2024年八年级数学下册中考素养提升专练(三)新人教版VIP

Page2中考素养提升专练(三)1．【新定义问题】(潍坊中考)记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(xn))，例如min{－1，1，2}＝－1，则函数y＝min{2x－1，x，4－x}的图象大致为Beq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2．【数学建模思想】缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究：【数据观察】记录的工作时间x(小时)和织品长度y(厘米)的数据变化如下表：工作时间x/小时02468织品长度y/厘米33.64.24.85.4【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x，纵轴表示织品长度y，描出以表格中的数据为坐标的各点；(2)观察图②中各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，请说明理由．【结论应用】(1)若记录的工作时间达到5小时，求织品的长度；(2)如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？解：【探索发现】(1)描出以表格中的数据为坐标的各点，如图②所示(2)上述各点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数解析式为y＝kx＋b，将(0，3)，(2，3.6)分别代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,2k＋b＝3.6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.3，,b＝3，))∴这条直线所对应的函数解析式为y＝0.3x＋3【结论应用】(1)当x＝5时，y＝0.3x＋3＝0.3×5＋3＝4.5，∴织品的长度是4.5厘米(2)当y＝0.3x＋3＝240时，解得x＝790，∴要完成长为240厘米的织品，需要790÷10＝79(天)3．【新函数性质探究】某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2（0≤x<2），,x－2（x≥2）))的图象和性质进行了探究，探究过程如下：(1)在自变量x的取值范围内，x与y1的几组对应值如下表，其中m＝__1__；x01234…y1210m2…(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象，并回答以下问题：当0≤x<2时，y1随x的增大而__减小__；当x__>2__时，y1随x的增大而增大．(3)已知函数y2的图象与函数y1的图象关于y轴对称，请在图中画出函数y2的图象；(4)若直线y3＝x＋a与函数y1，y2的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．解：(2)(3)如图所示(4)解析：y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2（0≤x＜2），,x－2（x≥2）))的图象关于y轴翻折后y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2（－2＜x≤0），,－x－2（x＜－2）))直线y3与直线y＝x＋2及直线y＝x－2平行，当直线y3经过(2，0)时，0＝2＋a，解得a＝－2，当直线y3经过(0，2)时，2＝a，∴－2＜a＜2时，符合题意．当直线y3经过(－2，0)时，0＝－2＋a，解得a＝2，∴a＞2时符合题意，故答案为：a＞－2且a≠24．【新定义阅读题】(兰州中考)在平面直角坐标系中，P(a，b)是第一象限内的一点，给出如下定义：k1＝eq\f(a,b)和k2＝eq\f(b,a)两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k.(1)求点P(6，2)的“倾斜系数”k的值；(2)①若点P(a，b)的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a，b)的“倾斜系数”k＝2，且a＋b＝3，求OP的长；(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P(a，b)是正方形ABCD上的任意一点，且点P的“倾斜系数”k<eq\r(3)，请直接写出a的取值范围．解：(1)由题意知k＝eq\f(6,2)＝3，即点P(6，2)的“倾斜系数”k的值为3(2)①∵点P(a，b)的“倾斜系数”k＝2，∴eq\f(a,b)＝2或eq\f(b,a)＝2，即a＝2b或b＝2a，∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a②由①知a＝2b或b＝2a，∵a＋b＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴OP＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)(3)由题意知满足条件的点P在直线y＝eq\r(3)x和直线y＝eq\f(\r(3),3)x之间，①当点P与点D重合，且k＝eq\r(3)时，点P在直线y＝eq\r(3)x上，a有最小临界值，连接OD，延长DA交x轴于点E，此时eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b＝a＋2，∴eq\f(a＋2,a)＝eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)＋1，∴此时点B的坐标为(eq\r(3)＋1＋2，eq\r(3)＋1)，即(eq\r(3)＋3，eq\r(3)＋1)，且k＝eq\f(\r(3)＋3,\r(3)＋1)＝eq\r(3)，∴若点P的“倾斜系数”k＜eq\r(3)，则a>eq\r(3)＋1；②当点P与点B重合，且k＝eq\r(3)时，点P在直线y＝eq\f(\r(3),3)x上，a有最小临界值，连接OB，延长CB交x轴于F，此时eq\f(a,b)＝eq\r(3)，a＝b＋2，∴eq\f(a,a－2)＝eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)＋3，∴此时点D的坐标为(eq\r(3)＋3－2，eq\r(3)＋3)，即(eq\r(3)