人教四年级上册第八单元《数学广角-优化》

难题库I人教四年级上册第八单元《数学广角一一优化》

学校:姓名：班级:考号：

一、选择题

1.小红帮妈妈煎饼，每次煎3张饼，两面都要煎，每煎一面要4分钟，煎9张饼最少

要（）分钟。

A.24B.18C.12D.16

2.两人轮流报数，每次只能报1或2,把两人报的所有数加起来，谁报数后和是20,

谁就获胜。如果让你先报数，为了确保获胜，那么你第一次应报（）。

A.1B.2C.I或2都可以D.无法确定

3.李红、王丰和赵月三人同时去医务室治病。李红打针共需4分钟，其中药溶解需2

分钟，王丰开药需2分钟，赵月按摩需25分钟。于大夫合理地安排了他们三人的治疗

顺序，使他们的治疗时间总和最少，最少的治疗时间总和为（）。

A.39分钟B.28分钟C.29分钟

4.一个平底锅每次能煎4条鱼，两面都要煎，每面需要4分，李阿姨要煎6条鱼，至

少需要（）分。

A.8B.12C.16

5.李阿姨做红烧鱼，洗鱼2分钟，切鱼2分钟，切葱姜I分钟，洗锅2分钟，将锅烧

热2分钟，将油烧热3分钟，烧鱼9分钟。李阿姨最少（）分钟能将红烧鱼做好。

A.20B.18C.16

二、解答题

6.现有69根火柴棒，由甲、乙两人轮流从中取火柴棒，每次最少取1根，最多取4根，

不许不取，谁取到最后1根就算赢。请你制定一个甲必胜的方案。

7.有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆

中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。

谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

8.北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每

台机器的运费如表，如何调运能使总运费最省？

怫

FX武汉西安

北京500600

上海7001000

9.小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙

牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过

河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？

10.有一种游戏称作“抢三十”，游戏规则是两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最

多报4个数，从1到30按顺序连续报数，谁先报到30,谁就获胜，请给出取胜的方法。

（写出过程）

11.小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，

乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛

过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？

12.一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储油

站储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于

一个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？

5OH.10«20吨

13.小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河

要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马

都赶到对岸去，最少要多少分钟？

14.在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮

库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食

集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才

行？

10畤20吨50吨

15.小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马

过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4

试卷第2页，共14页

匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？

16.贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一

次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？

17.现在有10分钟和7分钟的沙漏计时器各一个.如果用这两个计时器计量18分钟的

时间，采用何种步骤最简单？（翻转沙漏计时器的时间忽略不计）

18.有一列数1,4,7,10,9997,10000,将这些数相乘，试求乘积的末尾零的

个数.

19.王林有很好的生活习惯.下面是他每天早上上学之前要做的一些事情.

穿衣叠被刷牙洗脸整理房间收听广播整理书包吃早餐

5分钟5分钟8分钟30分钟2分钟6分钟

王林要做完这些事情至少需要多少分钟？如果他和好朋友约好7时30分一起去上学，

他最迟要什么时候起床？

20.如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、

400人、500人、600人。任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所

学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在

什么地方？距离的总和最少是多少？

I1」11

ABCDE

21.如图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数。问：小

悦从A出发走到B最快需要多少分钟？

22.下面是同一种奶茶的价钱。一家超市要买46箱这种奶茶，怎样买最省钱？买50箱

又该怎样买？

奶茶

20ffi/

每件500元3箱80元I箱28元

23.学校组织四年级春游,参加这次春游活动的师生共有248人。如果要租以下两种车

接送，应如何租车？其租金至少要多少元?

大巴40座，租金1000元。中巴25座，租金750元。

24.四（1）班34名同学和2名老师去划船。每条大船的租金是30元，可坐5人；每

条小船的租金是21元，可坐3人。

（1）聪聪列出算式“（34+2）+3x21=252（元）“，你知道解决的是什么问题吗？

（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？

25.现在有66只小妖，该如何分配才能最省馒头？

'我一次可消灭5只小妖，要吃］像一次可消灭8只小妖，但要,

300个馒头来补充体力。J［吃400个馒4来补充体力。

26.四（2）班师生44人去划船，大船每条限坐6人，租金20元；小船每条限坐4人，

租金16元，怎样租船最省钱？

27.五（1）班的2名教师带领42名学生一起去湿地公园划船，怎样租车船最省钱？最

少需要多少钱？

某湿地公园游船出租租金如下表。

船型限坐人数/人每条租金/元

大船856

小船648

28.实验小学计划采购100升消毒液用于日常消毒防疫工作。该种消毒液有大瓶和小瓶

两种包装，大瓶装8升，每瓶40元；小瓶装6升，每瓶36元。怎样采购最省钱（只能

是整瓶）？最少需要多少钱？

29.某学校14名老师和324名学生乘车去参加研学旅行。大车可坐40人（不包括司机），

每辆租金900元；小车可坐20人（不包括司机），每辆租金500元。怎样租车最省钱？

30.某商场“迎五一”促销活动中，推出了“每单满799减200”和“每单满1999减450”优

惠活动。学校自主安排核酸检测，准备购入扫健康码专用的8台手机，怎么买最省钱,

至少需要多少钱？

试卷第4页，共14页

原价：699元

31.明珠小学六年级6个班进行了一次新冠疫情防控知识竞赛，每班6位同学参加比赛，

比赛当天另外安排了8位五年级学生担任工作人员。学校为参赛学生和工作人员每人准

备了一个小蛋糕，这种小蛋糕蛋糕店有4个一盒和6个一盒两种包装（如下图），学校

怎么买比较省钱？共需多少钱？

24元,盒3帆,'盒

32.2名老师带领42名学生去天子湖公园划船。大船限乘6人，租金60元；小船限乘

4人，租金48元。怎样租船最省钱？同学们在天子湖公园划船时，你想对他们说点什

么？

33.红旗小学组织到科技馆参观，共有50名老师和400名学生参加，下面有两种车型

可以租用。

大客车：限乘客40人，每辆每天租金800元。小客车：限乘客25人，每辆每天租金

600元。

怎样租车最合算？需要多少钱？

34.张经理和39名员工去大峡谷游玩，门票价格为150元/张，现在有三种优惠方案,

他们根据哪个方案买最省钱？

方案一：每买4张门票赠1张

方案二：每张优惠24元

方案三：每满300兀，返还50兀

35.春游。

我们此63”

限彘40人.人,怎样租车

将柄840元鼠Aik

限乘25人.

狗蹲600..

把最省钱的方案写出来。

36.四年级师生共280人去游船，大船每条坐25人，租金50元；小船每条坐20人，

租金45元。如何租船最省钱？需要多少元钱？

37.学校给20块小黑板刷油漆，刷一面需要1分钟，但必须等5分钟油漆干后才能刷

另一面。请问：10分钟最多可以刷完多少块？请说明理由。

38.文印室需要复印15张资料，正、反面都要复印。如果一次最多放2张，复印一面

需要1分钟。那么至少要复印多少分钟？

20盒

一盒4元3盒1所每箱60元

上面是同一种泡面三种包装的价格。某工程队要买55盒这种泡面。

（1）算一算怎样买最省钱？一共要花多少钱？

（2）请选择清晰简洁的方式表达你的思考过程。

（3）试着分析这种方案最省钱的原因。

40.青少年时期的体格增长是最快的，体育锻炼可以使身体中各器官获得充足的氧和营

养物质，以促进其生长发育。希望小学要购买40个足球，现在甲、乙、丙3个商家可

以选择，3个商家足球的单价都是52元，但每个商家的优惠方式不同，为了节省费用，

希望小学应该去哪家购买？

甲：买10个送2个

乙：每个足球优惠8元

丙：购物每满100元立减20元

41.参观野生动物园，成人：50元/人，儿童半价；团体10人（含10人）：30元/人。

（1）有6个大人和4个儿童怎样买票合算？

（2）有1个大人和9个儿童怎样买票合算？

42.四位同学去学校医务室做体检，要量血压、测肺活量、验视力，每项检验都要3分

试卷第6页，共14页

钟，以上项目检查各有一位医生负责，他们4人至少要用多少分钟才能做完这些体检？

43.某超市推出“越购越便宜”活动，下面是出售可乐的价钱。如果想买250罐可乐，怎

样买最省钱？最少需要多少钱？

24罐

6罐U0GN

6668613

aooeoa

000B00

4元罐18元;盒4阮「箱

44.周末四一班同学去公园玩，需要买42瓶饮料。这种饮料一瓶售价4元，买3瓶送

1瓶，一箱15瓶售价42元。那么，怎么样买最省钱？需要多少钱？

45.超市有一种沐浴液每瓶36元，现在搞促销买两瓶送一瓶，李阿姨有324元，最多

可以买几瓶？

46.烙饼时，第一面要烙4分钟，第二面要烙2分钟，即烙一张饼需要6分钟。小丽家

的平底锅每次只能烙2张饼，她家每天早上需要烙3张饼，最少需要多长时间才能吃上

饼？

47.笑笑和乐乐玩取棋子的游戏，每人每次最少取1枚，最多取2枚。谁先取得第16

枚谁就获胜，如果让你先取，为了确保胜利，第一次应取多少枚？

48.有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张

谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？

49.妈妈要煎4条鱼，两面都要煎，每面4分钟。可是锅里每次只能放3条鱼。怎样煎

才能尽快煎好？至少需要多少分钟？

50.三(2)班一共有28人去划船，小船限坐4人，大船限坐6人。如果每条船都坐满，

可以怎样租船？符合要求的方案要都写出来哟！

51.要买35千克的苹果，请你选择开支最省购买方案，开支多少元？

52.阳光旅游团共有48人，其中儿童16人。怎样购票所需的钱最少？最少需要多少？

儿童票：15元

成人票：30元

团体票（45人及以上）：22元

53.武大郎做烧饼，每只烧饼正面需要烤3分钟，反面需要烤2分钟，而平锅内一次只

能放两只烧饼，要用最短的时间烤好9只烧饼，武大郎最少需要多少分钟？

54.某学校14名老师和326名学生去春游。每辆大车可坐40人,租金800元；每辆小

车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？

55.欣欣旅行社推出A景区三日游活动。

成人：400元/张

6个大人带着6个儿儿童：180元/张

量,怎抨的票最划

团体票：220元/张

算？方要多少元？

（10人以上，含10人）

56.周末，妈妈和佳佳用烤箱烤了一炉饼干。

（1）烤饼干之前必须先将烤箱预热10分钟，然后才能开始烤，烤熟饼干需要12分钟。

如果妈妈9：50开始预热烤箱，那么饼干烤熟出炉的时间是（）o

（2）佳佳挑出了26块饼干，打算把它们装袋送给朋友们品尝。有两种包装袋，一种是

塑料袋，每袋装5块，另一种是纸袋，每袋装3块。如果每袋都装满，怎样装能恰好装

完？把装饼干的方案填写在下表中并答题。

方案序号方案塑料（每袋装5块）纸袋（每袋装3块）饼干块数

①6袋0袋5x6=30（块）

②5袋1袋

答：能恰好装完饼干的方案是

试卷第8页，共14页

我把剩下饼干的四分之一

陶下饼干

装在小桶里，把四分之三

块数比20多,装在大桶里，正好装完，而

Q匕30少。J[fl■每桶都是整块的饼干。

大桶、小桶可能各装了多少块饼干？用你喜欢的方式解决这个问题，写出你的思考过程

和结论。

57.学校组织四年级师生一起去参观厦门市气象台。一共有11名教师，239名学生。

其中，大客车可坐45人，租金800元；中巴车可坐25人，租金600元。怎样租车最省

钱呢？

58.妈妈为全家人准备晚饭。

择菜洗菜淘米煮饭切菜

6分钟3分钟2分钟18分钟3分钟

经过合理安排，做完这些事至少需要多少分钟？（用图示的方法表示出来并计算出所需

时间）

59.20名同学去水上乐园游玩，他们怎样租船最省钱？

大船可乘8人，每条10元。

小船可乘6人,每条8元。

60.我们班38人去公园划船，每条大船可坐6人，租金50元，每条小船可坐4人，租

金40元，怎样租船最省钱？

61.青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要

跳几次就能跳出井外？

62.一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。

问：煎3张饼需儿分钟？怎样煎？

63.西餐店推出两种套餐，A种套餐21元/份，B种套餐24元/份，小红拿了70元钱,

要买3份，有几种买法？各需多少钱？

64.一批游客共28人（其中大人20人，儿童8人）去博物馆参观，票价如下图所示,

他们怎样买票比较合算？最少需要多少钱？

成人：30兀/人

儿童票：15元/人

团作票：10人起（含10人），

20元/人

65.32名老师带领273名学生参加影视夏令营，观看热门电影《我和我的祖国》，怎样

买票最省钱？要花多少钱？

票价

丫成人40元/人

*学生20元/人

!团体

30元/人

t（30人及30人以上为团体）大

66.逸夫实验小学四年级师生共168人去郊游。怎样租车最省钱?

67.有227名来自山东省的女教师到北京某小学考查，当晚要入住学校附近的一家酒店。

_（三人间，186元，间；标准间（两人间）舒服些,

[g<69|B]°[146元:恂，还有97间。

怎样订购花钱最少？最少要花多少钱?

68.爸爸出差了，妈妈生病了，明明放学回家后帮妈妈做家务，明明是按照以下顺序做

的：扫地（5分钟）T淘米（1分钟）T洗菜（9分钟）T打开炉子（1分钟）T煮饭（18

分钟）一炒菜（7分钟）一共花了41分钟，妈妈平时没有用这么长时间，请你帮明明

设计一个花费时间最少的做家务顺序。

69.四（1）班有31人参加假日小队活动，为了环保出行，如何租车最省油？

小轿车限乘客4人耗油30升

商务车限乘客9人耗油50升

试卷第10页，共14页

三、填空题

70.有6张电影票（如图），想撕成相连的3张，共有种不同的撕法。

71.在3棵树上栖息着15只黄鹏和14只白鹭，每棵树上至少有4只黄鹏和2只白鹭，

如果每棵树上的白鹭都不比黄鹏多，那么一棵树最多有（）鸟。

72.这是一种两人玩的游戏。两位选手轮流在一条20x1的矩形长带上移动筹码。每一

轮都可将四个筹码的任意一个向右移动任意方格。但不能放在其他筹码上面或超过其他

筹码。开始时如图中看到的各筹码位置，赢家是最后移动筹码者。（他移动后，四个筹

码恰好占据了长带右端的四个方格，不可能在移动了）。先移动者应将A向右移动

（）格，才能保证获胜。

ABCD

73.有六条铁链，每条有四个环（如图）。打开一个环要用1分钟，封闭一个打开的环

要用3分钟。现在要把这24个环连成一条铁链，至少要用（）分钟。

GOODGOODCUD

0003GOOD008D

74.妈妈在家里煎牛排，一个平底锅每次最多只能煎两块牛排，每面煎两分钟，现在她

要煎5块牛排至少需要（）分钟。

75.有一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每2只空啤酒瓶可以换1瓶啤酒。师徒三人

拿6只啤酒空瓶换啤酒喝，最多（一共）喝到（）瓶啤酒。

76.“铁板烧”烤鳏鱼时，觥鱼两面都要烤。一张铁板烧可同时烤4条就鱼，烤一面需要

2分钟，用这张铁板烧烤6条鱼至少需要（）分钟。

77.游乐场上有一个场地射箭，一个场地骑车，射箭、骑车一次都需要用时4分钟。有

3位小朋友来游玩，如果3个人两种游戏都玩，最少需要用时（）分钟。

78.用一只平底锅烙饼，每次最多只能放2张饼，烙一面要3分钟，两面都要烙，烙7

张饼至少需要用（）分钟。

79.用一个平底锅煎饼，每次最多只能煎4张饼。两面都要煎，煎熟一面要2分钟，煎

熟10张饼至少需要（）分钟。

80.爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料•，妈妈要去商场购物。

下图是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要（）分钟。

81.在图中，要从A走到B,不能经过C、D两点，如果只能向右、向上或斜上方走,

82.一堆棋子有11颗，两人轮流从中拿走1颗或2颗，谁拿到最后一颗谁就获胜。如

果让你先拿，第一次应该拿（）颗才能确保获胜。

83.爸爸用平底锅煎饼，煎熟一面要4分钟，两面都要前，一口锅一次最多能煎2个饼，

煎熟5个饼最少要（）分钟。

84.一个平底锅每次只能烙2张饼，每面烙2分钟，烙熟7张饼至少需要（）分

钟。

85.一只平底锅能同时煎两条鱼,用它煎熟一条鱼要6分钟（两面都要煎,每面3分钟），

那么煎熟5条鱼至少要（）分钟。

86.烤一块牛排需要6分钟（两面都要烤，每面各需3分钟），一块铁板最多只能燃2

块，那么烤7块这样的牛排至少需要（）分钟。

87.用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用

）根火柴。

88.一种跳绳游戏，每次跳3分钟，可以单人跳，也可以双人跳。乐乐和爸爸妈妈、爷

爷、奶奶一起玩，每人跳两次，至少需要（）分钟。

89.甲、乙两人轮流报数，每次只能报1或2,把两人报的所有数加起来，谁报数后和

是10,谁就获胜。如果确保甲获胜，必须（）先报，先报（）。

试卷第12页，共14页

90.一只平底锅每次最多能烙4张饼。现在要烙6张饼，两面都要烙，每面3分钟，烙

完至少需要（）分钟。

91.一只锅子每次最多只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面煎2分钟。3个至少需要煎

（）分钟，若果煎9个鸡蛋，至少需要（）分钟。

92.给一块小木板两面刷油漆，刷一面要1分钟，但必须等3分钟漆干后才能刷另一面，

刷完5块这样的小木板至少需要（）分钟。

93.假设烙一个馅饼需要4分钟（每一面需要2分钟），1个烙饼锅每次正好可以烙两

个馅饼，要烙7个馅饼至少需要（）分钟。

94.一只平底锅一次只能煎2条小黄鱼，用它煎1条小黄鱼需要6分钟（正，反面各3

分钟），煎5条小黄鱼至少需要（）分钟。

95.妈妈准备早餐煎带鱼，鱼的两面都要煎，平底锅里一次最多放4块鱼，每面都要煎

2分钟，煎6条鱼至少要（）分钟。

96.一个平底锅每次能烙2张饼，每烙熟一面饼需要2分钟，两面都要烙，烙熟5张饼

需要（）分钟。

97.一口平底锅里只能同时煎4条鱼，用它煎一条鱼需要6分钟（正反面各煎3分钟），

那么煎6条鱼至少需要（）分钟。

98.图中的9个圆圈间，连有9条直线，每条直线有3个圆圈。甲先乙后轮流将9个圆

圈涂上颜色；如果谁先将某条直线上的3个圆圈全涂上自己的颜色，谁就获胜；和局判

乙胜。现在，甲先选择了“A”，乙接着选择了“B”。甲要取胜，接下来的一步应填在标号

为（）的圆圈中（有几种就填几种）。

99.四年级二班同学去公同划船，男生25人，女生26人。一条大船可坐5人，租金8

元；一条小船可坐3人，租金6元。租条大船和条小船最省钱，要花—

7Uo

四、判断题

100.妈妈星期天在家做家务：拖地15分钟，烧水5分钟，整理客厅10分钟，整理书

柜10分钟。用全自动洗衣机洗衣服30分钟。妈妈做完这些事情至少需要35分钟。

()

试卷第14页，共14页

参考答案:

1.A

【分析】要使烙饼的总时间最少，那么每一次锅内就应有三张饼，把9张饼平均分成3组，

然后计算出时间总和即可。

【详解】9+3x2=6

4x6=24（分钟）

故答案为：A

【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。

2.B

【分析】假设是甲、乙两人，如果两个人各报一次的和都是3,现在报数和是20,20+3=6……2,

即需要报完整的6组，最后再报一个2,即最后报2的人获胜，如果要让甲先报数，第一次

就一定要报2o

【详解】假设是甲、乙两人，

20+（2+1）

=20+3

=6...2

所以如果甲先报数，第一次就一定要报2,接下来如果乙报1,中报2；如果乙报2,甲报1……；

最后获胜的就是甲。

故答案为：B

【点睛】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析；一般来说，要结合余数问题

来选择制胜策略。

3.A

【分析】三个人同时来到医务室看病，有1个人看病其他两个人就要等着，由此可以看出自

然是花时间少的人先看，等候时间的总和就会越少。

【详解】三人看病的顺序依次是：王丰一李红一赵月

2x3+4x2+25x1

=6+8+25

=39（分钟）

所以他们三人看病的时间的总和最少是39分钟。

故答案为：A

答案第1页，共47页

【点睛】解答这类题目的关键是要优化组合，找到优化组合的突破点，在这里是按时间少的

先就诊进行排序即可。

4.B

【分析】根据烙饼问题的公式：总时间=饼数x2+每锅可烙的数量x烙每面的时间，代入数

据计算即可.

【详解】6x24-4x4

=12+4x4

=3x4

=12（分）

故答案为：B。

【点睛】本题考查的是烙饼问题，利用烙饼问题的公式直接解答。

5.C

【分析】要使需要的时间最短，应先洗锅，再把锅烧热。把锅烧热的同时可以洗鱼。再把油

烧热，把油烧热的同时可以切鱼及切葱姜。最后再烧鱼。一共需要2+2+3+9分钟。

【详解】2+2+3+9=16（分钟）

则李阿姨最少16分钟能将红烧鱼做好。

故答案为：Co

【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进

行的两项任务应互不干扰。

6.甲先取走4根，之后的每一次轮取中甲每次取后所留的火柴数目必须为5的倍数，则甲

必胜。

【分析】有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次取后所留的火柴数目必须为k+1的

倍数，这样就可以保证甲必胜，据此解答。

【详解】要想甲能够取胜则在最后一步之前的轮取中让桌面上剩1+4=5的倍数即可，因此

69+5=13……4,因此甲先取走4根，桌面上剩65根，让乙再去拿，甲每次取后所留的火柴

数目必须为5的倍数，则正好甲可以拿到最后一根，甲必胜。

【点睛】根据因数倍数的应用进行解答。

7.甲必胜

【分析】既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，

求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何

答案第2页，共47页

取。

【详解】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0,简记（0,0）；因为甲至少取1根火柴，

所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的凡种情况是（1,0）,（2,0）（1,1）；要想乙

留给甲上述情况，甲应该留给乙Q,2）；再往前逆推，当甲留给乙（3,5）时，无论乙怎

样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1,2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2

根，留给乙（3,5）,甲必胜。

答：甲会获胜。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来

分析问题。

8.北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉；运费最少9700元

【分析】北京、上海的16台机器要全部发往武汉、西安，从北京给西安多发I台机器要多

付运费100元，而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元，所以应尽量把北京的产品

运往西安，而西安只要5台，于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全

部调往武汉。

【详解】北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉；

总运费：

600x5+500x5+700x6

=3000+2500+4200

=9700（元）

答：最少需要运费9700元。

【点睛】本题考查的是调运统筹优化问题，也可以设北京发往武汉的数量为未知数，表示出

发往其它各地的数量，表示出总费用，然后求出总费用的最小值。

9.13分钟

【分析】首先要确定赶牛的顺序,小明把牛赶到对岸还要回来,所以要选跑得快的牛来回走。

【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短：

第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：2+1=3（分钟）；

第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了6+2=8（分钟）；

第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟；

所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用3+8+2=13（分钟）。

答：最小要用13分钟。

答案第3页，共47页

【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。

10.见详解

【分析】因为每次至少报1个数，最多报4个数，那么可以根据对手报数的情况，使得每一

轮报数的和都是5,而30恰好是5的倍数，6轮游戏结束。

【详解】后报的获胜，根据对方报了几个数，自己报的和对方加起来是5就可以了，这样就

一定能保证最后剩下5个数，由于对方最多只能报4个数，所以就能获胜了。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，首选要判断先手还是后手，然后再确定具体的获胜

策略。

11.14分钟

【分析】因为6头牛过河，每次只能赶3头牛，所以需要三次；

骑甲赶戊和己，再骑甲回，需6+1=7分钟；

再骑甲赶丙和丁，再骑甲回，需4+1=5分钟；

最后骑甲赶乙需2分钟；

把以上时间加起来即可得把6头牛都赶到对岸去的最少时间。

【详解】6+1+4+1+2

=7+44-1+2

=11+1+2

=12+2

=14（分钟）

答：要把6头牛都赶到对岸去，最少要14分钟。

【点睛】此题要抓住回来的路上，尽量骑着用时少的牛回来，才能使来回的路上所用的总时

间最少，再根据每头牛过河的时间及所用的时间差进行搭配是完成本题的关键。

12.10000元

【分析】由于各粮库之间的距离相等都是100千米，一般原则是“少往多处靠“，集中存在粮

食较多的库房比较节约；乙、丙两仓库粮食合起来是30吨，还不如甲粮库的粮食多，所以

应将乙、丙粮库的粮食集中放在甲粮库。

【详解】2x10x100x1+2x20x100x2

=20x100+40x100x2

=2000+4000x2

答案第4页，共47页

=2000+8000

=10000（元）

答：最少要花费10000元。

【点睛】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量

小路程近，花费的费用就少。

13.22分钟

【分析】骑乙赶丙，骑乙回：3+2=5（分钟），再乙骑赶丁，骑乙回：8+2=10分钟；再

骑乙赶甲过河不回，需7分钟。据此解答。

【详解】最少需要的时间是：

3+2+8+2+7=22（分钟）

答：最少需要22分钟。

【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多

的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。

14.3500元

【分析】由于各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”，集中存在粮

食较多的库房比较节约；甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以

应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。

【详解】1x10x50x3+1x20x50x2

=10x50x3+20x50x2

=500x3+1000x2

=1500+2000

=3500（元）

答：最少要花3500元运费才行。

【点睛】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量

小路程近，花费的费用就少。

15.18分钟

【分析】先骑甲马把乙马赶过河，再骑甲马回，需3+2=5分钟；再骑丙马赶丁马过河，骑

乙马回，需7+3=10分钟；再骑甲马赶乙马过河不回，需3分钟。据此解答。

【详解】3+2+7+3+3

=5+7+3+3

答案第5页，共47页

=12+3+3

=15+3

=18（分钟）

答：最少需要的时间是18分钟。

【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多

的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。

16.8分钟

【分析】在架子上同时放两个烧饼，烘3分钟后，把第一个翻过来，拿下第二个，再放上去

第三个，过2分钟去下第一个，再过1分钟，把第三个翻过来，再把第二个放上去，过2

分钟全部取下，把所用时间加起来即可。

【详解】34-2+1+2=8（分钟）

答：至少需要8分钟。

【点睛】根据“烙三张饼的最佳方法”解答。

17.首先让两个计时器同时开始计时.

在7分钟计时器中的沙子漏完的时候，将它翻转过来.当10分钟计时器中的沙子漏完的时

候，也将它翻转过来.但当7分钟计时器中的沙子再次漏完时，不动它，这时将10分钟计

时器翻转过来.当10分钟计时器中的沙子再次漏完时，总共就是18分钟了.

【详解】2x7+4=18（分钟）

（注：沙漏是中国古代的一种计量时间的仪器.它根据流沙从容器的一部分漏到另一部分的

数量来计量时间.）

18.835

【详解】注意到1,4,7,10……10000形成一个公差为3的等差数列,每个数都除以3余1,很

明显1x4x7x10……xl0000的乘积中质因数2的个数比质因数5的个数多.所以末尾有多少

个连续的零由质因数5的个数决定.在这串数中被5整除的相邻的两个数相差5x3=15；

则这样的数共有10,25,40,...10000.共有：

（10000-10）4-15+1

=9990+15+1

=666+1

=667（个）；

其中能被25整除的数有：（10000-25）+75+1=134

答案第6页，共47页

其中能被125整除的数有:(10000-250)+375+1=27

其中能被625整除的数有：(10000-625)7875+1=6

其中能被3125整除的数有：6250一个

所以乘积末尾零的个数为667+134+27+6+1=835,

故答案为835.

19.至少需要30分钟最迟7时起床

【详解】略

20.车站应该建在D学校，最短为220000米。

【分析】站点最好设在人数比较多的学校门口，即学校E的门口，但其处在路的末端，所

以不合理，只能选中间C、D两个学校，然后计算距离即可作出判断。

【详解】站点设在C门口，

200x200+300x100+500x100+600x200

=40000+30000+50000+120000

=240000(米)

站点设在D学校的门口，

200x300+300x200+400x100+600x1(X)

=60000+60000+40000+60000

=220000(米)

因为240000米>220000米，

所以车站应该建在D学校，最短为220000米。

【点睛】本题考查了优化问题中的最短路程问题，关键尽量把站点选在中间，并且尽量靠近

人数多的单位。

21.18分钟

【分析】从A到B有很多条路可以选择，因此要抓住关键点C。从A到B的道路如果经过

C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条

最省时间的，即CFB。因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起

来的，即AGCFB,它的总时间是18分钟。

剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB,看那个更省时间。

不经过C点的道路只有两条：①ADHFB,它需要20分钟；②AGIEB,它也需要20分钟。

所以，从A到B最快需要18分钟。

答案第7页，共47页

H82B

【详解】要抓住关键点C.从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一

条最省时间的，即AGC；

从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFBo

因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB0

它的总时间是5+1+10+2=18（分钟）。

剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB相比，看那个更省时间。

不经过C点的道路只有两条：①ADHFB,它需要4+6+8+2=20（分钟）；

②AGIEB,它也需要5+3+4+8=20（分钟）。

所以，从A到B最快需要18分钟。

答：小悦从A出发走到B最快需要18分钟。

【点睛】本题在应用数学中有个专门的名称，叫做“最短路线问题最短路线问题在交通运

输，计划规划等许多方面都有广泛的应用。在实际问题中，道路图往往很复杂，要找出从A

到B的所有路线是很困难的。因此，象上面这样的转化方法，就十分必要了。

22.答案见详解

【分析】先分别算出20箱装、3箱装和1箱装时每箱的单价，比较单价的大小，尽可能多

买单价低的，即可解答。

【详解】20箱装的每箱：500+20=25（元）

3箱装的每箱：80+3M26.7（元）

1箱装的每箱：28元

25<26.7<28,所以尽量买20箱装的，再买3箱装的，最后买1箱装的。

①买46箱：先买2件20箱装的，再买2件3箱装的。

②买50箱：先买2件20箱装的，再买3件3箱装的，最后再买1件1箱装。

答：买46箱可以这样买，先买2件20箱装的，再买2件3箱装的；买50箱可以这样买，

先买2件20箱装的，再买3件3箱装的，最后再买1件1箱装的。

【点睛】此题主要考查了最优化问题，解题关键是尽量多选择单价低的方案。

23.租5辆大巴，2辆中巴；6500元

答案第8页，共47页

【分析】先计算出大巴、中巴平均每人多少钱，然后比较，哪一种便宜就尽量多租便宜的车

型，余下的人坐另一种车型，并且尽量使每一辆车都坐满才最省钱，总人数除以每车坐的人

数，得到的商就是坐该种车型的辆数，余数就表示还有多少人，从而推算出租另一种车型的

辆数。

【详解】大巴：1000+40=25（元/人）

中巴：750+25=30（元/人）

25<30,因此尽量租大巴；

248+40=6（辆）...8（人）

可租6辆大巴、1辆中巴；

1000x6+750

=6000+750

=6750（元）

余下8人租一辆中巴剩座多，可考虑少租一辆大巴；

248-（6-1）x40

=248-5x40

=248—200

=48（人）

48+25=1（辆）...23（人）

可租5辆大巴、2辆中巴；

1000x5+750x2

=5000+1500

=6500（元）

6750>6500

答：租5辆大巴，2辆中巴最省钱；其租金至少要6500元。

【点睛】租车优化问题首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较多又接近满座，可以考

虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车。

24.（1）师生全部坐小船一共需要多少钱？

（2）大船6条，小船2条，共可坐36人，没有空位，共需30x6+21x2=222（元）

【分析】（1）四（1）班34名同学和2名老师去划船，34+2表示总人数，3表示每船可以

坐3人，据此可以得出所有人坐的是小船。据此解答。

答案第9页，共47页

（2）租此船金额+限乘人数=租此船每人需要的钱，以此计算并比较要使租船最省钱，则应

尽量租最便宜的一种船，并使每条船都没有空位，然后用总人数除以最便宜的一种船型的限

乘人数，再根据计算出的结果算出最省钱的租船方案即可。至少要花多少钱=每条大船的价

钱x租大船的条数+每条小船的价钱x租小船的条数，据此解答。

【详解】（1）根据算式：（34+2）+3x21=252可知，34+2表示总人数，3为小船限乘人数，

21为小船的价钱，故能解决：“师生全部坐小船一共需要多少钱？”的问题。

（2）30+5=6（元/人）

21+3=7（元/人）>6（元/人），所以租大船便宜。

34+2=36（人）

36+5=7（条）……1（人）,所以大船要租6条，多出来的1人租小船要租1条，这样的方

案有空座位，所以考虑少坐一条大船，改做小船。

36+5=6（条）……6（人），所以大船要租6条

6+3=2（条），所以小船要租2条，且没有空座位。

共需：30x6+21x2

=180+42

=222（人）

答：大船6条，小船2条，共可坐36人，没有空位，共需222元。

【点睛】此题考查的是优化计算问题，要使租船最省钱，应尽量租最便宜的一种船型，并且

使每条船都坐满。

25.猪八戒消灭56只小妖；沙僧消灭10只小妖才能最省馒头

【分析】先分别求出沙僧和猪八戒每次消灭1只小妖要吃多少个馒头，得出猪八戒一次消灭

1只小妖最省馒头；然后将66拆分成含有5和8的乘加算式，即可得出答案。

【详解】沙僧：30