+4k2）%2+Qktx+4/-4=0,

/=64k2t2-4（1+4/c2）（4t2-4）>0,即/<1+k2,

X1+x2=———7,71+72—k（X]+%2）+2t=-2t-,—4t-4,

1Z1+4/c2'八J乙'1乙）l+4k2x12l+4k2'

因为四边形OMPN是平行四边形，所以OP的中点与MN的中点重合，

所以P（—黑，|），而P在椭圆上，

所以羔濠+就彳=1，整理可得：4产=1+41,

|MN|=上1+k2/（%1+%2）2—4%1%2=V1+/C2"」（；：：：；；一4.黑I;

71+^.卜丑竽_4.。=.R，

、16t44t27t2

。到直线MN的距离d=4,

V11rv

所以S遨的MPN=2sWN=2x泗NI.d=VTT9•昭・悬依

即四边形。MPN的面积为百.

【解析】（1）由离心率的值及三角形的周长，可得a,c的值，进而求出匕的

值，求出椭圆的方程；

（2）联立直线MN的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求

出MN的中点的坐标，由平行四边形的性质，可知P点坐标，代入椭圆的

方程，可得参数的关系，求出|MN|的表达式及。到直线MN的距离d,由

平行四边形的面积为三角形面积的2倍，代入三角形的面积公式，求出四

边形的面积.

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，平行四边形性质的应用

及平行四边形面积的求法，属于中档题.

21.【答案】解：(1)函数/(%)=lnx+^aER),xE(0,+co),

当a=1时，

」''X2x22x2

.•.八1)=［又/1)=］

•••切线方程为y-||-1),化为％-2y=0.

八

(2)当与>x2>1时，恒有<三，即f(%力一/(不)<,

变形为/(%1)-<f(%2)-,

构造9(%)=f(%)-1="%+//%，

即函数9(%)在区间(1,+8)为减函数，

则9'(%)=：£*=上萨工。在(1,+8)恒成立，

令HQ)=-ax2+2x-a,则"(%)<0在(1,+81恒成立，

化为心急，

a>1,

a的取值范围为［1,+8).

【解析】⑴函数/(%)=加工+/(aeR),%e(0,+8),利用导数的运算

法则可得f(%),可得八1),利用点斜式即可得出切线方程.

(2)当%>%2>1时，恒有八?[S)<三，即f(%力一/(不),

变形为/(%力_1^1<f(x2)-^x2,构造g(x)=f(x)-^