河南省南阳市卧龙区第二十一学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

南阳市第二十一学校2023年秋第二次月考九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分．）1.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；B、原计算错误，该选项不符合题意；C、正确，该选项符合题意；D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2.方程x（x﹣6）＝x的根是（）A.x＝6 B.x1＝0，x2＝﹣7 C.x1＝0，x2＝7 D.x1＝0，x2＝6【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∴．故选C．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．3.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（）A.10m B.5m C.m D.m【答案】A【解析】【分析】根据题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡度i=1：，∴，∵坝高BC为5m，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡比是解题的关键．4.如图是智慧小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（）A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上B.投掷一个质地均匀正六面体的骰子，出现2点朝上C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花D.从装有大小和质地都相同的1个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球【答案】D【解析】【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，然后对各选项逐一判断．【详解】解：A、抛一枚硬币，出现反面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，不符合题意；B、掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合这一结果，不符合题意；C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花的概率为，不符合这一结果，不符合题意；D、从一个装有1个红球2个黑球袋子中任取一球，取到的是红球的概率为，符合这一结果，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．6.如图，已知，，，那么的长等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果．【详解】，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．7.在函数的图象上有三点、、，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比较二次函数函数值的大小．根据二次函数的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴；故选D．8.比较抛物线y=x2、y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2的共同点，其中说法正确的是（）A.顶点都是原点 B.对称轴都是y轴C.开口方向都向上 D.开口大小相同【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征,分别求出三个函数的相关特征即可.【详解】①y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2顶点为（0，-1），（1,0），不是原点，A错误.②由①可得对称轴都是y轴错误.③三个函数的系数均为正，所以开口方向都向上正确.④由于a大小不同,所以其开口大小不同.【点睛】掌握二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征是解题关键.9.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致．【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；D．由直线可知，直线经过（0，1），错误．故选：C．【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键.10.二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（）A.①②③ B.①③④ C.①③④⑤ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即），对称轴在y轴的左边；当a与b异号时（即），对称轴在y轴的右边；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定，时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．详解】解：①由图象可得，∵∴，∴，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线∴即，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴，故③正确；④∵图象过点对称轴为直线，∴抛物线与x轴另一个交点为，由图可知：时，x的取值范围是，故④正确；⑤∵当时，，∴，即故⑤错误；∴正确的有①③④，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.若式子有意义，则x的取值范围是___．【答案】且【解析】【详解】∵式子在实数范围内有意义，∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0，故答案为x≥-1且x≠0．12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣7x+12＝0的根，则该三角形的周长为_____．【答案】11【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为4，然后计算三角形的周长．【详解】x2﹣7x+12＝0或解得或当时，不符合题意当时，周长为故答案为：11．【点睛】本题考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了三角形三边的关系．13.写出一个开口向下，且对称轴在轴右侧的抛物线的表达式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，掌握二次函数中，时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向下是解题的关键．由开口向下可知，由对称轴在y轴右侧可知a，b异号，据此写出抛物线的解析式即可．【详解】解：写出一个开口向下，并且对称轴在y轴右侧的抛物线的解析式，例如：，故答案为：（答案不唯一）．14.已知二次函数，若，则的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10．

∴当x=2时，y有最小值，最小值为-10．

∵，

∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．

∴y的取值范围为．

故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝________．【答案】或【解析】【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理可得，设PD'=PD=x，则AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分两种情况讨论，①当∠AD'P=90°时，②当∠APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，E是BC的中点，BE=CE=6，，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，PD'=PD，设PD'=PD=x，则AP=12-x，要使得△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P=90°时，∠AD'P=∠B=90°，AD//BC，∠PAD'=∠AEB，，，即解得，；②当∠APD'=90°时，∠APD'=∠B=90°，∠PAE=∠AEB，，，即，解得：，；综上所述，当△APD′是直角三角形时，或，故答案：或．【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．三、计算题（本大题共8小题，共75分）16.计算：（1）．（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查含特殊角三角函数值的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂以及二次根式的化简计算即可．根据特殊角的三角函数值分别代入计算即可；【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式．17.解方程：（1）2x2+6x＝3；（2）（x+3）2＝2x+6．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）把常数项移至等号左边，然后利用求根公式求解即可；（2）把右边的项移至左边，然后利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1），，，，，，，解得：，；（2），，，，解得：，．【点睛】题目主要考查一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法并灵活运用是解题关键．18.小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、-4、-3.现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正数的个数除以数字的总个数即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：第一次抽到写有正数的卡片的概率是，故答案为：；【小问2详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．19.为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，邓州市某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．若该校要求测温区域的宽度AB为2.60米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1米，参考数据：sin61.00.87，cos61.00.48，tan61.01.80，sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50）．【答案】该设备的安装高度为1.8米【解析】【分析】利用探测最大角，找出BC用OC表示的关系式，再利用探测最小角的正切值构造方程，求解即可．【详解】设OC=x米，在Rt△OAC中AC==2x，Rt△OBC中,BC==x，∵AB=AC-BC，∴2x-x=2.6，解得：x=1.8．答：该设备的安装高度为1.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握三角形中边角关系，锐角的正切与边的关系是解题关键．20.如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）△ABC的周长为19.2【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质、等边对等角和平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，从而得到△ABC的周长．【小问1详解】证明：∵ACDE，∴∠CDE＝∠ACD，∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝∠CDE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC；【小问2详解】解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，∴AB＝2CD＝8，∴CD=4，∵CD⊥CE，CE=3，∴DE＝＝5，∴△DCE的周长为3+4+5=12，∵△ABC∽△DEC，∴=，∴△ABC的周长＝×12＝=19.2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理和平行线的性质．21.某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：售价（元/件）5565销售量（件/天）9070（1）求出关于售价的函数关系式；（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？【答案】（1）（2），当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．（1）设，待定系数法求函数解析式即可；（2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．【小问1详解】解：设，由题意，得：，解得：，∴；【小问2详解】由题意，得：，∴当时，有最大值为，∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．22.如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为7米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点处安一个喷水头，测得喷水头A距地面的高度为，水柱在距喷水头A水平距离处达到最高．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式；（2）请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．【答案】（1）（2）喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面，详见解析【解析】【分析】（1）由顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，求出即可．（2）当时，求出的值，与半径米进行比较即可得到结果．【小问1详解】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则，，抛物线的表达式为，将代入上式得，，解得，