新高考数学一轮复习题型归类与强化测试39数列求和

专题39数列求和

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：分组转化求和

型

题型二：错位相减法求和

归

类题型三：裂项相消法求和

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.熟练掌握等差、等比数列的前"项和公式.

2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.

【考点预测】

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

(1)等差数列的前〃项和公式：

„n(ai+an),«(«-1)_,

S=—---------=nai-\--d.

n22

⑵等比数列的前"项和公式：

,q=L

S”="一。应’1(1—4"),

.\~q1-q

2.分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和

后相加减.

(2)形如斯=(—lyys)类型，常采用两项合并求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(2)常见的裂项技巧

【常用结论】

1.1+2+3+4H——卜〃="(〃+1)

〃〃

2+22+…+〃2=n(+1)(2+1)

6

3.裂项求和常用的三种变形

1__L

(n(〃+1)

nn~\-1

(2)------------------------12n-\-1

(2//—1)(2〃+1)2

4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况

求解.

【方法技巧】

1.分组转化法求和的常见类型

(1)若斯=s土以，且｛6〃｝,｛金｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛斯｝的前九项和.

An为奇数

(2)通项公式为斯=・一的数列，其中数列｛幻｝,匕"｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法

Cn,n为偶数

求和.

2.用错位相减法求和的策略和技巧

(1)掌握解题“3步骤”

(2)注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“S,”与“qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S"—qS「的表达

式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=l和两种情况求解.

3.裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的，其解题的关键就是准确裂项和消项.

①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

［注意］利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消

消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

二、【题型归类】

【题型一】分组转化求和

【典例1】已知等差数列｛许｝的前〃项和为a,且关于x的不等式aix*2-5zx+2<0的解集为(1,

2).

(1)求数列｛服｝的通项公式；

(2)若数列｛儿｝满足bn=a2„+2a„-\,求数列｛bn｝的前n项和T„.

【解析】(1)设等差数列｛斯｝的公差为d,

因为关于x的不等式ai/—s加+2<0的解集为(1,2),

所以蛇=1+2=3.

a\

又S=2ai+d,所以ai=d,

易知一=2,所以ai=l,d=l.

a\

所以数列｛念｝的通项公式为an=n.

n

(2)由(1)可得，a2n=2n,2an=2.

因为瓦i=a2"+2a”一1,所以兀=2〃-1+2",

所以数列出"｝的前〃项和。=(1+3+5+…+2〃-1)+(2+22+23+…+2”)

(1+2〃-1)+2(1—2")2+2"+I_2

21-2

【典例2］已知数列｛斯｝的通项公式是念=23门+(—l)"(ln2-ln3)+(—l)"〃ln3,求其前n项

和S”.

,!z,

【解析】Sn=2(l+3H----F3!)+[—1+1—H-----F(—l)]-(ln2—In3)+[—1+2—3H------F(—

l)Mn]ln3,

所以当〃为偶数时，

1—3"nn

S,=2X------+-In3=3n+-ln3-l；

1-322

当〃为奇数时，

SqX^1^一(In2-ln3)+(7^^In3

H—1

=3n------In3—ln2—1.

2

综上所述，

3«+Jn3-l,〃为偶数，

2

Snn—1

3"---In3-ln2-l,〃为奇数.

2

【典例3］已知各项都不相等的等差数列｛斯｝,“6=6,又0,。2,。4成等比数列.

(1)求数列｛。"｝的通项公式；

⑵设b„=2“"+(-1)"斯，求数列｛bn｝的前2〃项和T2n.

【解析】(1)：｛以｝为各项都不相等的等差数列，

。6=6,且0,02,。4成等比数列.

。6=。1+5d=6,

,一@+<7)2=41(41+

"WO,

解得m=l,d—1,

「・数列｛斯｝的通项公式-1)X1=n.

nn

(2)由⑴知,bn=2+(-l)n,记数列出〃｝的前2〃项和为乃〃，

则72«=(21+224---F22〃)+(—1+2—3+4----12〃).

记4=21+22T----卜22〃,5=—1+2—3+4----卜2〃,

则4:2(1—22〃)=22〃+I_2,

1-2

5=(—l+2)+(—3+4)H---^］—(2〃-1)+2川=儿

故数列｛6/的前2〃项和T2n=A-\-B=22n+lJrn—2.

【题型二】错位相减法求和

【典例1］设｛斯｝是公比不为1的等比数列，m为。2,s的等差中项.

(1)求｛斯｝的公比；

(2)若QI=1,求数列｛孙｝的前n项和.

【解析】⑴设｛斯｝的公比为4,

,:ai为C12,〃3的等差中项，

2。1=。2+。3=。1«+。10\aiWO,

/+q-2=0,

：尸］,.".q=—2,

(2)设｛〃诙｝的前〃项和为S„,

a\—1,斯=(-2)B1,

1X1+2X(-2)+3X(-2)24---卜"(一2)11,①

-2&=1X(-2)+2X(-2)2+3X(-2)34---F("-1)•(—2)"^+咒(一2)",②

2-1

①一②得,3sti=1+(-2)+(-2)4----1-(-2)"-n(-2)"

=1—(—2)"2)”」一(1+3")(-2)〃

1-(-2)3

.3=匕业亡空,“CN*.

9

【典例2］已知数列｛以｝的前〃项和为S”ai=—^,且4S"+i=3S“一9(〃©N*).

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)设数列｛d｝满足36"+(〃-4)a“=0("dN*),记｛儿｝的前〃项和为乙.若对任意〃WN*恒成立,求

实数力的取值范围.

【解析】(1)因为4a+i=3S“一9,

所以当〃22时，4S"=3S〃_i-9,

两式相减可得4以+1=3为，即g=2

an4

当n=1时，4s2=414J=-----9,

4

解得。2=-4，

16

所以虫=3.所以数列｛斯｝是首项为一2公比为3的等比数列，

a\444

所以。"=一2XQ「I=一”.

44n

(2)因为36“+(〃-4)斯=0,

所以儿=("-4)x6".

所以£=-3。3—2X日2—ix日3+OXUT---H〃_4)X。,①

4

^)2-2X^)3-1X^)4+0X(A)5H---F(〃-5)X9”+(〃-4)义0"+1,②

且3y;=-3X

4

①一②得1。=—3x3+0+。3H----ln-(H-4)X^)«+1

44

(M-4)X[A]«+1

4

一〃xh]+i

所以G=-4〃xO"+i.

因为伤"对任意〃£N*恒成立,

所以一4"xO",+iW/L(“一4)X日；恒成立，即一3”W2(“一4)恒成立,

—3〃19

当〃V4时，——=一3一一—,此时4W1；

〃一4n—4

当〃=4时，一12W0怛成立,

当〃>4时，丸》———3〃=一3一1~9上一，此时；12—3.

n—4n—4

所以一3W2W1.

【典例3】在①&=2斯+1；②m=—1,log2(即a"+1)=2〃—1；@Cln+l=CtnCln+2jS[=-3,Cl3=

—4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知单调数列｛z｝的前〃项和为S”，且满足.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)求数歹U｛—〃a”｝的前〃项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】⑴选①，即&=2斯+1.①

当〃=1时，S=2m+1,故ai=—l；

当"22时，Sn-i=2an-i+l,②

1)

①②两式相减得(h=2an-

所以｛念｝为等比数列，其中公比为2,首项为一1.

所以a”=—2厂1.

选②，即ai=-1,log2(飙飙+i)=2〃-l.

所以当时，Iog2(a”a"+D—log2(a〃—ia〃)=2,

即g=4,

Cln—\

所以｛侬.i｝(左©N*)为等比数列，其中首项为m=—1,公比为4,

所以。2"尸一1*4尸1=一2(2右1口；

由。1=—1>10g2(471t72)=1>得。2=—2,

同理可得，&*=—2X4^1

=-22L"GN*).

nl

综上，an——2~.

选③，即ak+\~anan+2,Si=—3,。3=-4.

所以｛〃｝为等比数列，设其公比为q,

=

则,a,\,(1+q“)=〜3,解,得•[a1—1,

aiq~=_4,b=2

ai=一9,

或2

又因为｛a”｝为单调数列,所以q>0,

ai=一1,

故,所以的=-2”？

<7=2,

(2)由⑴知,一〃a”=〃,2"I

所以7；=1+2X2+3X22+-+(«-l)-2n~2+n-2n~1,

2A=2+2X2?+…+(〃-2)-

2n-2+(«—1)-2«-1+«-2\

两式相减得一A=1+2+22H----F2^2+2n^1-n-2n=(2n—l)-n-2n.

所以A=(〃-1)2+1.

【题型三】裂项相消法求和

【典例1】数列｛斯｝的前〃项和为S”刃=1.现在给你三个条件.①a*+i=2a”.②S.=2a”+a③S“=2"+S从

上述三个条件中.选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答.

已知,若6"=log24"+i,｛儿｝的前〃项和为7k

⑴求Tn',

(2)求证：数列H的前〃项和4<2.

【解析】若选①.由41=1,。〃+1=2即知，数列｛斯｝是首项为1.公比为2的等比数列.所以Z=1X2〃-1=2〃

-1

⑴所以Z?〃=log22"=〃也+i—b〃=〃+l—〃=1.所以｛/?〃｝是首项为1.公差为1的等差数列.所以〃=九X1+

22

(2)数列“的前〃项守口

=±+±+...+±

7172Tn

2।2।।2

1X22X3«(«+1)

1—1_|-----1_1—

=2X1223n

=V=2.所以4V2.

及+1n~\-1

若选②.由〃i=l,S〃=2斯+f得〃=1时，1=2X1+/.所以Z=—1.〃?2时.q〃=S〃-S〃_i=2a〃-2斯_1所以

=2即」所以数列｛斯｝是首项为1.公比为2的等比数列.下与选①相同.若选③.由。i=l.S〃=2"+左知，n=l

时，1=21+左.左=一1/三2时，——.下与选①相同.

【典例2】数列｛斯｝满足<21=1,ylal+2=a„+i(neN*).

(1)求证：数列｛欣｝是等差数列，并求出｛a,,｝的通项公式；

(2)若d=六一，求数列｛儿｝的前〃项和.

斯十Cln+1

【解^析】(1)由寸底+2=a”+i得2+i一成=2,且a?=l,

所以数列｛欣｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以晶=l+(〃-l)X2=2"—l,

又由已知易得a“>0,

所以an=42"_1(〃GN*).

co____

(2)6/7=.=/-I=\2n~\-1-2rl—1，

斯+。“+1\/2n-1-\-\j2n+1

故数列｛b〃｝的前n项和A=6i+b2H-----1■儿=(3—1)+(3--------卜«2n+1—年2〃-1)=72〃+1—1.

【典例3］在①数列｛。〃｝的前n项和S〃=；〃2+$；②欣一a〃一a£i—a〃―1=0(〃>2，〃©N*)>an

>0，且ai=b2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的〃存在，求出河

的最小值；若“不存在，说明理由.

］

数列｛小｝是首项为1的等比数列，bn>Q，岳+加=12，且，设数列10g3儿+J的

前n项和为Tn>是否存在/©N*，使得对任意的〃©N*，Tn<M?

【解析】设公比为4（q>0），因为数列｛儿｝是首项为1的等比数列>且儿>0，。2+%=12，

所以［2+1一12=0，解得g=3（q=-4不合题意，舍去），所以儿=3"一.

若选①，由S„=1M2+|/2，可得=（〃-1）（〃三2）>两式相减可得劭=〃+2（〃三2），

又ai=Si=3也符合上式，所以an=n+2，

所以---------=----------=^n”+2］，

ajog3儿+1（〃+2）〃2

「1।11।11.4-111f1,1I

则乙=432435n»+2j=---b+1〃+2j，

242

113

因为——十——>0，所以T„<->

M+1〃+24

a

由题意可得，又MGN*，所以河的最小值为1.

4

若选②’则由后一呢一晶_1一。"_1=0得（斯一a”_i—1）•（（/,；+cz„_i）=0,又。”>0>所以an—an-\

—1=0，即a〃一斯_1=1，所以数列｛为｝是公差为1的等差数列，又0=历，则ai=3，所以的

=〃+2.

所以—--=—--=~C"+2］,

a〃log36〃+i（〃+2）n2

则32435n〃+2」=2-4?+1“+2J，

242

114

因为-----1------->0，所以T<-，

n+1n+2n4

a

由题意可得'又四金N*，所以M的最小值为1.

4

三、［培优训练］

【训练一】屋I校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.

规格为20dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm两种规

格的图形，它们的面积之和S=240dm2,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dn?,以此类推，则对折4次共可以

得到不同规格图形的种数为;如果对折〃次，那么£科=dm2.

22

【解析】依题意得，5i=120X2=240(dm)；S2=60X3=180(dm)；

当〃=3时，共可以得到5dmX6dm,-dmX12dm,

2

T.5a

10dmX3dm,20dmX。dm四种规格的图形，且5X6=30,-X12=30,10X3=30,20X-=

222

30,

所以53=30X4=120(dm2)；

当〃=4时，共可以得到5dmX3dm,-dmX6dm,

2

s11

-dmX12dm,10dmX-dm,20dmX-dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同

424

规格图形的种数为5,且5X3=15,2X6=15,-X12=15,10X-=15,20x2=15,所以S4

2424

=15X5=75(dm2)；

匕匕卜rnrz小0240〃「、240(左+1),八

所以可归纳Sk=--(k+1)=--------------(dm2).

n

所以邑Sk=

「+[+[+…T

240122232"一12"J,①

1n

所以;X?科

尸+3+…+旦+曰C

=240X(2223242"2«1J,②

由①一②得，g,以S

♦+"+」一+…+上—吐

=240122232

r11^1

2n~\-1

1+22"2

2〃+i

1

=24012

(3n~\~3\

=24ob2«+1J,

R〃+3]

所以g科=240〔2"Jdm?.

【训练二】已知数列｛斯｝,^,1]J/…(其中第一项是I，接下来

的22—1项是段康,》，再接下来的23—1项是2依此类推)，其前n项和

为S”，则下列判断正确的是()

910—1

人./一是｛劣｝的第2036项

B.存在常数M>使得S“<"恒成立

C.52036=1018

D.满足不等式&>1019的正整数〃的最小值是2100

1110

2—27—A1

【解析】因为21—1+22—1+3+21。-1=----------10=2036，所以J7是｛许｝的第2036项，

1-2210

所以A正确；因为S”随着n的增大而增大，所以不存在常数拉，使得&VM恒成立，所以B

C2-211]

错误；$2036=^—+—+-+-―-=kXil-2J=1018，所以C正确；由9+令+…

2222211211

(1+//)n

+々=2>1，解得〃三64，又52036=1018'所以满足不等式&>1019的正整数〃的

2112n

最小值是2036+64=2100，所以D正确.综上，正确的是ACD.

故选ACD.

【训练三】已知等差数列｛为｝中，05—03=4,前〃项和为S”且S2,S3—1,S4成等比数列.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)令=求数列｛b„｝的前n项和T„.

4”斯+1

【解析】⑴设｛。“｝的公差为力由05—。3=4,得2d=4,d=2.

所以S2=2m+2,&一1=3。1+5,54=4ai+12,

又$2,53-1,$4成等比数列，所以(3也+5)7=(2ai+2)・(4m+12),

解得41=1,

所以an=2n—l.

(2)S=(一I+2n+11

。"斯+1

,、—fi+AIM-IM小+7

当〃为偶数时，Tn=L3j+135jU7J+…一匕〃-32n~lj+{2n~12〃+lJ,所以〃=—1+

1_2n

2n+\~2n+l

1]一\^n—11

当n为奇数时,2n—12〃+1J,

2几十2

所以几=-1....-

2H+12笈+1

2n

n为偶数

2篦+1

所以T=2n+2

nn为奇数

.2〃+1

【训练四】在等差数列｛斯｝中，已知06=12,018=36.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式。“；

(2)若,求数列｛儿｝的前〃项和S,„

在①瓦,=」^,②6〃=(—1产。“，③儿=2%•a“这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.

(?1+5d=12,

【解析】(1)由题意知

ai+17d=36,

解得d=2,〃i=2.

即=2+(〃—1)X2=2〃.

(2)选条件①.

"二4二1

n2力2(〃+1)n(n+1)

则&=—…+——

1X22X3〃伽+1)

“+1n+1

选条件②.

Van=2n,儿=(—1)"斯=(-1)/2〃，

:・Sn=-2+4—6+8—…+(-1产2〃，

当〃为偶数时，

5=(-2+4)+(—6+8)+…+[—2(〃-1)+2川

=-X2=n；

2

当〃为奇数时，n-l为偶数，

=

Snn—\—2n=—n—\.

.\n9n为偶数,

Sn='

—n—l9n为奇数.

选条件③.

=

an2n,bn—,an,

2n

bn=2-2n=2力4",

123

ASn=2X4+4X4+6X44——F2〃4〃，①

234

4SW=2X4+4X4+6X4H-----^2(九一l>4〃+2力4〃+】，②

①—②得

123

-35W=2X4+2X4+2X4H——F2X4〃一2"4/1=出匕*X2—2”4共1

1-4

=3^-2〃.2,

-3

【训练五】已知数列｛诙｝是正项等比数列，满足。3是2初3a2的等差中项，。4=16.

(1)求数列｛以｝的通项公式；

(2)若为=(一1)"1噂。2"+1，求数列｛6“｝的前n项和Tn.

【解析】⑴设等比数列｛a4的公比为

因为。3是2〃1,3〃2的等差中项，

所以2的=2〃1+3。2,即2aiq2=2qi+3aig,

因为mWO,所以2/一3q—2=0,

解得q=2或0=—｝

因为数列｛斯｝是正项等比数列，所以0=2.

n4n

所以an=a4-q~=2.

(2)方法一(分奇偶、并项求和)

由(1)可知，<22/7+1=22w+1,

所以方=(—l)"」og2a2〃+1

=(—1)w-log222n+1=(—1)w-(2w+1),

①若〃为偶数，

Tn=-3+5—7+9—一(2n-1)+(2〃+1)

=(-3+5)+(—7+9)H---l-[-(2n-l)+(2«+l)]=2X^=n；

②若〃为奇数，当时，

4=T”_i+6"="—1—(2〃+1)=—〃一2,

当«=1时，7i=-3适合上式，

心.n,n为偶数，

综上得T〃=.,

—n—2,n为奇数

(或乙=(〃+1)(—1)"一1,〃WN*).

方法二(错位相减法)

由(1)可知，。2“+1=22"+1,

所以6〃=(—1)"Tog2a2"+1=(—1)"Tog222〃+1=(—1产(2〃+1),

7；=(-l)'X3+(-l)2X5+(-l)3X7H---卜(一1产(2〃+1),

所以一T“=(_l)2X3+(-l)3X5+(_l)4X7H---F(-l)n+1(2»+l),

23+1

所以2Tn=-3+2[(-1)+(-1)4----F(-1)»]-(-l)«(2n+l)

1—(—1)"1

=-3+2X—1)〃(2〃+1)

=-3+1—(一1八+(—1)"(2"+1)

=-2+(2〃+2)(—1)",

所以4=5+l)(—1)”一1,adN*.

【训练六】已知｛。/为等差数列，｛儿｝为等比数列，a\=bi=l,。5=5(。4一。3),65=4(64—63).

⑴求｛&｝和依｝的通项公式;

(2)记｛斯｝的前〃项和为S”求证：S&+2〈的+i(〃©N*)；

⑶对任意的正整数〃，设c〃=

'(3斯-2)b4.大蛤

-----------n,〃为奇数，

斯。〃+2

—,〃为偶数，

bn+1

求数列｛c〃｝的前2〃项和.

【解析】(1)解设等差数列｛飙｝的公差为d,等比数列｛儿｝的公比为%由41=1,45=5(04—。3),

可得d=l,从而｛念｝的通项公式为念=机

由61=1,。5=4(。4一。3),又qWO,可得q2—4q+4=0,解得q=2,从而｛儿｝的通项公式为儿

=2"一1.

(2)证明由(1)可得&="("+1),

故S"S"+2=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3),

忌+i=；(〃+1)2(〃+2)2,

从而SS+2—跖产一；(〃+1)(〃+2)<0,

所以&S〃+2〈殷+1.

⑶解当〃为奇数时，c,,=（3—-2）b"(3〃一2)2厂1_2内2〃-1

斯斯+2n(〃+2)〃+2n

Un-1n-1

当〃为偶数时,Cn一

bn+l2n

对任意的正整数小有£产1

22k22k~2

D2Tl

苫版+「J2〃+「1'

如《32k~11,3।5।।2//—1

和2日广思/―4+42+石+…+/•①

由①得斤=4+1-12n~3.2n~1

23

平=1444九4"+i

①一②得至臼=1+看+…+:_2z7^*1

平=]4424〃

牝

12n-l

144-1

1----

4

从而得"

Innn4"6〃+54

因此,不以=石。201+不。2月

2w+l9X4"9

所以,数列｛。｝的前2〃项和为

4»6〃+54

2〃+19X4〃9

四、【强化测试】

【单选题】

1.数列｛念｝的通项公式是斯=（—1）"（2及一1）,则该数列的前100项之和为（）

A-200B.-100C.200

【解析】5ioo=(-1+3)+(-5+7)4----1(一197+199)=2X50=100.

故选D.

2.已知数列｛恁｝满足飙+L以=2,ai=—5,则⑶|+|a21H--卜|熊|=()

A.9B.15C.18

【解析】由题意知｛斯｝是以2为公差的等差数列,又ai=-5,所以⑶|十|a21H|-|«6|=|-5|

+|一3|+|—1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18.

故选C.

3.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十

七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传意为：“996斤棉花，分别赠送给8

个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定

要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩

子分到的棉花为()

斤斤

斤斤

【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为｛期｝,公差为

d,前〃项和为第一个孩子所得棉花斤数为⑶，则由题意得，d=17,5=8ai+-X17

82

，

=996,解得tn=65,..a8=ai+(8-l)t/=184.

故选A.

4.在数列｛斯｝中,若ai=l,念=3,z+2=z+i—z(〃GN*),则该数列的前100项之和是()

A.18B.8C.5

=

【解析】由斯+2=cin+an(an—an-i)~an

——an-\—~｛cin-2~Cln-i)——(飙―3-Z-4)+斯-3=圆-4,

得｛斯｝是周期为6的周期函数，

又43=42—。1=3—1=2,。4=2—3=—1,45=-1—2=—3,〃6=—3+1=-2,

7100=16X6+4,

.*•Sioo=16X(1+3+2—1—3—2)+(1+3+2—1)=5.

故选C.

5.已知函数正)="+/。＞0,且aWl)的图象经过点尸(1,3),2(2,5).当“WN*时，a”=加)—，记

数列缶“｝的前〃项和为s”当a=¥时，〃的值为()

A.7B.6

C.5D.4

【解析】因为函数於)=〃+b(a>0,且aWl)的图象经过点P(l,3),2(2,5),

a+b=3,a=2a=-1,

所以所以或，(舍去)，

/+6=5,b=lU)=4

所以/(%)=2'+1,

2〃+1—1

所以a

n(2w+l)(2n+1+l)

11

2〃+12〃+】+1

所以3+^―JHFC+12n+1+J=-

1

32n+1+l

令S〃=一，得〃=4.

33

故选D.

6.在数列缶〃｝中，若41=1,42=3,a〃+2=Q"+i—Q〃(〃£N*),则该数列的前100项之和是()

A.18B.8

C.5D.2

【解析】因为。1=1,42=3,即+2=q〃+i―斯(〃£N*),所以的=3-1=2,。4=2-3=-1,的=-1―2=一

3,。6=-3+1=—2,。7=-2+3=1,念=1+2=3,3=3—1=2,•••,

所以｛斯｝是周期为6的周期数列，因为100=16X6+4,所以SIOO=16X(1+3+2-1—3—2)+(1+3+2—1)

=5.

故选C.

7.已知数列｛斯｝满足防=2,4Q3=Q6，｛J是等差数列，则数列｛(—1)%〃｝的前10项的和目0是()

A.220B.110

C.99D.55

【解析】设等差数列W的公差为由则强=。1+5力生=①+3小将已知值和等量关系代入，计算得d=2,

663

=2

所以&=m+(〃一l)d=2〃，an2nj所以Sio=—m+〃2—“3+04—…+mo=2(l+2+…+10)=110,

n

故选B.

8.数列｛&｝满足即+1=(—1)"+1丁+2〃-1，则数列｛&｝的前48项和为()

A.1006B.1176

C.1228D.2368

【解析】a〃+i=(—1)"+1即+2〃-1，

所以〃=2左一1/£N*)时5。2左=。2左一1+4左一3，

〃=2左+1(左£^)时5。24+2=42k+1+4左+1，

n=2k(kN*)3^，。2左+1=—血+4。—1,

所以。2左+1+〃2左—1=2，a2A：+2+。24=8左.

贝I数歹I｛念｝的前48项和为2X12+8(1+3+-+23)=24+8X------1=1176.

故选B.

【多选题】

9.设&是数列｛诙｝的前〃项和，且ai=—1，a”+i=SS+i，则()

A.数列哥为等差数列

B.S„=--

n

—1，〃=］，

C-an=1——-，n？2，〃WN+

n~\n

1〃

nD.---1---।1----1----।1------_|H_---_---1-

S1S2S2S3S*iSnn

【解析】S,是数列｛a〃｝的前〃项和>且ai=—1，a^+LSS+i'

则S„+x-S„=S„S„+\>整理得J——十=一1（常数），

品+1品

所以数列H是以：=-1为首项，―1为公差的等差数列，故A正确；

Si

,=

所以，=—1—（72—1）=—n，故Sn=，故B正确；所以当"22时an=Sn~Sn-l—"~

Snnn~\n

项不符合通项），

—1，n=l，

故a产」_一：〃三2，〃61'故。正确；

n—1n

因为「一=（1、=」一一1，

Sn-\Sn\n—l）nn-ln

所以——I---F・・・-|-----=1——+———+,,,+--—=---，故D正确.

S1S2S2s3Sn-iSn223n—1nn

故选ABCD.

10.已知数列｛斯｝为等差数列，首项为1-公差为2.数列｛为｝为等比数列，首项为1-公比为2.

设c”=*，为数列｛为｝的前〃项和，则当A<2019时，〃的取值可能是（）

A.8B.9

C.10D.11

【解析】由题意，以=1+2（〃-1）=2〃-1，bn=2n~l'

。"=。加=2-2"-1—1=2"—1，贝U数列｛为｝为递增数列,

123,1

其前〃项和7；,=(2-l)+(2-l)+(2-l)+-+(2-l)

2(1-2")

=(2〔+22+…+2")一〃n=2"+i-2一n.

1-2

当n=9时，T„=l013<2019;

当»=10时，K=2036>2019.

所以〃的取值可以是8>9.

故选AB.

IL已知数列｛端小渭,渭+:

23/"吃+…+春…，若'-dz；设数列

｛儿｝的前〃项和则（)

A—“

A.a〃一B.a”=n

2

4〃DY

C.Sn=—­

n+1

12n1+2+3+…+〃n

【解析】由题意得a

n«+1«+1«+1«+12'

1

•==4

bu

''~n,n±l~n(〃+1)

22

•••数列｛儿｝的前〃项和

Sn-bl-\-b2~\~b3~\----\~bn~

4122334nn~\~1]

4n

=41

n~\~1

故选AC.

12.已知数列｛aa｝的前〃项和为S,，且有---FaQa”=(<7i+a2H-----an-^an+i(ri^2)n

.1,

©N*)，41=42=1.数列］og2S“+l•log2S"+2的前n项和为Tn，则以下结论正确的是()

A.an=1B.S”=2"-i

%—I—1

C.Tn=^D.｛T〃｝为增数列

〃+3

J

【解析】由(ai+a2T-----卜斯)斯=(ai+a2T-----\-an-\)an+\得解(&—S〃_i)=S〃_i(&+i—&)，化简

得能=S*S+1，根据等比数列的性质得数列｛S〃｝是等比数列.易知S1=1，52=2，故｛&｝的公

1

比为2,则5”=2厂1，5„+i=2«，&+2=2.1，---------------------=」、=1—一［.由裂项相

log2s计1•log2s〃+2n(./i+l)nn+1

1H

消法得T„=l-----=一1.故B正确，C错误，D正确.根据S„=2n~l知A选项错误，故答案

n+1n+1

为BD.

故选BD.

【填空题】

13.已知数列｛斯｝的首项为一1,为斯+i=—2",则数列｛飙｝的前10项之和等于.

【解析】因为为斯+1=—2",所以诙+1诙+2=-2"+1,因此四出=2,

Cln

所以｛斯｝的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列,

r—2

X£Z1=­1,42=----=2,

a\

.*•810=(。1+。3+…+09)+(02+04+…+〃10)

—1・(1—25)12(1—25)

-31+2X31=31.

1-21-2

14.已知数列｛斯｝满足m=l,且为+1+斯=〃-1009(〃WN*),则其前2021项之和82021=

【解析】52021=。1+(。2+。3)+(。4+。5)+…+(。2020+02021),

又的+1+。"=〃-1009(〃GN*),且m=l,

.,.52021=1+(2-1009)+(4-1009)H-----F(2020-1009)

=l+(2+4+6H-----F2020)-1009X1010

2+2020

=1XI010-1009X1010=2021.

2

15.已知数列｛〃即｝的前〃项和为S“，且斯=2",且使得S”一•〃斯+i+50<0的最小正整数〃的值

为.

【解析】5„=1X21+2X22H-----\-nX2n,

则2s〃=IX22+2X23H——H〃X2"+i,两式相减得

7(1—7")

-Sn:=2+22H----1-2"—n-2n+1-----------------------n-2nI

1-2

故S.=2+(〃一1)2计1.

又斯=2",

〃为+i+50=2+(〃一〃-2"+i+50=52—2k1,

依题意52-2»+1<0,故最小正整数n的值为5.

，则S21

16.设数列｛a“｝的前”项和为S”且ai=l,an+an+i1,2,3,…)

【解析】因为。1=1,4〃+即+1=((几=1,2,3,…)，所以$2"_1=。1+(。2+