2024年九年级数学下学期期末综合素质评价北师大版

Page1期末综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．[2022·玉林]如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是()A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC2．(母题：教材P120总复习T5(1))抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是()A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(－3，－4)3．[2023·厦门双十中学月考]把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式为()A．y＝2(x＋3)2＋4 B．y＝2(x＋3)2－4C．y＝2(x－3)2－4 D．y＝2(x－3)2＋44．[2023·自贡]如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是()A．41° B．45° C．49° D．59°5．(母题：教材P76习题T2)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为()A．4 B．6 C．8 D．96．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5) C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(2\r(5),5)7．(母题：教材P96习题T1)如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长等于()A．12B．6C．8D．108．[2023·厦门一中期中]已知点A(m，y1)，B(m＋2，y2)，C(x0，y0)在二次函数y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)的图象上，且点C为抛物线的顶点．若y0≥y2>y1，则m的取值范围是()A．m<－3 B．m>－3 C．m<－2 D．m>－29．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A．π B．3π C．2π D．2π－eq\r(3)10．[2023·乐山]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(m，0)，且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a＋b＞0；③0＜a＜－c；④若点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，y1))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，y2))在抛物线上，则y1＞y2.其中，正确的结论有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题(每题3分，共24分)11．[2022·武威]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝________．12．计算：eq\r(3,－\f(1,8))＋cos60°－(－2024)0＝________．13．(母题：教材P4习题T2)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq\f(15,8)，则AB＝________.14．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是______________．15．[2023·烟台]如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．16．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(eq\r(3)≈1.732，结果保留整数)．17．编程兴趣小组为半径为0.2m的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是________m2.18．如图，抛物线的顶点坐标为(－1，7)，与y轴交于点(0，6)，在y轴左侧的抛物线上有一动点P，若tanα＝3，则点P的坐标为______________________．三、解答题(19～22题每题10分，其余每题13分，共66分)19．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为(5，0)，点A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝eq\f(3,5).(1)求经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式；(2)若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过(1)中的抛物线的顶点，求k的值．20．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝eq\f(1,2)，求BC的长．21．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？22．[2022·本溪]如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF.(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP＝OP，cosA＝eq\f(4,5)，AP＝4，求BF的长．23．2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．(1)“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是多少元？(2)该商场把“如意兔”的销售价定为60元，每天可卖80件．调研发现，如果调整价格，每降价1元，每天可多卖10件．如何定价才能使“如意兔”的利润最大？最大利润是多少？24．[2023·北京四中期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

答案一、1．D2．A3．A4．C点拨：由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA＝41°，进而可计算出∠ABC的度数．5．B点拨：∵AB＝20，∴OD＝10.∵CD⊥AB，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×16＝8.在Rt△DOE中，OE＝eq\r(OD2－DE2)＝eq\r(102－82)＝6.6．D7．B8．A点拨：∵点C为抛物线的顶点，y0≥y2＞y1，∴抛物线开口向下，顶点为最高点．∵y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(4a,2a)＝－2.当点A，B关于抛物线对称轴对称时，eq\f(m＋m＋2,2)＝－2，解得m＝－3.∵y1<y2，∴m<－3.故选A.9．B点拨：由题易得eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，由弧长公式求出eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为π，即可求出“莱洛三角形”的周长．10．B点拨：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴－eq\f(b,2a)＞0，∴b＜0，故①正确；∵抛物线经过点A(－1，0)，∴a－b＋c＝0，∴c＝b－a，∵当x＝2时，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，∴4a＋2b＋b－a＞0，∴3a＋3b＞0，∴a＋b＞0，故②正确；∵a－b＋c＝0，∴a＋c＝b，∵b＜0，∴a＋c＜0，∴0＜a＜－c，故③正确；∵点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，y1))到对称轴的距离比点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，y2))到对称轴的距离近，∴y1＜y2，故④错误．故选B.二、11．70°12．－113．1714．－3<x<115．24点拨：如图，过点A作AE⊥y轴于点E.设⊙A的半径为r.则AC＝AB＝r，BC＝2r.设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)，∴k＝2ar.易知S△ACD＝eq\f(1,2)AC·AE，∴eq\f(1,2)·r·a＝6，即ar＝12.∴k＝2ar＝24.16．20点拨：过点A作AH⊥BC于点H，过点B作BD垂直于过点C的水平线，垂足为点D，如图所示．根据题意，得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，AB＝3×10＝30(m)．∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°.在Rt△ABH中，AH＝eq\f(1,2)AB＝15m，∵tan∠ABH＝eq\f(AH,BH)，∴BH＝eq\f(15,tan30°)＝eq\f(15,\f(\r(3),3))＝15eq\r(3)(m)．∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，∴CH＝AH＝15m.∴BC＝BH＋CH＝(15eq\r(3)＋15)m.在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(15\r(3)＋15,2)≈20(m)．17．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.04π＋1.8＋\f(21,25)\r(3)))点拨：如图所示，围成图形的每个外角都是60°，∴扫过的面积是6个长方形面积＋6个圆心角为60°的扇形面积＋6个底角为60°的等腰梯形面积．∴扫过的面积＝π×0.22＋0.2×(2＋1＋2＋1＋2＋1)＋3×eq\f(1,2)(1＋1－0.1×2)×0.1×eq\r(3)＋3×eq\f(1,2)(2＋2－0.1×2)×0.1×eq\r(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.04π＋1.8＋\f(21,25)\r(3)))(m2)．18．(－2，6)或(－6，－18)点拨：∵抛物线的顶点坐标为(－1，7)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋7.把(0，6)的坐标代入，得6＝a(0＋1)2＋7，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋7＝－x2－2x＋6.当tanα＝3时，易知|yP|＝－3xP.设P(m，－m2－2m＋6)(m<0)，则－m2－2m＋6＝－3m或－m2－2m＋6＝3m.当－m2－2m＋6＝－3m时，解得m＝3(舍去)或m＝－2；当－m2－2m＋6＝3m时，解得m＝1(舍去)或m＝－6.综上，m＝－2或m＝－6.∴点P的坐标为(－2，6)或(－6，－18)．三、19．解：(1)由题意得OA＝OB＝5.如图，过点A作AH⊥x轴于点H.∴AH＝OA·sin∠AOB＝3.∴OH＝4.∴A(4，3)．设经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x－5)．把点A(4，3)的坐标代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－eq\f(3,4).∴经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(3,4)x(x－5)，即y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x.(2)∵y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＝－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75,16)，∴抛物线的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(75,16))).∵反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过该抛物线的顶点，∴k＝eq\f(5,2)×eq\f(75,16)＝eq\f(375,32).20．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°.又∵AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2).∵tan∠ACB＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\r(2),EC)＝eq\f(1,2)，∴EC＝2eq\r(2)，∴BC＝BE＋EC＝eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3eq\r(2).21．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝eq\f(AF,cos45°)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的长度约为14千米；(2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米．在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)＝8eq\r(3)(千米)，∴EB＝2AE＝16eq\r(3)千米．按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；按线路②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8eq\r(3)＋16eq\r(3)≈24×1.73＝41.52(千米)．∵38千米<41.52千米，∴小明应该选择线路①.22．(1)证明：如图，连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°.∵点F为DE的中点，∴BF＝EF＝eq\f(1,2)DE.∴∠FEB＝∠FBE.∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP.∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°.∴∠A＋∠AEP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠OBA＋∠FBE＝90°.∴∠OBF＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴BF与⊙O相切．(2)解：在Rt△AEP中，cosA＝eq\f(4,5)，AP＝4，∴AE＝eq\f(AP,cosA)＝eq\f(4,\f(4,5))＝5.∴PE＝eq\r(AE2－AP2)＝eq\r(52－42)＝3.∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8.∴PC＝OP＋OC＝12.∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C.∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC.∴eq\f(AP,DP)＝eq\f(PE,PC).∴eq\f(4,DP)＝eq\f(3,12)，解得DP＝16.∴DE＝DP－PE＝16－3＝13.∴BF＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(13,2).23．解：(1)设“如意兔”每件的进价为x元，则“吉祥兔”每件的进价为(x＋4)元，由题意，得eq\f(8800,x＋4)＝2×eq\f(4000,x)，解得x＝40，经检验x＝40是原方程的解，∴x＋4＝44.答：“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是44元和40元．(2)设“如意兔”的销售价定为a元，总利润为w元，由题意，得w＝(a－4