线性代数方程组的迭代解法

关于线性代数方程组的迭代解法§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页,共25页，2024年2月25日，星期天如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页,共25页，2024年2月25日，星期天二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。

G-S迭代法的分量形式：第4页,共25页，2024年2月25日，星期天例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：Jacobi迭代格式第5页,共25页，2024年2月25日，星期天G-S迭代格式计算结果取初值Jacobi迭代法

要求精度迭代次数

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程组的近似解第6页,共25页，2024年2月25日，星期天

G-S迭代法的迭代矩阵：计算结果Gauss-Seidel迭代法

要求精度迭代次数

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程组的近似解取初值由迭代公式迭代矩阵第7页,共25页，2024年2月25日，星期天三、Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性Jacobi迭代法收敛的充要条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是推论1：Jacobi迭代法收敛的充分条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是

如例1：利用J和G-S迭代法求解方程组第8页,共25页，2024年2月25日，星期天Jacobi迭代矩阵系数矩阵第9页,共25页，2024年2月25日，星期天Gauss-Seidel迭代矩阵第10页,共25页，2024年2月25日，星期天设满足称为严格对角占优矩阵如果且至少有一个严格不等式成立，则称为弱对角占优矩阵。设，如果能找到排列阵，使得其中与均为方阵，称为可约的否则称为不可约的第11页,共25页，2024年2月25日，星期天例如：矩阵是可约的若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为（*）式，从而可以将方程组简化为低阶方程组。第12页,共25页，2024年2月25日，星期天（补充:可约矩阵的等价定义）是可约矩阵，当且仅当存在一个下标的非空子集，使得例如：矩阵矩阵不可约第13页,共25页，2024年2月25日，星期天如果严格对角占优，则，且非奇异。如果不可约且弱对角占优，则，且非奇异。自己看证明：

首先证明设由条件：是弱对角占优，交换的第k、n行与k、n列，则矩阵变为与不可约矛盾！第14页,共25页，2024年2月25日，星期天

其次证明是非奇异的设则存在非零向量满足定义下标的集合且令对某个j显然J非空，否则第15页,共25页，2024年2月25日，星期天对，有由此可知，当时，但对于都有所以否则与弱对角占优矛盾！与不可约矛盾第16页,共25页，2024年2月25日，星期天如果为严格对角占优或为不可约且弱对角占优矩阵，则求解方程组的J法和G-S法均收敛。证明：仅给出不可约且弱对角占优矩阵G-S法的证明只要证明，其中设有一个特征值，满足，且有

是不可约且弱对角占优矩阵，由定理6.8：第17页,共25页，2024年2月25日，星期天因此注意到和的零元素和非零元素的位置完全一样，故是不可约也是弱对角占优矩阵矛盾！如果为严格对角占优矩阵，易证其中为J法的迭代矩阵第18页,共25页，2024年2月25日，星期天如果是对称矩阵，且有正的对角元，则求解方程组的J法收敛的充要条件是矩阵和均为正定的，其中证明：记其中迭代矩阵矩阵和相似，故有相同的特征值；且、、对称第19页,共25页，2024年2月25日，星期天必要性设J法收敛，则记的特征值为，则的特征值为所以是对称正定的。对而矩阵是对称正定的同理可证第20页,共25页，2024年2月25日，星期天矩阵的正特征值均小于1充分性因为正定，所以也是正定矩阵，且其特征值全部大于零。所以的特征值均小于1矩阵和相似，故有相同的特征值，且特征值均小于1。第21页,共25页，2024年2月25日，星期天如果是对称正定矩阵，则求解方程组的G-S法收敛。证明见定理6.13注：如果是对称正定矩阵，则求解方程组的G-S法收敛，而J法不一定收敛。例2：判定用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性：第22页,共25页，2024年2月25日，星期天解：是正定矩阵所以G-S法收敛；J法的迭代矩阵为计算特征值：