2024年中考数学总复习专项培优训练-专项九 角平分线问题

专项九角平分线问题

关键词角平分线

思路1:角平分线+垂线出全等

结论：如图，aPBDgZ^PBE.

連驾邀训筑

1.如图，在aABC中，AO是NBAC的平分线，ZC=90°,BC=6,BD=4,则点。到直线

AB的距离是.

A

c\^＞第1题）

2.如图，在四边形A3CO中，ZBAD=\20°,ZC=60°,8。平分NABC.求证：AD=CD.

思路2：角平分线十垂线出等腰

结论：如图，4ABN为等腰三角形.

國轆洲蘇：

3.如图，ZiABC的面积为10,点P为△ABC内一点，BP平分NABC,AP±BP,求APBC的

面积.

A

（第3题）

4.如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,AO是N84C的平分线，过点B作BE丄厶

交AO的延长线于点E.求证：AD=2BE.

（第4题）

思路3：角平分线+平行线出等腰

B

方法指导：如图，AB〃CD,CE平分NACD交AB于点E,则可得^ACE为等腰三角形.

通型题训级

5.如图，在AABC中，D,E分别是边A8,AC的中点，连接OE,NABC的平分线交。E于

点、F.

(1)若AB=8,BC=\2,求EP的长;

(2)连接AR求证：ZAFB=90°.

（第5题）

6.如图，在AABC中，CO平分NACB交AB于点。，DE〃AC交BC于点、E,DF//BC交AC

于点日求证：四边形OECF是菱形.

（第6题）

思路4：出现角平分线可考虑构造全等.

瘓繭训黎

J-Sjj—

7.如图，在AABC中，NA=2NB,CO平分NACB交4?于点D求证：BC=AD+AC.

（第7题）

答案

1.2

2.证明：如图，过点。作OE丄于E,作OE丄BA,交的延长线于点F.

%-----一一。

工

BEC（第2题）

•.•点D在NABC的平分线上，，DE=DF.

VZBAD=120°,/.ZDAF=60°,

AZDAF=ZC.

■:DEIBC,DF±AF,

.*.ZF=ZDEC=90°,

/.△ADF^ACDE,

/.AD=CD.

3.解：如图，延长AP交8C于D

A

B。c(第3题)

'.•BP平分/ABC,.,.ZABP=ZDBP,

TAP丄BP,/.ZAPB=ZDPB=90°.

在AABP和ADBP中，

NABP=NDBP,

BP=BP,

NAPB=NDPB,

.•.△ABPg/\DBP(ASA).

/.AP=DP,SAPBA=SAPBD.

*,•易得SAPCA=SAPCD,

SAPBC=SAPBD+SAPCD=；S△ABC=5.

4.证明：如图，作AC、BE的延长线，交于点F.

•；BE丄AD,

.,.ZAEB=ZAEF=90°,

•,.ZCAD=90°-ZF,

VZBCF=180o-ZACB=90°,

/.ZCBF=90o-ZF,

.•.ZCAD=ZCBF,

在AACD和"CF中，

VZCAD=ZCBF,AC=BC,ZACD=ZBCF=90°,

/.△ACD^ABCF,/.AD=BF.

：AD平分NBAC,

.".ZFAE=ZBAE,

又•:ZAEF=ZAEB,AE=AE,

.,.△AEF^AAEB,

，EF=BE,，AD=BF=2BE.

5.(1)解：：。，E分别是AB,AC的中点，

：.DE是AABC的中位线，

：.DE〃BC且DE*BC,

'：BC=12,：.DE=6.

；BF平分NABC,NDBF=ZCBF,

,JDE//BC,:.NDFB=/CBF,

：.ZDBF=ZDFB,

：.DF=BD=^AB=^x8=4,

：.EF=DE-DF=6-4=2.

(2)证明：由(1)可知=BD=AD,

•:AD=DF,：.ZDFA=ZDAF.

设NO»l=a,则/B。/=NO阴+ND4R=2a,

,:BD=DF,

180°-ZBDF180。-2a

=

ZDFB=ZDBF=290°-ot,

：.ZDFA+ZZ)FB=a+(90°-a)=90°,即ZAFB=90°.

6.证明：如图.

A

BEC(第6题)

•.•DE〃AC,DF〃BC,二四边形DECF为平行四边形.

•.•AC〃DE,Z2=Z3.

•..CD平分NACB,.*.Z1=Z2,.*.Z1=Z3,

/.DE=EC,平行四边形DECF为菱形.

7.证明：在8C边上截取EC=AC,连接OE,则BC=BE+EC.

•.•CO是NACB的平分线，

:./DCE=ZDCA.

(EC=AC,

在ACOE和△COA中，5/DCE=ND