福建省百校联考2023-2024学年高三年级上册期中考试数学试题

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（在此卷上答题无效）

2023-2024学年高中毕业班第一学期期中考试

数学试题

2023.11

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.图中的阴影部分表示的集合为（）.

A.ABCB.AB（品。）

C.A（dvB）CD.瓜力BC

2.若Z-Z?为复数，则“Z「Z?是纯虚数”是“ZrZ2互为共物复数”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数"X）=［千三―l）cosx的部分图象为（）.

4.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前

后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75。，冬至前后正午太阳高度角

约为30。，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐48的长度

A.3B.4C.6（73-l）D.3（V3+1）

5.已知数列｛4｝满足a“—a“+i=半产，且出=-1，若q=164，则正整数人为（）.

A.13B.12C.11D.10

6.如图，AB是圆。的一条直径，且|A@=4.C,。是圆。上的任意两点，|C£）|=2.点尸在线段CO上,

则？的取值范围是（）.

A.[-1,2]B.[6,2]C.[3,4]D.[-1,0]

5兀4冗（7T）

7.已知直线“不，》是函数〃x）=4sin|s+qJ（0〉O）图像相邻的两条对称轴，将“力的图

JT

像向右平移7个单位长度后，得到函数g（x）的图像.若g（x）在（-加,加）上恰有三个不同的零点，则实数"2

的取值范围为（）.

8.已知a=e°",b=l.l'A,c=l.ll,则（）.

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设正实数”，6满足。+/?=2,则下列说法正确的是（）.

b2

A.—I—的最小值为3B.必的最大值为1

ab

C.。+班的最小值为2D./+Z?2的最小值为2

10.函数"x）=2sin（0x+°）0>,阚<_|的部分图象如图中实线所示，图中圆C与〃龙）的图象交于M,

N两点，且〃在y轴上，则（).

3兀、

A.函数在一万,-兀上单调递增

B.圆的半径为一，

3

,0）成中心对称

C.函数的图象关于点

202bl2023兀

D.函数/（%）在上单调递减

12,12

11.如图，在长方体ABC。—A4CR，AD=2AB=2AA,=4,E,F分别是棱AO,4Q的中点，点尸

在侧面AADR内，且BP=xBE+yBF（x,ywR）,则三棱锥P-BBjF外接球表面积的取值可能是（）.

C.12兀D.44n

12.已知数列｛4｝满足％=1,%+i=2a”（lna“+l）+l,则下列说法正确的有（）.

A.卫二<5

B.an+l-a1<a1+1

ax+g

3n1(,,

C.若2,则一——<1D.^In(a,+l)<2-l)ln2

4占%+1i=\

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知sin[t+a]=?,且则sin[1—(zj=

14.已知非零向量a,匕满足人=(6,1),(a,b)=］，若(a—人)La,则向量夕在向量B方向上的投影向

量的坐标为.

15.已知数列｛q｝满足g+|^+L+果=〃(“eN*),〃=4(4—1)—川+4”，若数列｛〃｝为单调递增数

列，则/I的取值范围为.

16.法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等

边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点.”在ABC中，A=60°,以AB,BC,AC为边向

外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为。，。2，。3,则/。1人。3=；若。。2。3的面积为世，

则三角形中|A@+|AC|的最大值为.

四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数〃力=占5皿2》+9)+3(2%+9)19|<1：将/(%)的图象向左平移三个单位长度，所

得函数的图象关于y轴对称.

(1)求函数〃尤)的解析式；

JT5

(2)若关于尤的方程/(%)=。在-,—Tl上恰有两个实数根，求实数a的取值范围.

18.已知函数/(x)=lnx-ar+l(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若a=—2,是否存在整数机(机eN*),都有/(x)Wm(x+l)恒成立，若存在求出实数相的最小值，

若不存在说明理由.

H—1

19.设数列｛4｝前〃项和S及满足乂+%=——,〃EN*.

n+n

(1)证明：数列］s'——为等比数列；

(2)记3——sn,求数列-----亭-----J的前〃项和北.

bnn+1［电一1)(%一1”

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，BW为等边三角形，/为B4的中点，？D_LAB,平面从D_L平面ABCD

(1)证明：平面CDM_L平面B4B；

(2)若AD//BC,AD=2BC<4,AB=2,直线网与平面MC。所成角的正弦值为、一,求三棱锥

34

P—MCD的体积.

21.如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FG8C,该曲线段是函数

y=Asin(eyx+^)(A>0,ty>0,^e(0,7i)),xe［T0］的图像，图像的最高点为5(—1,2).边界的中间部

分为长1千米的直线段C。，豆CDIIEF,游乐场的后一部分边界是以。为圆心的一段圆弧。E.

(1)求曲线段FGBC的函数表达式；

(2)曲线段FG8C上的入口G距海岸线最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O,

求景观路GO长；

(3)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区。MP0,平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在

半径0D上，另外一个顶点尸在圆弧DE上，且NPOE=6,求平行四边形休闲区OMP。面积的最大值及此

时。的值.

22.已知函数/(X)=xsinx+cosx.

(1)求/(%)在xe［-兀,兀］的单调区间与最值;

(2)当a>g时，若g(x)=y(x)—gtu?,证明：g(x)有且仅有两个零点.

2023年~2024学年高中毕业班第一学期期中考试

数学评分参考标准

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

12345678

BDCCBDAA

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9101112

ABDCDBCDBCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

、兀

13.—V614.161]J15./Ij'3+sJ16.—2>4

四、解答题：共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：(1)/(x)=A/3sin(2x+^?)+cos(2x+^)=2sin2x+(p+—,

jr

将函数/(x)的图象向左平移1个单位长度后,

所得函数为y=2sin2(1+^+-^=2sin(2x+°+：7i],

57177b兀77〜

(pH—兀=-1~ku9kGZ,cp-------ku,keZ.

623

又Ml<],.“=一1■，二./(x)=2sinf2冗_己).

715c兀兀2兀

(2)VXG一,--71,2%------E.

61266'T

当2<2x—巴《工，即工时，/(x)单调递增;

66263

当卜暇JTSJT

d,即1<X<正时，“X)单调递减.

JT571

•••方程〃£）=a在上恰有两个实数根，

.•.百<。<2,.•.实数。的取值范围为［百,2）.

18.解：（1）*.*x>0,f'（x\=---a,

x

当〃<0,r（x）>o,・・・/（%）在（0,+8）单调递增,

当a>0时，

令r（%）>。,得%<L八%）<。得%>,,

.../（%）在〔0,单调递增,在,+s］单调递减.

综上，aWO时，/（%）在（0,+8）单调递增；

当a>0时，"％）在［。,£|单调递增，在单调递减.

（2）*.*a=—2,/./（x）=lnx+2x+l,

Inx+2%+1

lnx+2x+l<m(x+l),m>-----------

x+1

—+2-Inx

人/、lnx+2x+l，/

令g(x)=r+1，,g(；——L

八十J.(x+l)

令〃(%)=—F2—Inx,/(%)=—-----<0,・，・〃(%)在(0,+8)单调递减.

22

VM(e)=4+2-lne=4+2-2>0

Vt/(e3)=4+2-lne3=4+2-3<0,

'Jee

「・HXQ£(/,/),使得=即F2—Inx0=0,---F2=In%0,

当％£(O,%o),w(x)>0,g，(x)>0,g(x)单调递增，

当X£(%0，+8),〃(x)<o,g〈X)VO,g(x)单调递减,

Inx+2x+12%+3%+1=2।1

•••g(x)而=g(%)=00

5+15+1%(%+1)%

23

Vx0e(e,e),加之3,的最小值为3.

xo

〃一］

19.(1)证明：VS+a=——，且为=_sLN2),

nnn+n

.•.2S,—％=高-32),

s_J_

：.2\S---—小2),

In"n+1n

n

令”=i,可得s=0,s_L=_1

1122

所以数列1S“-——I是首项为-,，公比为L的等比数列.

[n+lj22

n—\

(2)由(1)可得S“———

n+1

11

~b~s〃-9・・・么=2〃,

nT

b“=2"=_L______1

色「1)(%-1)—(2n-i)(2n+1-i)——2«+1-1

20.【解析】(1)取A。中点为N,连接PN,

因为小。为等边三角形，所以

且平面K4D_L平面A3CZ),平面PA。,平面ABCD=A£>,PNu面E4£),

所以PN_L平面ABCD,

又ABu平面ABC。，所以/WLAB,

又因为？D，AB,PNPD=P,PN,PDu平面E4D

所以AB_L平面PAD,

又因为DMu平面B4D所以A3_LDM,

因为M为AP中点，所以。且AB=A,PA,PBu平面P4。,

所以平面B4B,且DMu平面CDW,

(2)由(1)可知，狄，48且？0,43,PNPD=P,

所以AB_L平面B4。，且ADu平面mD,所以AB_LAD,

以A为坐标原点，分别以AB,A。所在直线为x,y轴，建立如图所示空间直角坐标系,

设AD=2a(a<2),则可得

4（0,0,0）,5（2,0,0）,P（0,a,y/3a）,M0二,翌，C（2,a,0）,D（0,2a,0）,

\7

即P3=（2,—a,—岛），DC=（2,-a,0）,DM=0,一一a,—a,

（22）

设平面MCD的法向量为〃=（x,y,z）,

DC-n=2x-ay=0

则DM-n=-—ay+^-az=0

22

则可得'2,_,取y=2,则x=。，Z=25

z=J3y

所以平面MC。的一个法向量为九=1,2,2百卜

设直线PB与平面MCD所成角为8,

所以sind=cos(PB,n)=,——r—=,~/=—j=

'/|叫时J4+4/♦J16+/v3'

解得a?=16,或/=1,即a=4(舍去)或1,

所以AD=2,Vp_MCD=hPMD-\AB\=^xlx^3x2=^-.

21.解:(1)由已知条件，得A=2,

T2兀兀

又・・・一=3,T=—=12,・・・力=—.

4co6

又•:当x=—1时，有y=2sin^--^-+^^=2,*.()-,

...曲线段FBC的解析式为j=2sin^x+y^,xe[-4,0].

(2)由y=2sinx+=1得x=6左+(—1)，一4(左eZ),

又xe[—4,0],.•.左=0,x=—3,；.G(—3,1),OG=M,

景观路GO长为JI3千米.

(3)如图，oc=6CD=I,：.OD=2,ZCOD=-

6

作轴于片点，在Rt^OPq中，尸4=OPsind=2sin。,

OPOM

在△OMP中,

sin120。sin(60°-^))

OPsin(60°-61)4,、

OM----------------------=—r=•sin(60°一。)=2cos0-------sin6,

sin120°6'，3

’2A/3.'

S平行四边形OMPQ=°M-PP-2cos0-------sin8-2sin0

X3

7

=4sin6»cos6»-^sin2^=2sin2^+^cos26>-^

333

4#).-八兀2G，我。

-----sin2。+—4

36亍

当2。+乌=四时，即。=四时，平行四边形面