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文档简介
福建省建瓯市第二中学2024届中考冲刺卷数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,AB∥CD,∠1=45°,∠3=80°,则∠2的度数为()A.30° B.35° C.40° D.45°2.一个多边形内角和是外角和的2倍,它是()A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形3.一个数和它的倒数相等,则这个数是()A.1 B.0 C.±1 D.±1和04.⊙O是一个正n边形的外接圆,若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等,则n的值为()A.3 B.4 C.6 D.85.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为()A.5 B.6 C.7 D.86.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟,它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为()A.5.6×10﹣1 B.5.6×10﹣2 C.5.6×10﹣3 D.0.56×10﹣17.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>58.在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽取了10名选手,记录他们的成绩(所用的时间)如下:选手12345678910时间(min)129136140145146148154158165175由此所得的以下推断不正确的是()A.这组样本数据的平均数超过130B.这组样本数据的中位数是147C.在这次比赛中,估计成绩为130min的选手的成绩会比平均成绩差D.在这次比赛中,估计成绩为142min的选手,会比一半以上的选手成绩要好9.已知关于x的不等式组至少有两个整数解,且存在以3,a,7为边的三角形,则a的整数解有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个10.如图,已知△ABC,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为()A.90° B.95° C.105° D.110°二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.12.如图,AB∥CD,∠1=62°,FG平分∠EFD,则∠2=.13.若a:b=1:3,b:c=2:5,则a:c=_____.14.分解因式:x2y﹣y=_____.15.如图△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°,现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD,延长AD、BC交于点E,则DE的长是_____.16.如图,Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=90°,P为AB上一点,且AP=2BP,若点A绕点C顺时针旋转60°,则点P随之运动的路径长是_________三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E.(1)求证:△DCE≌△BFE;(2)若AB=4,tan∠ADB=,求折叠后重叠部分的面积.18.(8分)某公司对用户满意度进行问卷调查,将连续6天内每天收回的问卷数进行统计,绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1.第3天的频数是2.请你回答:(1)收回问卷最多的一天共收到问卷_________份;(2)本次活动共收回问卷共_________份;(3)市场部对收回的问卷统一进行了编号,通过电脑程序随机抽选一个编号,抽到问卷是第4天收回的概率是多少?(4)按照(3)中的模式随机抽选若干编号,确定幸运用户发放纪念奖,第4天和第6天分别有10份和2份获奖,那么你认为这两组中哪个组获奖率较高?为什么?19.(8分)如图,有四张背面相同的卡片A、B、C、D,卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形(这些卡片除图案不同外,其余均相同).把这四张卡片背面向上洗匀后,进行下列操作:若任意抽取其中一张卡片,抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;若任意抽出一张不放回,然后再从余下的抽出一张.请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果,求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率.20.(8分)为了加强学生的安全意识,某校组织了学生参加安全知识竞赛.从中抽取了部分学生成绩(得分数取正整数,满分为100分)进行统计,绘制统计频数分布直方图(未完成)和扇形图如下,请解答下列问题:(1)A组的频数a比B组的频数b小24,样本容量,a为:(2)n为°,E组所占比例为%:(3)补全频数分布直方图;(4)若成绩在80分以上优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀学生有名.21.(8分)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是边AD上一点,EM⊥EC交AB于点M,点N在射线MB上,且AE是AM和AN的比例中项.如图1,求证:∠ANE=∠DCE;如图2,当点N在线段MB之间,联结AC,且AC与NE互相垂直,求MN的长;连接AC,如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似,求DE的长.22.(10分)一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.先从中任意摸出1个球,再从余下的3个球中任意摸出1个球,请用列举法(画树状图或列表)求两次都摸到红球的概率.23.(12分)有两把不同的锁和四把不同的钥匙,其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁,其余的钥匙不能打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果;(2)求一次打开锁的概率.24.阅读下面材料:已知:如图,在正方形ABCD中,边AB=a1.按照以下操作步骤,可以从该正方形开始,构造一系列的正方形,它们之间的边满足一定的关系,并且一个比一个小.操作步骤作法由操作步骤推断(仅选取部分结论)第一步在第一个正方形ABCD的对角线AC上截取AE=a1,再作EF⊥AC于点E,EF与边BC交于点F,记CE=a2(i)△EAF≌△BAF(判定依据是①);(ii)△CEF是等腰直角三角形;(iii)用含a1的式子表示a2为②:第二步以CE为边构造第二个正方形CEFG;第三步在第二个正方形的对角线CF上截取FH=a2,再作IH⊥CF于点H,IH与边CE交于点I,记CH=a3:(iv)用只含a1的式子表示a3为③:第四步以CH为边构造第三个正方形CHIJ这个过程可以不断进行下去.若第n个正方形的边长为an,用只含a1的式子表示an为④请解决以下问题:(1)完成表格中的填空:①;②;③;④;(2)根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ(不要求尺规作图).
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】分析:根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.详解:如图,∵AB∥CD,∠1=45°,∴∠4=∠1=45°,∵∠3=80°,∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°,故选B.点睛:此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答.2、B【解析】
多边形的外角和是310°,则内角和是2×310=720°.设这个多边形是n边形,内角和是(n﹣2)•180°,这样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.【详解】设这个多边形是n边形,根据题意得:(n﹣2)×180°=2×310°解得:n=1.故选B.【点睛】本题考查了多边形的内角与外角,熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理,求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.3、C【解析】
根据倒数的定义即可求解.【详解】的倒数等于它本身,故符合题意.
故选:.【点睛】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.4、C【解析】
根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60°,即可求出边数.【详解】⊙O是一个正n边形的外接圆,若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等,则这个正n边形的中心角是60°,n的值为6,故选:C【点睛】考查正多边形和圆,求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.5、B【解析】试题分析:连接CD,∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,∴AB=2BC=1.∵作法可知BC=CD=4,CE是线段BD的垂直平分线,∴CD是斜边AB的中线,∴BD=AD=4,∴BF=DF=2,∴AF=AD+DF=4+2=2.故选B.考点:作图—基本作图;含30度角的直角三角形.6、B【解析】
0.056用科学记数法表示为:0.056=,故选B.7、B【解析】试题解析:∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根,∴,即,解得:k<5且k≠1.故选B.8、C【解析】分析:要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;对于中位数,因图中是按从小到大的顺序排列的,所以只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可求解.详解:平均数=(129+136+140+145+146+148+154+158+165+175)÷10=149.6(min),故这组样本数据的平均数超过130,A正确,C错误;因为表中是按从小到大的顺序排列的,一共10名选手,中位数为第五位和第六位的平均数,故中位数是(146+148)÷2=147(min),故B正确,D正确.故选C.点睛:本题考查的是平均数和中位数的定义.要注意,当所给数据有单位时,所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同,不要漏单位.9、A【解析】
依据不等式组至少有两个整数解,即可得到a>5,再根据存在以3,a,7为边的三角形,可得4<a<10,进而得出a的取值范围是5<a<10,即可得到a的整数解有4个.【详解】解:解不等式①,可得x<a,解不等式②,可得x≥4,∵不等式组至少有两个整数解,∴a>5,又∵存在以3,a,7为边的三角形,∴4<a<10,∴a的取值范围是5<a<10,∴a的整数解有4个,故选:A.【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用,求不等式组的解集应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.10、C【解析】
根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°,根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°,根据题目中作图步骤可知,MN垂直平分线段BC,根据线段垂直平分线定理可知BD=CD,根据等边对等角得到∠B=∠BCD,根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA,进而求得∠BCD=25°,根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD,即可解决问题.【详解】∵CD=AC,∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知,MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质,熟练掌握各个性质定理是解题关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、1:3:5【解析】∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC,∵AD=DF=FB,∴AD:AF:AB=1:2:3,∴=1:4:9,∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.故答案为1:3:5.点睛:本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质.相似三角形的面积比等于相似比的平方.12、31°.【解析】试题分析:由AB∥CD,根据平行线的性质得∠1=∠EFD=62°,然后根据角平分线的定义即可得到∠2的度数.∵AB∥CD,∴∠1=∠EFD=62°,∵FG平分∠EFD,∴∠2=12∠EFD=1故答案是31°.考点:平行线的性质.13、2∶1【解析】分析:已知a、b两数的比为1:3,根据比的基本性质,a、b两数的比1:3=(1×2):(3×2)=2:6;而b、c的比为:2:5=(2×3):(5×3)=6:1;,所以a、c两数的比为2:1.详解:a:b=1:3=(1×2):(3×2)=2:6;
b:c=2:5=(2×3):(5×3)=6:1;,
所以a:c=2:1;
故答案为2:1.点睛:本题主要考查比的基本性质的实际应用,如果已知甲乙、乙丙两数的比,那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比.14、y(x+1)(x﹣1)【解析】
观察原式x2y﹣y,找到公因式y后,提出公因式后发现x2-1符合平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.【详解】解:x2y﹣y=y(x2﹣1)=y(x+1)(x﹣1).故答案为:y(x+1)(x﹣1).【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.15、【解析】
过点作于,根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算再由旋转可得,,根据三角形外角和性质计算,根据含角的直角三角形的三边关系得和的长度,进而得到的长度,然后利用得到与的长度,于是可得.【详解】如图,过点作于,∵,∴.∵将绕点逆时针旋转,使点落在点处,此时点落在点处,∴∵∴在中,∵∴∴,在中,∵,∴,∴.故答案为.【点睛】本题考查三角形性质的综合应用,要熟练掌握等腰三角形的性质,含角的直角三角形的三边关系,旋转图形的性质.16、π【解析】
作PD⊥BC,则点P运动的路径长是以点D为圆心,以PD为半径,圆心角为60°的一段圆弧,根据相似三角形的判定与性质求出PD的长,然后根据弧长公式求解即可.【详解】作PD⊥BC,则PD∥AC,∴△PBD~△ABC,∴PDAC∵AC=3,BC=4,∴AB=32∵AP=2BP,∴BP=13∴PD=5∴点P运动的路径长=60π×1180故答案为:π3【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,弧长的计算,根据相似三角形的判定与性质求出PD的长是解答本题的关键.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)见解析;(2)1【解析】
(1)由矩形的性质可知∠A=∠C=90°,由翻折的性质可知∠A=∠F=90°,从而得到∠F=∠C,依据AAS证明△DCE≌△BFE即可;(2)由△DCE≌△BFE可知:EB=DE,依据AB=4,tan∠ADB=,即可得到DC,BC的长,然后再Rt△EDC中利用勾股定理列方程,可求得BE的长,从而可求得重叠部分的面积.【详解】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,由折叠可得,∠F=∠A,BF=AB,∴BF=DC,∠F=∠C=90°,又∵∠BEF=∠DEC,∴△DCE≌△BFE;(2)∵AB=4,tan∠ADB=,∴AD=8=BC,CD=4,∵△DCE≌△BFE,∴BE=DE,设BE=DE=x,则CE=8﹣x,在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2,∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,∴BE=5,∴S△BDE=BE×CD=×5×4=1.【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.18、1860分【解析】分析:(1)观察图形可知,第4天收到问卷最多,用矩形的高度比=频数之比即可得出结论;(2)由于组距相同,各矩形的高度比即为频数的比,可由数据总数=某组的频数÷频率计算;(3)根据概率公式计算即可;(4)分别计算第4天,第6天的获奖率后比较即可.详解:(1)由图可知:第4天收到问卷最多,设份数为x,则:4:6=2:x,解得:x=18;(2)2÷[4÷(2+3+4+6+4+1)]=60份;(3)抽到第4天回收问卷的概率是;(4)第4天收回问卷获奖率,第6天收回问卷获奖率.∵,∴第6天收回问卷获奖率高.点睛:本题考查了对频数分布直方图的掌握情况,根据图中信息,求出频率,用来估计概率.用到的知识点为:总体数目=部分数目÷相应频率.部分的具体数目=总体数目×相应频率.概率=所求情况数与总情况数之比.19、(1);(2).【解析】
(1)既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形,然后根据概率的意义解答即可;(2)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.【详解】(1)∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形,∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;(2)根据题意画出树状图如下:一共有12种情况,抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况,所以,P(抽出的两张卡片的图形是中心对称图形).【点睛】本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20、(1)200;16(2)126;12%(3)见解析(4)940【解析】分析:(1)由于A组的频数比B组小24,而A组的频率比B组小12%,则可计算出调查的总人数,然后计算a和b的值;(2)用360度乘以D组的频率可得到n的值,根据百分比之和为1可得E组百分比;(3)计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图;(4)利用样本估计总体,用2000乘以D组和E组的频率和即可.本题解析:()调查的总人数为,∴,,()部分所对的圆心角,即,组所占比例为:,()组的频数为,组的频数为,补全频数分布直方图为:(),∴估计成绩优秀的学生有人.点睛:本题考查了频数(率)分布直方图:提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,要认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,也考查了用样本估计总体.21、(1)见解析;(2);(1)DE的长分别为或1.【解析】
(1)由比例中项知,据此可证△AME∽△AEN得∠AEM=∠ANE,再证∠AEM=∠DCE可得答案;(2)先证∠ANE=∠EAC,结合∠ANE=∠DCE得∠DCE=∠EAC,从而知,据此求得AE=8﹣=,由(1)得∠AEM=∠DCE,据此知,求得AM=,由求得MN=;(1)分∠ENM=∠EAC和∠ENM=∠ECA两种情况分别求解可得.【详解】解:(1)∵AE是AM和AN的比例中项∴,∵∠A=∠A,∴△AME∽△AEN,∴∠AEM=∠ANE,∵∠D=90°,∴∠DCE+∠DEC=90°,∵EM⊥BC,∴∠AEM+∠DEC=90°,∴∠AEM=∠DCE,∴∠ANE=∠DCE;(2)∵AC与NE互相垂直,∴∠EAC+∠AEN=90°,∵∠BAC=90°,∴∠ANE+∠AEN=90°,∴∠ANE=∠EAC,由(1)得∠ANE=∠DCE,∴∠DCE=∠EAC,∴tan∠DCE=tan∠DAC,∴,∵DC=AB=6,AD=8,∴DE=,∴AE=8﹣=,由(1)得∠AEM=∠DCE,∴tan∠AEM=tan∠DCE,∴,∴AM=,∵,∴AN=,∴MN=;(1)∵∠NME=∠MAE+∠AEM,∠AEC=∠D+∠DCE,又∠MAE=∠D=90°,由(1)得∠AEM=∠DCE,∴∠AEC=∠NME,当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM=∠EAC,如图2,∴∠ANE=∠EAC,由(2)得:DE=;②∠ENM=∠ECA,如图1,过点E作EH⊥AC,垂足为点H,由(1)得∠ANE=∠DCE,∴∠ECA=∠DCE,∴HE=DE,又tan∠HAE=,设DE=1x,则HE=1x,AH=4x,AE=5x,又AE+DE=AD,∴5x+1x=8,解得x=1,∴DE=1x=1,综上所述,DE的长分别为或1.【点睛】本题是相似三角形的综合问题,解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点.22、【解析】分析:列表得出所有等可能的情况数,找出两次都摸到红球的情况数,即可求出所求的概率.详解:列表如下:红红白黑红﹣﹣﹣(红,红)(白,红)(黑,红)红(红,红)﹣﹣﹣(白,红)(黑,红)白(红,白)(红,白)﹣﹣﹣(黑,白)黑(红,黑)(红,黑)(白,黑)﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种,其中两次都摸到红球有2种可能,则P(两次摸到红球)==.点睛
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