2024年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试北师大版

Page5直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B)A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4)D．2eq\r(2)2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为(C)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,3)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则∠A的锐角三角函数值(C)A．扩大2倍B．缩小eq\f(1,2)C．不变D．无法确定4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是(B)A．eq\x(7)eq\x(×)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)B．eq\x(7)eq\x(÷)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)C．eq\x(7)eq\x(×)eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)D．eq\x(7)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(8)eq\x(＝)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))5．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋(eq\f(\r(3),3)－tanB)2＝0，则∠C的度数为(A)A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(B)A．eq\f(x,sinα)米B．eq\f(x,cosα)米C．x·sinα米D．x·cosα米7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)8．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝eq\f(3,5)，则梯子顶端上升了(C)A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))9．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A)A．7eq\r(2)海里/时B．7eq\r(3)海里/时C．7eq\r(6)海里/时D．28eq\r(2)海里/时10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝eq\f(1,4)，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则eq\f(CE,AD)的值为(D)A．eq\f(3,2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(15),2)D．2二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是__eq\f(1,2)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝eq\r(3)AC，则tanA＝__eq\f(\r(3),3)__，∠B＝__60°__．13．如图，在△ABC中，cosB＝eq\f(\r(2),2)，sinC＝eq\f(3,5)，AC＝10，则△ABC的面积为__42__．14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(15eq\r(3)＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝eq\f(1,3)，则点C的坐标为__(eq\f(9,4)，0)__.三、解答题(共75分)16．(8分)计算：2cos230°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(eq\f(\r(3),2))2－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(6),2)＝eq\f(3－\r(6),2)17．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\f(3\r(3),2)，AB＝3，利用三角函数知识，求∠A，∠B的度数．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝eq\f(3\r(3),2)，AB＝3，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝60°.∴∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度数分别为30°，60°18．(9分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝eq\f(3,2)，求sinA＋cosB的值．解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3,2)，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝eq\r(82＋62)＝10.∴cosB＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(4,5).在Rt△ADC中，AC＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13).∴sinA＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(6,2\r(13))＝eq\f(3,13)eq\r(13).∴sinA＋cosB＝eq\f(3,13)eq\r(13)＋eq\f(4,5)19．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)解：由题意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝eq\f(PC,sin40°)≈eq\f(95,0.64)≈148(海里)，∴B处距离灯塔P约有148海里20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,4)，∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝eq\r(AF2＋BF2)＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝eq\f(31,15)，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝eq\f(5\r(3),14)，求景观桥CD的长度．解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(6,sin60°)＝eq\f(b,sin45°)，∴b＝2eq\r(6)(2)∵eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴eq\f(10,\f(5\r(3),14))＝eq\f(14,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠B＝60°，∴tanB＝eq\f(CD,BD)＝eq\r(3)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD，∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋(10－eq\f(\r(3),3)CD)2，∴CD＝8eq\r(3)或CD＝－3eq\r(3)(舍去)，∴CD的长度为8eq\r(3)米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24eq\r(3)米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4eq\r(3)米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，BM＝AC＝24eq\r(3)米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan∠DBM＝24eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝24(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB的高度为25.6米(2)连接EB并延长交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24eq\r(3)米，EM＝CM－CE＝24米，∴tan∠MBE＝eq\f(EM,BM)＝eq\f(24,24\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝48eq\r(3)(米)，∴48eq\r(3)÷4eq\r(3)＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.锐角A三角函数13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：e