《勾股定理的应用》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】

第一章勾股定理1.3勾股定理的应用教学设计一、教学目标1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形的理解和辨析能力.3.培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识.二、教学重点及难点重点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．难点：立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．三、教学准备圆柱几何体、多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】复习回顾，引入新课1.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则有.2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则有.3.已知∣-12∣+(-13)2+2-10z+25=0，试判断以、、为三边的三角形的形状.设计意图：通过对三个题的练习回顾勾股定理及其简单应用，引出新课.勾股定理可以解决直角三角形中边之间的数量关系，在生活中也可以利用勾股定理解决和我们生活相关的问题，我们这节课就来探索勾股定理的应用.板书:3.勾股定理的应用【新知讲解】合作交流，探索新知利用勾股定理求几何体表面的最短距离如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？小组合作交流，探索解决方案：AA’A’A’’A’’（1）（2）（3）（4）汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．师生活动：学生容易想到情形（1）和情形（2）中的路线，并计算出结果.但对于情形（3）和（4）的探究比较会出现困难，教师要适当引导，题型学生沿母线剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A→B的路线长为：．（2）中A→B的路线长为：>AB．（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．（4）中A→B的路线长为：AB．得出结论：利用展开图中两点之间线段最短解决问题．沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，接下来后提问：怎样计算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则．设计意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．探究二：利用勾股定理解决实际问题活动1：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？解答：（2）∴AD和AB垂直．设计意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．活动2：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 析：这题学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺．由勾股定理得：BC2+AC2=AB2．即52+x2=（x+1）2．25+x2=x2+2x+1．2x=24．∴x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．设计意图：勾股定理与方程相结合解决实际问题.【典型例题】1．如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？BABBABABC解：如图，在Rt△ABC中：∵500＞202．∴不能在20s内从A爬到B．2.如图，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有绳子从点D出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？解：在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.设计意图：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．3.如图是一个长方形零件图，根据所给的尺寸(单位：mm)，求两孔中心A、B之间的距离．分析：解决问题的关键是构造出含所求线段的直角三角形，这样就可以用勾股定理求解．解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90－40=50(mm)，BC=160－40=120(mm)．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=502+1202=16900(mm2)．∵AB>0，∴AB=130(mm)．答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．4．如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长．解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为(x－1)m．在Rt△ABC中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5．故滑道AC的长度为5m．5.如图,长方形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于.【随堂练习】1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖的半径至少为米．2.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是米．183.如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求该图形的面积．解：连接AC．∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，∴AC＝eq\r(32＋42)＝5.∵在△ACD中，AC2＋AD2＝52＋122＝132＝DC2，∴△ADC为直角三角形．∴该图形的面积S＝S△ADC－S△ACB＝eq\f(1,2)×5×12－eq\f(1,2)×3×4＝24.4.某班学生想知道学校旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，请你求出旗杆的高度和绳子的长度．解：画出示意图如下所示：

设旗杆的高AB为m，则绳子AC的长为（+1）m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴2+52=（+1）2，解得：=12，

∴AB=12m，即旗杆的高是12m，绳子的长度为13米．5.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25.六、课堂小结