2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题2(含解析)

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

[x=1—3//、

1.参数方程Jy=_1+4/(/eR)所表示的直线的斜率为.

【正确答案】

将直线的参数方程化为普通方程，进而可求得所求直线的斜率.

【详解】在参数方程]r：二[_；3：,4卅eR)中消去参数「可得以+3k1=0,即y=-$+；.

因此，所求直线的斜率为-g4.

4

故答案为§

2.已知曲线C的极坐标方程为0=4cos。，则该曲线的直角坐标方程为.

【正确答案】x2+/-4r=0

【分析】将夕=4cosO的两边同乘。，再根据X=pcos。/=psin6得到的关系式，即为C

的直角坐标方程.

【详解】因为0=4cos6>,所以p2=4pcos<9,且x=0cose,y=0sin。，

所以x2+V=4r,即为/+/-4x=0,

故答案为.一+必-4x=0

3.已知椭圆1+1=1与双曲线或=1有共同的焦点，则机=____.

2516加5

【正确答案】4

【分析】求出椭圆的焦点，再解方程3=而？，即得解.

【详解】解：由题意得椭圆的焦点为(-3,0)和(3,0),

所以3=y/m+5,所以，"=4.

故4

4.已知直线/经过点/(-2,3),且它的倾斜角等于直线夕=x的倾斜角的2倍，则直线/的方

程为

【正确答案】x=-2

【分析】求出直线y=x的倾斜角，从而可求得直线/的倾斜角，即可得解.

【详解】解：直线歹=x的倾斜角为彳7T，所以直线/的倾斜角为7T

所以直线/的方程为x=-2.

故x=-2

5.若A为椭圆会+卷=1上的点，耳、g为椭圆的左右焦点，则△4石鸟的周长.

【正确答案】18

【分析】由椭圆的定义可知△羽5周长为|/用+|/周+|百$=%+力，进而得解.

【详解】椭圆《+乙=1中，a=5,6=3,c=4,

259

由椭圆的定义可知△阳6周长为|/耳|+以周+叩矶=勿+加，

a居的周长为2a+2c=10+8=18,

故18.

6.抛物线/=2px上一点。（1,〃?）到抛物线焦点的距离为5,则实数机=.

【正确答案】±4

【分析】根据焦半径公式，可求出。=8,从而得到抛物线方程，把点。代入抛物线方程即

可求出加的值.

【详解】由题意可知抛物线的焦点在x轴上，且p>0,

因为抛物线V=2px上一点。（1,加）到抛物线焦点的距离为5,

所以根据焦半径公式，得1+，=5,所以p=8,即/=i6x,

因为点。（LM到抛物线上，所以/=16,所以根=土4.

故答案为.±4

7.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为

轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记

地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最

远距离与最近距离之比为2,则C的离心率为

【正确答案】1

【分析】设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2a,进而得二=2,再根据离心率公式计算即

a-c

可.

【详解】解：根据题意，设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2a,

所以地球轨道与太阳中心的最远距离为a+c,最近距离为a-c,

所以空£=2,即“=3c,e=-=-

a—ca3

故C的离心率为:

8.已知圆的方程为/+必-丘-2夕-公=0,则当该圆面积最小时，圆心的坐标为

【正确答案】(0,1)

【分析】将圆的方程化成标准形式，求出圆心及半径即可分析计算作答.

【详解】依题意，圆的方程化为：。-人)2+3-1)2=工+1,于是得该圆圆心©,1),半径

242

5k2

因此，该圆面积5=万/=万(十+1)2%，当且仅当左=0时取"=",

所以当该圆面积最小时、圆心的坐标为(0,1).

故(0,1)

9.实数x，y满足x|x|+HM=l,则点(x,y)到直线x+y+l=0的距离的取值范围是_.

【正确答案】(也,1+立]

22

分段讨论去绝对值判断出X|X|+MM=1表示的图形，可得出x|x|+M1=1表示的图形在

y=-x和x+y-0=O之间，利用平行线间距离公式即可求出.

【详解】实数x/满足小|+切吊=1,

当xNOjNO时，方程为，+/=1,表示一段圆弧，

当x20j<0时，方程为--/=],表示双曲线的一部分，

当x<0jN0时，方程为彳2=1,表示双曲线的一部分,

当x<0,y<0时，方程为不表示任何图形,

画出X|M+HM=I表示的图形,

可知双曲线的一条渐近线为V=-X,和x+y+l=O平行,

设和x+y+l=O平行且和圆/+产=1在第一象限相切的直线为x+y+

则即,

解得a=-V2，

可得x|x|+v3=l表示的图形在y=-X和x+y—啦=0之间,

则了=-%和x+y+l=O的距离为J==e，

V22

x+y—啦=0和x+y+l=O的距离为=i+变，

V22

则结合图形可得点*,y)到直线x+y+1=0的距离的取值范围是与』+与.

(历5

故答案为.+

本题考查解析几何的综合问题，解题的关键是得出x|x|+My|=i表示的图形，数形结合可求

出.

10.已知双曲线c：^--乙=1的左焦点为尸，点”在双曲线c的右支上，“(0,4),当

88

的周长最小时，尸的面积为.

【正确答案】12

△的周长为|4例+的尸|+|/百，其中厂|=4五为定值，所以即求+利用定

义可得阿丹=阳广|+4返,所以周长为|跖<+|MF|+80,作图当M、A、F三点共线时周

长最短，利用面积分割求得面积.

【详解】如图，设双曲线C的右焦点为尸.由题意可得a=20,尸(-4,0),F(4,0).

因为点M在右支上，所以尸|=助=4五，所以眼尸|=四尸|+4>/1,则的周

长为

+M尸|+|/尸|=.|+忖尸|+80H尸+8层12/,

即当Af在"'处时，△A//F的周长最小，此时直线4尸'的方程为y=-x+4.

y=-x+4

联立/牛,整理得尸1=0,则加=1,

-=1

88

故△〃箱的面积为:|尸尸||。同-；|尸尸'aM=gx8x(4-D=12.

故12

本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.

方法点睛：(1)双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的

距离.

(2)圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.

11.“康威圆定理''是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：

如图，/8C的三条边长分别为3C=a,/C=6,/8=c.延长线段C/至点4,使得力4”，

以此类推得到点4,4，鸟,。1和G，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知

a=4,h=3,c=5,则由/8C生成的康威圆的半径为

利用弦长相等，|4Q|=|4周=|&cj,圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角“sc的

内心，从而易求得圆半径.

【详解】设M是圆心，因为|4G|=|4周=|层G],因此v到直线HB,8C,C4的距离相等，

3+4-5

从而M是直角/8C的内心，作于N,连接/饮3,贝|JMN=CN=---=1,

7VC,=1+5=6,

所以MC?=>/12+62=737.

故历.

关键点点睛：本题考查求圆心的半径，关键是找出圆心位置，解题根据是利用弦长相等，则

圆心到弦所在直线的距离相等，从而得出圆心是题中直角三角形内心，这样由勾股定理可得

结论.

12.如图，耳、鸟是椭圆G与双曲线G的公共焦点，48分别是C、在第二、四象限

的交点，若乙4与8=H，则G与G的离心率之积的最小值为.

【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式

进行求解即可.

【详解】设椭圆方程为一+广=l(a>b>O),tz2—R=d,

双曲线方程为工■-与=1(〃?,〃>0),/+/=c2，

mn

如下图，连接/用、£8,所以4耳88为平行四边形,

由4尸田=卷得乙取心=1,设忻4|=s,|，g|=r,

在椭圆中，由定义可知：s+f=2a,

由余弦定理可知：

4c2=$2+/2-25ZCOS—=>4c2=/+*-sf=(s+r>-3s，=>sf=3〃，

3v73

.1,百一百二

S=—•st,—=—b,

好pA他F223

在双曲线中，由定义可知中：：t-s=2m,

由余弦定理可知：

4c2=$2+/-2sEcos§=4/=S?+/-SE=a-s)~+sz=>SE=4",

2

SFAF=-'St-=y/3n,

卜lA卜222

22

所以SFAF~=V3/?=>=3n,

F\AF23

/=392_明=百!=422囱詈，当且仅当4=届时取等号,

所以互2且,

ma2

所以G"的离心率之积的最小值为季

故也

关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键.

二、单选题

13.直线®-y-l=O与直线x-岛=0的夹角为（）

7T—兀—兀_5兀

A.—■B.-C.-D.—

6326

【正确答案】A

【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角.

【详解】两直线的斜率尢=石，&=4，因为直线倾斜角范围为［0,兀）

则4=枭TT=T%T

3o

故两直线夹角

366

故选：A.

14.已知点M（2,0）,点P在曲线/=4x上运动，点厂为抛物线的焦点，则舞上;的最小

1^1-1

值为（）

A.拒B.2（V5-1）C.475D.4

【正确答案】D

如图所示:过点尸作/W垂直准线于N,交》轴于。,则|PF|-1=|PM—1=|PQ|,设P（x,y）,

2

x>0,则I为PM4I=x+4?，利用均值不等式得到答案•

\PF\-\x

【详解】如图所示：过点尸作PN垂直准线于N,交y轴于。，则仍/卜1=|附卜1=帜。|,

|PV『(x-2『+y2(X-2)2+4)4,

设尸(x,y),x>0=x+—>4,

\PQ\xxx

4

当％=一,即K=2时等号成立.

x

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15.设点若在圆。:/+/=1上存在点可,使得NOMN=45°,则%的取值范围

是（）

A.[0,1]B.[-1,1]C.一当当D.[o,*]

【正确答案】B

【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN与圆。有公共点即可，从而可以断定圆心

。到直线的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果.

【详解】依题意，直线与圆。有公共点即可，

即圆心O到直线的距离小于等于1即可，

y

J______

过O作垂足为4

在氏△OM4中，因为NOM4=45°,

故|O/|=QMsin45。=^—\0M\<\>

所以|。〃|《正，则“。2+14应,

解得TWXoWl.

故选：B.

该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形,

属于简单题目.

16.已知椭圆C:1+V=1的左顶点为A,过点7（1,0）作不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C于

点〃,N两点，直线与直线x=l分别交于P,0,下列说法正确的是（）

A.|研+|7。|为定值B.忙尸|-|7。1|为定值

C.|明・|咽为定值D.焉+谓为定值

【正确答案】C

【分析】设直线/的方程为y=Mx-l）,〃a，x）,N（X2，%）,联立直线与椭圆方程可得

士+匕=卫=百々="二，利用直线方程可得3』，，芈;］，则可求得

1

'-1+4/-1+4/（x,+2j（X2+2J

\TP\+\TQ\,||7P|-|rc||,\TP\-\TQ\,图+黑的值，从而可得答案.

【详解】解：由题可设直线/的方程为夕=左（、-1）,〃（占,必）、可々,必）,

8k24-一4

2-4=0,所以芭+々=

1+4/''-1+4公

+2),令》=1,得力=卷,所以小

则方程y=

所以

"I+陷=闻J碧一77^-1=|：*'+?-4“U+4后J{\+4k2J43k2+1

4k2-4,~8p—F

-------+2x-------+4

l+4k2r1+4/

对—+]

9%打L|9*2-(X]+：(1+4/1+4/73

\TP\-\TQ\=

(x,+2)(%,+2)|X|X+2(x,+x4r-4.兢rr4一

22-------亍+2x-----+4

1+4/1+4/r

4/-4,8k2八

3k[2x^2+(工i+X2)-町(1+4&2l+4k2)'

117PH啕卜3%।3%1-_

玉+2Xxx+21[+W)+44k2-4、8kz

2+212--+2x--^-+4

1+4加2"i+4〃-

)3左2+13

叫四=附+附=(|7。|+|巾|)「一2|7。卜|阳=工--2x4=^J_

\TQ\\TP\"[70|・pP|"72卜|叫一2一3公

4

则只有|「叩「。|为定值.

故选：C.

三、解答题

17.已知直线4：2x+y-3=0.

(I)若直线4与直线4垂直，且过点(I，I)，求直线的方程.

⑵若直线4与直线/：办-2'+1=0平行，求直线4与/的距离；

【正确答案】⑴x-2y+l=0

⑵*

【分析】(1)由直线与直线4垂直，求得勺=；,结合直线的点斜式方程，即可求解；

(2)由直线乙与直线/平行，求得“=T,得到4x+2y-l=0,结合两平行线间的距离公式,

即可求解.

【详解】(1)解：由直线4：2x+y-3=0,可得先=一2,

因为直线。与直线4垂直，所以占沟=T,可得

又因为直线4过点。，1)，可直线4的方程为_V-l=g(x-l)，即x-2y+l=0,

所以直线％的方程为》-2夕+1=0.

(2)解：因为直线4与直线/：如-2了+1=0平行，可得］=解得q=_4,

即直线/与直线一4x-2y+l=0,即4x+2y-l=0,

又由直线4：2x+y-3=0,可化为4x+2y-6=0,

所以直线4与/的距离”=字空=亭即直线4与/的距离率

18.在平面直角坐标系工。y中，已知Z8C的顶点坐标分别是4(0,0),8(3,3),C(l,-石)，记

/8C外接圆为圆〃.

(1)求圆M的方程；

(2)在圆M上是否存在点P,使得|尸城-|尸4『=12?若存在，求点P的个数；若不存在，说

明理由.

【正确答案】(1"+「-&=0；

(2)存在；点P有两个.

【分析】（1）设出圆的一般方程，根据4民C三点均在圆上，列出方程组，即可求得圆方

程；

（2）根据题意，设出点尸的坐标，根据点P满足的条件以及点P在圆上，将问题转化为直

线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】（1）设/8C外接圆M的方程为*2+/+外+坊+尸=0,

尸=0伊=-6

将4（0,0）,8（3,3）,C（l,-逐）代入上述方程得：-£>+£+6=0,解得，E=0

D-45E+6=0忻=0

则圆M的方程为X?+/-6x=0.

（2）设点P的坐标为（x,y）,

因为|尸砰-|尸4「=12,所以（》-3）2+3-3）2-/-『=12,

化简得.x+y-l=0

因为圆〃的圆心M（3,0）到直线x+y—1=0的距离为4=护9=应<3

所以直线x+y-1=0与圆例相交，故满足条件的点P有两个.

19.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为

保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5

（1）以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）,

求该抛物线的方程；

（2）若行车道总宽度Z8为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？

【正确答案】(I)x2=-5y(-54x45)；

Q)4.0米.

【分析】(1)设出抛物线方程，根据点。(5,-5)在抛物线上，代入即可求出抛物线方程：

(2)设车辆高为，米，根据点。(3.5,/?-6.5)在抛物线上，求出6的值，从而可求出限制高

度.

【详解】(1)根据题意，设该抛物线的方程为/=-2朗(0>0),

由图可知点C(5,-5)在抛物线上，所以25=10。，即p=g,

所以该抛物线的方程为V=-5y(-54xM5).

(2)设车辆高为〃米，则|£>却=/?+0.5,故。(3.5,〃-6.5),

代入方程/=—5y,解得人=4.05,

20.我们把等轴双曲线的一部分G：；]:Ka>0j*0)与半圆。2：/+/=/340)

合成的曲线称作“异型曲线c’其中a是焦距为2丘的等轴双曲线的一部分，如图所示.

⑴求“异型”曲线C的方程；

(2)若/(0,p)(p>0),。为“异数”曲线C上的点，求|P0|的最小值;

(3)若直线l-.y=kx-\与“异形”曲线C有两个公共点，求k的取值范围.

【正确答案】⑴/73=1

(2)|PQL.=J+；p2

(3){-扬[-1,0)(0,1]{&}

【分析】(1)根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出a/,c,从而可求出G

和G的方程，进而可求出曲线C的方程：

(2)设。(X,y),分y40和y>0两种情况，分别求出归。「的表达式，进而求出两种情况的

最小值，比较二者大小，可得出答案.

(3)分々=0、0<%41和后>1三种情况，分别讨论直线/号=丘-1与G、C?的交点情况，

可求出时，满足题意的”的取值范围，再结合“异型”曲线C的图象关于轴对称，可求

出发<0时，满足题意的人的取值范围；

a=b

I—ci=b=\

【详解】(1)由题意，可知G满足2c=2五,解得厂,

2,r22C=\12

a+b=c

2222

：.C,:x-^=l(j^>0),C2:x+_y=l(^<0),

“异型，，曲线C的方程为f-y\y\=l.

(2)设。(x,y),则

当y40时，\PQ^=x2+(y-pf=^+y1+p2-2py=\+p2-2py,

V-l<j/<0,p>0,.•.当y=0时，|P0mM=Jl+,2：

当y>0时，

2>22222

\PQ^=x+(<y-pf=x+y+p-2py=-初+1+p+^-p+l,

（3）直线=与“异型”曲线。有公共点”（0,-1）.

x2—y2=1（y>0）[x=1[x=—1/、（、

联立22I,八，解得八或八，即G、有公共点81,0、C-1,0

x+y-\[y<G）[y=。（y=0

①当％=0时，直线/：y=-i,与G无公共点，与。2有唯一公共点（o,T），不符合题意;

②当0〈发41时，可知幻3=f二=1,易知直线/号=丘-1与C?有两个公共点，

又：G的渐近线为y=±x，且G中yzo,

.•"：F=履-1与6无公共点.

.•.当0<%41时，直线/：y=Ax-l与“异型”曲线C有两个公共点，符合题意；

③当4>1时，可知《>心8，则直线/：y=H-l与只有一个公共点.

联立X7=1,得（1-公卜2+2b-2=0,易知1—一片0,

y=kx-l、7

若A=4/2-4（I-r）（_2）=0,解得％=±逝，

Yk>l,，k=五,此时/：夕=履-1与G相切于第一象限，只有一个公共点；

若A=442-4（I-r）（_2）>0,解得f<k<6,

•；k>i,:.i〈k（应,易知/与G在第一象限有两个交点.

♦,•左=0时，直线/y=依-1与“异型”曲线c有两个公共点.

根据“异型”曲线C的图象关于y轴对称，

可知当《€卜&｝=[-1,0）时，也满足直线/：y=6-1与“异型”曲线C有两个公共点.

综上所述，k的取值范围是.卜近｝3-1，°）口（°，]k｛坛｝

关键点睛：本题第2问的关键在于分y«o和y>o讨论，利用二次函数的最值，求出各自的

最小值，然后进行比较，再取最终的最小值，第3问的关键在于利用图象的对称性分左=0,

0<左41和%>1进行讨论，要注意直线与渐进线平行是一个交点个数的分界位置，同时不忘

直线与曲线相切时的情况.

21.已知椭圆G:0+*1（0>6>0）经过点且其右焦点与抛物线C2:必=4x的焦

点尸重合，过点尸且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,。两点.

（1）求椭圆£的方程；

（2）设。为坐标原点，线段。尸上是否存在点阳”,0）,使得加♦后二26麟6?若存在，求出〃

的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）过点6（4,0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A,8两点，点B关于x轴的对称点为E,

试证明：直线/E过定点.

【正确答案】（1）—+^-=1:（2）存在，（3）证明见解析.

【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点〃列方程求解。、6,从

而求得椭圆方程；（2）设直线尸。的方程为：y=k（x-l）,k#0,联立直线方程与椭圆方程

可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用左表示出线段尸。的中点做三，

%），根据所给等式可证明直线NH为直线P。的垂直平分线，则可得直线NH的方程，求出

点N的横坐标从而可求得〃的范围；（3）联立直线的方程与椭圆方程可得关于x的一元

二次方程，设力。3，为），B（X“筋），E（X4,-y4）,根据韦达定理求出毛+七、X3X4,求出

直线/E的方程并令y=0,求出x并逐步化简可得x=l,则直线4