福建省2024年春九年级数学下学期期末学情评估

期末学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列函数是二次函数的是()A.y＝2x＋1 B.y＝2x C.y＝3x2＋1 D.y＝12.中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患.为了了解某中学2500位学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400位家长，结果有360位家长持反对态度，则下列说法正确的是()A.调查方式是普查 B.该校只有360位家长持反对态度C.样本是360位家长 D.该校约有90％的家长持反对态度3.如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为()(第3题)A.27° B.108° C.116° D.128°4.把二次函数y＝x2－2x＋3化为顶点式，结果正确的是()A.y＝(x－1)2＋4 B.y＝(x＋1)2－4C.y＝(x＋1)2＋2 D.y＝(x－1)2＋25.将抛物线y＝12(x－4)2＋5向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是(A.y＝12(x－4)2＋7 B.y＝12(x－2)C.y＝12(x－6)2＋5 D.y＝12(x－4)6.小新家4月份前6天的用米量如下表：用米量(kg)0.60.80.91.0天数1221估计小新家4月份的用米量为()A.24kg B.25kg C.26kg D.27kg7.如图是一个石拱门的截面示意图，已知它是一段优弧，小松测得AB为8m，石拱门的顶部C到地面AB的距离(即CD)也为8m，则这个石拱门所在圆的半径为()(第7题)A.4m B.5m C.6m D.8m8.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是()A.1003π B.2003π C.1005π D.2005π9.在同一平面直角坐标系中，函数y＝12x2＋kx与y＝kx＋k(k≠0)的图象可以是(10.函数y＝x2＋2bx＋c的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2－x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b，c的关系式是()A.m＝1＋2b＋c B.m＝4＋4b＋cC.m＝9＋6b＋c D.m＝－b2＋c二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.抛物线y＝x2＋3与y轴的交点坐标是.12.某校共有1000名学生，为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是.(第12题)13.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是.(第13题)14.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝(用含α的代数式表示).(第14题)15.如图，☉O的半径是2，直线l与☉O相交于A，B两点，M，N是☉O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB的面积的最大值是.(第15题)16.已知抛物线y＝－x2＋6x－5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点.M(m，n)在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C.当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是：.(“变化”是指增减情况及相应m的取值范围)三、解答题(本题共9小题，共86分)17.(8分)一个二次函数的图象经过(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)三点，求这个二次函数的表达式.18.(8分)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，AB⊥CD于点M，且M是半径OB的中点，CD＝6，求直径AB的长.(第18题)19.(8分)某中学九年级部分同学参加全国初中数学竞赛，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数，试题满分120分)，并且绘制了频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，如图所示，请根据直方图回答下列问题：(第19题)(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？(2)如果成绩在90分以上(含90分)的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？(3)图中还提供了其他信息，例如该中学没有获得满分的同学等，请再写出两条信息.20.(8分)如图，已知线段a及∠ACB.求作：☉O，使☉O在∠ACB的内部，CO＝a，且☉O与∠ACB的两边均相切.(第20题)21.(8分)某超市茶叶专柜经销一种安溪铁观音茶叶，每千克成本为100元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化，具体的变化(一次函数关系)如下表：销售单价x(元/kg)120140160180销售量y(kg)1201008060(1)求y与x的函数关系式；(2)设这种茶叶在这段时间内的销售利润为W元，那么当该茶叶的销售单价为多少元/kg时，可获得最大利润？最大利润为多少元？22.(10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连结BD，以点B为圆心，BA长为半径作☉B，交BD于点E.(第22题)(1)试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝23，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积.23.(10分)如图，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AF∥BC.(第23题)(1)求证：AO∥BE；(2)求证：AO平分∠BAC.24.(12分)阅读下面的材料：我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B均不为0).如图①，点P(m，n)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离(d)计算公式是d＝｜A例：求点P(1，2)到直线y＝512x－16的距离d'时，先将y＝512x－16化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d'＝解答下列问题：如图②，已知直线y＝－43x－4与x轴交于点E，与y轴交于点F，抛物线y＝x2－4x＋5上的一点M(3，2)(1)求点M到直线EF的距离；(2)点P是抛物线上一动点，求出使△PEF面积最小时点P的坐标及△PEF面积的最小值.(第24题)25.(14分)如图①，抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝－x与该抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的表达式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值；(3)如图②，以点C为圆心，1为半径作圆，☉C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(第25题)

参考答案一、1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.B8.C9.C10.C二、11.(0，3)12.27013.514.180°－α215.416.当1≤m≤3－2时，BC的长随m的增大而减小；当3－2＜m≤3时，BC的长随m的增大而增大三、17.解：设这个二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c，把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，得9a－所以这个二次函数的表达式是y＝－x2－4x－3.18.解：如图，连结OC.(第18题)∵AB⊥CD，∴CM＝DM＝12CD＝∵M是OB的中点，∴OM＝12OB＝12由勾股定理，得OC2＝OM2＋CM2，∴OC2＝12OC2＋∴OC＝23(负值舍去)，∴直径AB的长为43.19.解：(1)4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(名)，所以该中学参加本次数学竞赛的有32名同学.(2)由题图可知，该中学参赛同学的获奖率是7+5+232×100％＝43.75％(3)该中学参赛同学的成绩均不低于60分；成绩在80～90分的人数最多.(答案不唯一，合理即可)20.解：①作∠ACB的平分线CD，②在CD上截取CO＝a，③作OE⊥CA于点E，以O为圆心，OE的长为半径作圆.如图所示，☉O即为所求.(第20题)21.解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(120，120)，(140，100)代入，得120解得k所以y＝－x＋240.(2)由题意得W＝(x－100)(－x＋240)，整理，得W＝－x2＋340x－24000＝－(x－170)2＋4900.因为－1＜0，所以当x＝170时，W可取得最大值，W最大＝4900.即当该茶叶的销售单价为170元/kg时，可获得最大利润，最大利润为4900元.22.解：(1)CD与☉B相切.理由：如图，过点B作BF⊥CD于点F.(第22题)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB.∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD.又∵BF⊥CD，∴BF＝BA，∴点F在☉B上，∴CD与☉B相切.(2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°，∴∠ADB＝60°，∴∠ABD＝90°－∠ADB＝30°.∵AB＝23，∴AD＝AB·tan∠ABD＝23×tan30°＝2，∴阴影部分的面积为S△ABD－S扇形ABE＝12×23×2－30×π×(23)23.证明：(1)∵AF是☉O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.∵CE是☉O的直径，∴∠CBE＝90°.∴∠OAF＝∠CBE.∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE.(2)∵∠ABE与∠ACE都是AE所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE.∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC.由(1)知∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC.24.解：(1)将y＝－43x－4化为4x＋3y＋12＝0由题中距离公式可得点M到直线EF的距离为｜4×3+3×2+12｜(2)设P(t，t2－4t＋5)，则点P到直线EF的距离d″＝｜4t＝3t－432∴当t＝43时，d″最小，为13当t＝43时，t2－4t＋5＝432－4×43＋此时P43在y＝－43x－4中，令x＝0，则y＝－4∴F(0，－4).令y＝0，则x＝－3，∴E(－3，0)，∴EF＝32＋4∴△PEF面积的最小值为12×5×133＝25.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，∴9解得a∴抛物线的表达式为y＝23x2＋43x(2)将直线EF向左平移至直线l，使l与抛物线只有一个交点，记为P'，当点P在点P'处时，PH最大，过点O作