2023-2024学年灵武市一中高二数学上学期第一次月考卷及答案解析

2023-2024学年灵武市一中高二数学上学期第一次月考卷

试卷总分150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题）一、单选题

1.直线/经过点（2,3）,且倾斜角a=45,则直线/的方程为（）

A.x+y-l=0B.x+y-5=0C.x-y+l=OD.x-y+5=0

2.已知a=-2）,b=（2,4,〃?），且〃//%,则〃z+〃=（）

A.-2B.2C.4D.6

3.如图，空间四边形0ABe中，OA=a,O8=6,OC=c,点M在。4上，且OM=2M4,点N为8c中点,

则MN=（）

4.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A.两条不重合直线4,4的方向向量分别是。=（2,3,—1）,。=（2,3,1）,则/"小

B.直线/的方向向量为。=（1,一1,2）,平面a的法向量为〃=（6,4,-1）,贝

C.两个不同的平面a,力的法向量分别是〃=（2,2,-1）#=（-3,4,2）,则&_L/?

D.直线/的方向向量a=（0,3,0）,平面a的法向量是〃=（0,-5,0）,则/〃1

5.如图所示，在正方体A8CO-A4G。中，E是棱QQ的中点，点F在棱C/。/上，且£＞尸=/1〃0,若

〃平面ABE,则九=（）

6.在正方体488-中，M是线段GR（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（）

A.BD±AMB.平面AB。_L平面ARM

C.MN〃平面ABDD.CM〃平面ABD

7.如图，雨上平面ABC。，四边形ABC。为正方形，E为C£＞的中点，F是4。上一点，当8FLPE时，—

A.1B.1C.2D.3

8.如图所示，正方体A8cO-AqG。的棱长为2,E、F分别是棱BC、CC；的中点，动点尸在正方形8CG用

（包括边界）内运动，若必〃面AEF,则线段PA长度的最小值是（）

A.石B.3C.—D.2g

2

二、多选题

9.已知直线3x+^y-6=0,则该直线（）

A.过点卜,一6）B.斜率为-6

C.倾斜角为60°D.在x轴上的截距为-6

10.空间直角坐标系。-呼z中，已知A0,2,-2）,6（0,1,1）,下列结论正确的有（）

A.AB=（-1,-1,3）B.若机=（2,1,1）,则"必43

C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为（1,-2,2）D.|48|=逐

11.下列命题是真命题的有（）

A.A,B,M,N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A,B,M,N共面

B.直线/的方向向量为。=（1,T2）,直线m的方向向量为方=（2,1,-£|,则/与根垂直

2

C.直线/的方向向量为&=(o,l,-1),平面a的法向量为”=(1,-1,一1),则

D.平面a经过三点4(1,0,-1),8(0,1,0)。(-1,2,0),元=(1,〃,。是平面0的法向量,则〃+r=l

12.如图，在正方体ABC。-AB©。中，E、F、G分别为。。、CD、C&的中点，则()

A.B|E_L平面A£F

B.AG〃平面AEF

C.

D.直线AE与直线AG所成角的余弦值为g

第II卷(非选择题)

三、填空题

13.若直线以+y+l=O与直线3x-y+5=0平行，则实数a的值是.

14.已知空间向量a,h的夹角为三，\a\=2,\h\=3,则|“+2"=

15.如图所示，在棱长为2的正方体A8CO—A/B/C/。中，E是棱CC/的中点，AF=/U»,若异面直线。/E

和A/F所成角的余弦值为逑，则力的值为.

10

16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，4。=1,2,,8)是上底面上其余的

八个点，贝I」集合｛巾=曲”,』,2,3,,8｝中的元素个数为.

3

17.己知三角形的顶点为A(—2,1),8(3,2),C(l,-4).

(1)求8c边上的中线所在直线方程.

(2)求8C边上的高线所在直线方程.

18.已知平行六面体A8CD-AMCQ中，底面ABCD是边长为1的正方形，的=2,N4AB==60。.

(1)求4。「4(7；(2)求卜6|.

19.如图在边长是2的正方体ABCO-AMGR中，E,尸分别为AB,A。的中点.应用空间向量方法求

解下列问题.

⑴证明：EF〃平面A4Q。；

(2)证明：所，平面405.

20.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面43co为直角梯形，AD/7BC,AD1DC,平面SA£>J_平面ABCD,

P为AO的中点，SA=SD=2BC=^AD=1,CD=B

4

(1)求证：SP1AB；

(2)求直线BS与平面SCO所成角的正弦值；

(3)设M为SC的中点，求二面角S—的余弦值.

21.四棱锥P-A8CO的底面是边长为2的菱形，ZDAB=60°,对角线AC与BQ相交于点O,P01底面

ABCD,PB与底面ABCD所成的角为60。，E是PB的中点.

P

(1)求异面直线DE与以所成角的余弦值；

(2)证明：OE//平面以。，并求点E到平面附。的距离.

22.如图，已知平面四边形A8CP中，。为雨的中点，PA1AB,CD//AB,且R1=C£>=2AB=4.将此平

面四边形ABCP沿C。折成直二面角P—DC—8,连接孙、PB,设P8中点为E.

(2)在线段8。上是否存在一点七使得£尸，平面尸8C?若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理

5

1.c

【分析】利用直线的点斜式方程求解.

【详解】因为直线/的倾斜角0=45,

所以直线/的斜率为1,

又直线/经过点（2,3）,

所以直线/的方程为3=x-2,

即x-y+l=O,

故选：C

2.A

【分析】根据空间向量共线定理列式可求出结果.

【详解】因为“/〃?，所以存在实数2使得d=①，

即（1,〃,-2）="2,4,机），

所以（1,〃,-2）=（244/Um）,

1=244-2

所以,得＜〃=2,所以m+〃=-2.

-2=Amm=-4

故选：A

3.B

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

2

【详解】因为。W=2MA,所以OM=2M4，所以

又点N为BC中点,所以CW=g（08+0C）,

I/-\2211

所以MN—ON—0M=—（0B+OC）—0A——ciH—bH—c.

2、'3322

故选：B.

4.C

【分析】对于A,由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B,要考虑直线可能在面内；对于C,由两

法向量垂直可得两平面垂直；对于D,直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.

【详解】对于A,两条不重合直线//的方向向量分别是〃=（2,3,-1）,6=（2,3,1）,

则bH/la，所以。力不平行，即44不平行，故A错误；

对于B,直线/的方向向量。=（1,一1,2）,平面a的法向量是“=（6,4,-1）,

6

则〃•4=1x6-lx4+2x(-1)=0,所以Q_L〃，即〃/a或/ua,故B错误;

对于C,两个不同的平面6夕的法向量分别是〃=(2,2,—l)j=(—3,4,2),

则=所以a，/?,故C正确；

对于D,直线/的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是〃=((),-5,0),

则〃=一京，所以〃//a,故D错误.

故选：C.

5.C

1UUU

【分析】先求平面ABE的法向量，根据线面平行可得小4尸=0,运算求解即可.

【详解】如图所示，以A为原点，AAADA4所在直线分别为X轴、)，轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设

正方体的棱长为1,

uumuur()

可得BA=(—l,0,l),8E=|一l』，e

n-BA{=-x+z=0

设〃=(x,y,z)是平面ABE的法向量，贝ij__£_,

n-BE=-x+y+-=0

令z=2,则x=2,y=l,即〃=(2,1,2),

UUUUl

由AG=(i,o,o),且可得尸(4i,D(ov4vi),

uuu

又因为瓦(1,0,1),则4F=(/LT1,O),

1uuu1

由Bp〃平面ABE,可得小4尸=2(/l-l)+lxl+0x2=0,解得/1=].

故选：C.

6.B

【分析】由面面垂直的判定定理判断B,建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面

的位置关系判断ACD.

【详解】因为AO1C.D,,AD、C、D、=D',A"，GRu平面ARM,所以平面ARM,

7

又A^u平面AB。，所以平面平面4AM,故B正确；

以点£>为原点，分别以D4,OC,。。所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设43=2,则8(2,2,0),

4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),27(1,2,0).

设M(0,y,2)(0<y<2),则。3=(2,2,0),D4,=(2，。,2).设平面的法向量为加=(4X，zJ,

则有可取占=1,得"7=(1,—1,—1).

m•DB=21[+2y=0,

又AM=(—2,y,2),

则OB-AM=(2,2,0)・(—2,y,2)=2y—4H0,故A不正确；

因为CM=(O,y-2,2),所以mCM=(l,-l,-l>(0,y-2,2)=-yR0,故D不正确；

因为MN=(1,2—%-2),所以m=1,—1)-(1,2-y,—2)=l+y*0,故C不正确.

【分析】建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCQ的边长为1,PA=a,

则8(1,0,0),E1,1,0),P(0,0,a),

uniuurii

因为BF’PE,则BFPE=(_l)x_+yxl+()x(_a)=0,解得y=^,

<1

即Fao,可知尸是的中点，故空

2-AO=1.

<FD

8

故选：B.

8.C

【分析】以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为冗、N、z轴建立空间直角坐标系，设点

P(x,2,z),其中x、ze[0,2],利用空间向量法可得出x+z-3=0,利用二次函数的基本性质结合空间向

量的模长公式可求得线段PA长度的最小值.

【详解】以点。为坐标原点，DA.DC、OR所在直线分别为x、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则4(2,0,0)、£(1,2,0),*0,2,1),A(2,0,2),设点尸(x,2,z),其中x、ze[0,2],

设平面AEF的法向量为"=(X]，x，zJ,£4=(1,-2,0),EF=(-1,0,1),

nEA=x,-2y.=0/.

则，取％=2,可得〃=(2,1,2,

/?-EF=-xI+z1=0'

AP=(x—2,2,z—2),因为」尸〃平面AE尸,则AP-〃=2(x—2)+2+2卜—2)=0,

所以，x+z-3=0,

所以，卜1「卜J(x-2y+4+(z-2)2=J(X_2)2+4+(17/=42以-6x+9

当且仅当X=|时，AP的长度取最小值孚.

故选：c.

9.AB

【分析】验证法判断选项A；求得直线的斜率判断选项B；求得直线的倾斜角判断选项C；求得直线在x

轴上的截距判断选项D.

【详解】对于A,当x=3时，3x3+百y-6=0,:.丫=-拒,

.•.直线过点(3,-6),故A正确；

对于B,由题意得，y=-6x+26,.•.该直线的斜率为-6，故B正确；

对于C,•.•直线的斜率为-石，.•.直线的倾斜角为120。，故C错误;

9

对于D,当y=0时，X=2,.•.该直线在X轴上的截距为2,故D错误.

故选：AB.

10.AB

【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.

【详解】4(1,2,-2),8(0,1,1),

.1-48=(-1,-1,3)加=>/1+1+9=而,

A正确,D错误.

若，”=(2,1,1),贝h“A3=2x(-l)+lx(-l)+lx3=0,则机_LAB,B正确，

点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,2),故C错误，

故选：AB.

11.ABD

【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.

【详解】对于A,若BA,不能构成空间的一个基底，则共面，可得A,B,M,N共面,

A正确；

对于B,ab=2-\-\=0,故■人可得/与机垂直，B正确；

对于C,〃.〃=0-1+1=0，故a_L”，可得/在a内或"/a,C错误；

对于D,AB=(-1,1,1),易知AB_L〃，故一l+〃+f=0,故”+f=l,D正确.

故选：ABD.

12.BD

【分析】以。为原点，DA.DC、。4所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，设钻=2,利

用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】以。为原点，DA.DC、。“所在直线分别为x、>、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设

AB=2,

则A(2,0,0)、E(0,0,l)、4(222)、A(2,0,2)、G(0,2,l)、F(0,l,0),

所以，A£=(—2,0,1),AF=(—2,1,0),4E=(—2,—2,—1),AG=(—2,2,-l),

设平面AEF的法向量为w=(x,y,z),则，，

m-AF=-2x+y=0

10

令x=l,得=(1,2,2).

对于A选项，因为旦E与团不平行，所以AE与平面AE尸不垂直，A错；

对于B选项，因为AG•%=0,所以AG，〃7,且AG<Z平面Am，所以AG〃平面AE尸，B对;

对于CD选项，85缶瓦4°)=曲瑞=白=]

所以，异面直线与E与直线AG所成角的余弦值为C错D对.

故选：BD.

13.-3.

【分析】由已知结合直线平行的条件即可直接求解.

【详解】解：：直线依+y+l=0与直线3x—y+5=0平行，

故—a—3=0,

所以a=—3.

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了直线平行的条件的应用，属于基础题.

14.25/13

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答.

7T711

【详解】由空间向量a,b的夹角为|a|=2,|，|=3,得”力=|a||61cos§=2x3x^=3,

所以|a+2"=JJ+4/+4”.〃=>/22+4X32+4X3=2713■

故答案为：2回

【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线。/E和A/F所

成角的余弦值为逑，即可列式计算.

11

以。为原点，以D4,DC,DD/分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

正方体的棱长为2,则4(2,0,2),0/(0,0,2),£(0,2,1),A(2,0,0).

所以AE=(0,2,-1),A尸=AA+AF=AA+/L4Z)=(0,0,-2)+2(-2,0,0)=(-22,0,-2),

所以卜osA尸,£>]@=|=—..2..~—

川内।河|。目2折而⑹

所以「2=婆，解得或4=Y(舍去).

2石“2+11033

故答案为：—.

16.1

【分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解

即可.

【详解】由图像可知，AP,=AB+BP.,

则A8-A£=g(43+地)=府+48".

因为棱长为1，AB'BP,,所以48.84=0,

所以A8-A£=AB°+AB-Bt=l+0=l，

故集合｛y|y=ABS£,i=l,2,3,,8｝中的元素个数为1.

故答案为：1

17.⑴x+2y=0；⑵x+3y-l=0

【分析】(1)求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；

(2)求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过4(-2,1),求得高的方程

【详解】(1)BC的中点坐标为(—3+1,—2-4)=(2,—1),

22

故中线的斜率七D=-,，

-2-22

则边8c上的中线所在直线的方程为y+l=-；(x-2)即x+2y=0；

(2)边BC的斜率为是干=3,则其上的高的斜率为且过A(-2,l),

则边BC上的高所在直线的方程为y-l=-g(x+2)即x+3y-1=0

18.(1)3(2)710

【分析】根据空间向量基本定理将所求问题转化为基向量进行计算即可.

12

【详解】（1）设AB=a,AD=b,=C,

由题意得：Id1=1,\b\=\,|c|=2,a-b=0'a,C=l,b-c=1，

AD,-AC=（b+c）-（Jb+a）=b'+Z?-c+Z?-a+a-c=l+l+0+l=3；

⑵“小|4+6+0|=y/a2+b2+c2+2a-c+2b-c+2a-b=Jl+1+4+2+2+0=回

19.（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）由题意，求得直线EF的方向向量，以及平面AA。。的法向量，由空间向量数量积，可得答

案；

（2）由题意，求得平面AQC的法向量，由（1）的直线EF的方向向量，根据空间向量的共线定理，可得

答案.

【详解】（1）由题意，可知A（2,0,0）,8（2,2,0）,A（2,0,2）,C（0,2,0）,

AB的中点E（2,l,0）,AC的中点厂（LU），则M=

易知平面4A。。的一个法向量”=（（），LO），

n-EF=Q,.-.n±EF,即（Z平面明，；.EF//平面例。。.

（2）由题意，可知A（2,0,2）,C（0,2,0）,0（0,0,0）,

在平面AC。内，取图=（2,0,2）,DC=（0,2,0）,设其法向量加=（x,y,z）,

m-DA.=0[2x+2z=0

则《，即L八，令x=l，贝！ly=o，z=-i,

m-DC=0[2），=0

故平面AC。的一个法向量加=0,0,—I）,

"七-6/乙二环,平面4。。，即EF_L平面AC。，

20.（1）证明见解析；（2）立；（3）走.

42

【分析】（1）证明SP_L平面ABC。，原题即得证：

（2）以尸为坐标原点，建立空间直角坐标系P-Ayz,利用向量法求直线8S与平面SC。所成角的正弦值;

（3）证明AP工平面SBP,再利用向量法求二面角S-P8-M的余弦值.

【详解】（1）证明：在_S4Z）中，：SA=S。，尸为AD的中点，,SP_LAD,

•.•平面弘。，平面A8C3,且平面5ADC平面43co=AD,SPu平面MD,

SP_L平面ABC。，又Mu平面ABC。，：.SP1AB.

（2）解：在直角梯形A3CD中，BC=^AD,P为AO中点，

ABC//PD,且BC=PD,则四边形BCDP为平行四边形，

VADVDC,.'.AD±PB,

13

由(1)可知，SP，平面ABC。，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P-DZ,

则尸(0,0,0),41,0,0),B(O,AO),S(O,O,B),C(-l,若,0),。(-1,0,0),

•••启=(0,-6,百)，cb=(o,-6,o)，sb后)，

设平面SCO的一个法向量！;=(x,y,z)，

n-CD=~y/3y=0

山JAn，取z=L得〃=(一6,0,1)；

n-SD=-x->J3z=0

设直线与平面SCO所成角为a,

m――/"%\I立,法।63

则sina=|cos(/BS)|=------=------产=—.

\/\n\-\BS\2x娓4

，直线BS与平面SCD所成角的正弦值为也；

4

(3)解：VAPYSP,AP±BP,SPBP=P,SP,BPu平面SBP,

AP/平面SBP,即以=(i,o,o)为平面SPB的一个法向量，

为SC的中点，

二点M的坐标为而向=(0,6,0),前=冬

设平面MP3的一个法向量为£=(%,%,z0)，

m-PB=百％=0

由，.1&至＞C，取Zo=l，机=(亚0,1)・

“PM=--xo+—yo+—zo=O

ffr~i—

.「豆\\mPA\V3V3

21

\/IMIRIX2

二面角S-PB-M的余弦值为B.

2

21.(1)立(2)证明见解析，叵

45

14

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

(2)根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.

【详解】(1)由题意，PO,OC,O8两两互相垂直，以0为坐标原点，射线08、0C、0P分别为x轴、y

轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形ABC。中，Z/MB=60°,所以%>=203=2,

在RtAAOB中04=yjA^-OB2=G，

因为P。工底面ABC。，所以P8与底面ABC。所成的角为NP8O=60。，所以尸0=OB-tan60。=G,

则点A、B、D、P的坐标分别是40,-6,0),8(1,0,0),。(-1,0,0)$(0,0,石)，

I庆uunQ/imi_广

E是P3的中点，则%,o,羊，于是。七=(多0,21_),"=(0,G,g).

3

lilUUL1UU八7v2、/y

设DE,AP的夹角为仇则有cos0=-----=—异面直线QE与孙所成角的余弦值为上；

J-+-V3+34

V44

(2)连接0E,.旦。分别是的中点，.•.E0//PD,EO<z平面必。，叨u平面以,EO//平

面PAD.

因为罚=(0,6,扬，AD=(-1,0),设平面以。的法向量屋(x,y,z)，

则「〃3+小=。’令贝…=-1,所以