132黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校初中部2023-2024学年九年级下学期开学考试数学(五四制)试题

德强学校2023-2024（下）九年级假期学情检测数学学科试卷（总分：120分总时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共计30分）1.的相反数是（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相反数的含义，熟记相反数的定义是解本题的关键．仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义可得答案．．【详解】−2的相反数是2故选：C．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类型法则、完全平方公式逐项判断，即可作答．【详解】解：A、，故该选项是正确，符合题意；B、，故该选项是不正确，不符合题意；C、不是同类项，不能合并，故该选项是不正确，不符合题意；D、，故该选项是不正确，不符合题意；故选：A．3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称与中心对称的定义分别判断即可，轴对称图形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是：图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的知识点主要是区分轴对称图形与中心对称图形，熟记轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．4.反比例函数的图象位于（）A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第二、三象限【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．【详解】解：∵反比例函数解析式为，k＝−2＜0，∴函数图象过二、四象限．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键．5.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，

故选:D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6.抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线解析式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律，根据“左加右减、上加下减”的原则求解即可．【详解】解：抛物线向右平移个单位，得到，再向下平移个单位，得到，故选：B．7.如图，是的直径，点A、D在上，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题．连接，由圆周角定理得出，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：连接，如图所示：∵是的直径，∴，∵，∴；故选：B．8.如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，，则拉线AC的长为（）A.米 B.6sin52°米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】根据余弦定义：即可解答．【详解】解：，，米，米；故选D．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．9.已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；【详解】A、∵，∴；选项正确，不符合题意；B、∵，∴；选项正确，不符合题意；C、∵，∴；选项错误，符合题意；D、∵，∴；∵，∴；∴；选项正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．10.周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是()A.小涛家离报亭的距离是900mB.小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD.小涛在报亭看报用了15min【答案】D【解析】【详解】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查函数的图象．二、填空题（每小题3分，共计30分）11.数字2508000用科学记数法表示为_________________．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：数字2508000用科学记数法表示为．故答案为：．12.在函数中，自变量x的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分母部位零列式计算即可．【详解】根据题意，得，解得，故答案为：．13.把多项式分解因式的结果是__________.【答案】【解析】【分析】用提公因式法和平方差公式分解因式即可.【详解】先提公因式，得xy（x2－1），再利用平方差公式得到xy（x＋1）（x－1）.故答案是xy（x＋1）（x－1）.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解答的关键.14.计算：______________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．故答案为：．15.不等式组的解集是______________．【答案】【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集．求出每一个不等式的解集，找到他们的公共部分，即为不等式组的解集．【详解】解：，由①，得：；由②，得：，∴不等式组的解集为：；故答案为：．16.一个扇形的面积为，半径长为，则这个扇形的圆心角为________．【答案】80°##80度【解析】【分析】根据扇形的圆心角度数与圆周角之比，等于扇形面积与扇形所在圆的面积相等，计算即可．【详解】解：扇形所在圆的面积为：，扇形的圆心角度数为：，故答案为：80°．【点睛】本题考查扇形面积与扇形圆心角之间的关键，熟练掌握扇形面积的计算方法是解决本题的关键．17.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的70元降到了56.7元，那么平均每次降价的百分率为______．【答案】【解析】【分析】商品连续两次降价且每次降价量相等，设平均每次降价的百分率为x，则有商品原价降价后价格，化解求解即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则有，解方程得，(舍去)．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题干列出方程式是解题的关键．18.在一个不透明的袋子里放有黑，白各两个小球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回，再随机摸一个，则摸出两个小球为同一颜色概率是________．【答案】【解析】【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到相同颜色的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次都摸到相同颜色的结果数为4，

所以两次都摸到相同颜色的概率为，

故答案为：．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后根据概率公式求出事件的概率．19.正方形中，点为直线上一点，若，则______________．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，求正切，掌握相关定理是解题的关键【详解】解：在正方形中，设正方形的边长为，即，在直角中，，当点在点左侧时，如图所示，，在直角中，；当点在点右侧时，如图所示，，在直角中，．故答案为：或．20.如图，矩形中，，，点、分别为、上一点，线段交对角线于点，若，则线段的长为______________．【答案】【解析】【分析】过点作交于，过作于点，可得，是等腰直角三角形，设，则，，证得，根据相似三角形的性质可得，进而可得线段的长．【详解】解：如图，过点作交于，过作于点，四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，，，，，是等腰直角三角形，矩形中，，，，设，则，，在和中，，，即，解得，，是等腰直角三角形，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线和利用相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）21.化简求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的化简求值．根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值求出代入原式即可求出答案．【详解】解：原式当时，原式．22.如图所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的各顶点坐标分别为，，．（1）将向右平移5个单位长度得到；（2）作出关于x轴对称的三角形；（3）连接，直接写出的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，两点间距离公式，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据轴对称的性质作图即可；（3）先确定点的坐标，再利用两点间距离公式求解即可．【小问1详解】如图，即为所求；小问2详解】如图，即为所求；【小问3详解】将向右平移5个单位，可得，关于x轴对称的点的坐标为，∴．23.我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校980名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．（1）本次活动共抽取了多少名同学？（2）补全条形统计图；（3）根据以上调查结果分析，估计该校980名学生中，对“安全防火”知识了解一般学生约有多少名．【答案】（1）本次活动共抽取了60名同学（2）图见解析（3）196名【解析】【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．（1）用很好的人数除以所占的百分比求出抽取总人数即可；（2）求出较好的人数，补全条形图即可；（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．【小问1详解】解：（人）；答：本次活动共抽取了60名同学；【小问2详解】较好的人数为：（人），补全条形图如图：【小问3详解】（名）．答：对“安全防火”知识了解一般的学生约有196名．24.如图1，内接于，D为上一点，连接、，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，延长交于点H，连接，若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）的半径为．【解析】【分析】本题考查了圆的综合，解题的关键是熟练掌握圆周的定理，弧、弦、圆周的关系，正确作出辅助线是解题的关键．（1）连接，则，进而得出，根据圆周角定理得出，得出，即可推出，即可求证；（2）连接并延长，交于点E，连接，得出，推出，则，进而得出，根据勾股定理可得求出，即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：连接并延长，交于点E，连接，∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，根据勾股定理可得：，∴，即的半径为．25.2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？（2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件．【答案】（1）A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；（2）A种纪念品最多购进370件．【解析】【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键．（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案；（2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元”列出不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有解得，经检验，是原分式方程解，∴，∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；【小问2详解】解：设A种纪念品购进a件，根据题意：，解得，∴A种纪念品最多购进370件．26.在菱形中，，垂足分别为点E、F．（1）如图1，求证：；（2）如图2，交于点M，交于点N，连接，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在线段上，点H在的延长线上，连接交于R，连接，若，，，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到，进而利用证明，即可证明；（2）如图所示，过点M作于H，由菱形的性质得到，，证明，进而证明，推出，再证明，推出，再由角平分线的性质得到，接着解得到，推出，则；（3）如图所示，连接，再上取一点Q，使得，连接，先求出，证明是等边三角形，得到，，，由全等三角形的性质得到，进而可证明是等边三角形，得到，则，；证明，接着证明，推出，设，同理可得，则，再由，得到，则，，由勾股定理得，解得或（舍去），则；证明，求出，再证明，得到，则．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：如图所示，过点M作于H，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴；【小问3详解】解；如图所示，连接，再上取一点Q，使得，连接，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，，同理可得，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，设，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，或（舍去），∴；∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，通过作