湖南省益阳市八字哨镇中学高二数学文期末试卷含解析

湖南省益阳市八字哨镇中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A． B． C． D．参考答案：D考点：三角形中的几何计算．

专题：解三角形．分析：根据题中条件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可解答：解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得?sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故选：D．点评：本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题2.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率，再由对立事件概率计算公式求出“三人不在同一个社团”的概率．【解答】解：∵某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，∴a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，∴“三人在同一个社团”的概率为p1==，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，∴“三人不在同一个社团”的概率为p=1﹣=．故选C．3.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（

）A．7

B．9

C．18

D．36参考答案：C4.已知集合，则集合中的元素个数为

A．5

B．4

C．3

D．2参考答案：D5.“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6.已知f(x)=3x+1,a,b(0,+∞),若|x-1|<b,则|f(x)-4|<a，则a,b之间的关系为（）

A．3b≤aB.3a≤bC.3b>aD.3a≥b参考答案：解析：为便于表述，令A={x||x-1|<b}，B={x||f(x)-4|<a}

则A=（1-b，1+b）,由题设知AB，故有

由此得3b≤a，应选A7.已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）参考答案：A略8.在平行六面体,是上底面的中心，设,,,则=

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若函数满足,且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．(1)直线与平面的位置关系为

；（2）在线段上存在一点，使，此时，

，建系后点坐标为

．

参考答案：平行

12.在△ABC中，若D为BC的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体A-BCD中，若G为△BCD的重心，则可得一个类比结论：_________.参考答案：试题分析：三角形类比三棱锥，底边中点类比底面重心，中线性质类比重心性质：考点：类比13.双曲线的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为

___________

参考答案：略14.设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得...的值为：

.参考答案：11.略15.一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

参考答案：.解：设小正方形的边长为cm，则盒子底面长为（）cm，宽为（）cm,,

……………4分，在定义域内仅有一个极大值，

……………10分

即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为

…………12分

16.如图,某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为

米。参考答案：略17.已知数列令集合表示集合中元素个数.若满足:，则=_____

_.（举例说明:若1,2,3,4，则，=5.）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2014春?台江区校级期末）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（Ⅰ）求年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）当0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10，当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x，由此能求出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式．（Ⅱ）当0＜x≤10时，由W′=8.1﹣=0，得x=9，推导出当x=9时，W取最大值，且wmax=38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10，当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x，∴W=．…（6分）（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由W′=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，当x∈（9，10）时，w′＜0．∴当x=9时，W取最大值，且wmax=8.1×9﹣﹣10=38.6x＞10时，W=98﹣（）≤98﹣2=38，当且仅当=2.7x，即x=时W取得最大值38．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）综合①②知：当x=9时，W取得最大值38.6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．19.已知函数f（x）=asin（）﹣acos+b（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其对称轴；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣π，]上的最大值为2，最小值为﹣1，求a，b的值．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求得函数f（x）的最小正周期及其对称轴．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a，b的值．解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=asin（）﹣acos+b=asincos+acossin﹣acos+b=a（sin﹣cos）+b=asin（﹣）+b，故函数的最小正周期为=4π．令﹣=kπ+，k∈z，求得x=2kπ+，k∈z，可得函数的图象的对称轴为x=2kπ+，k∈z．（Ⅱ）∵x∈[﹣π，]上，∴﹣∈[﹣，]，∴﹣1≤sin（﹣）≤．再结合题意以及a＞0，可得，求得．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，三角函数的周期性和求法，属于中档题．20.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．21.（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程．【解答】解：（1）∵双曲线与双曲线﹣=1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（，2），∴+=1，∴λ=4或λ=﹣14．（舍）∴所求双曲线方程为．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，即一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0可转化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心C（3，0），半径r=2，∴c2=9，∴=2，解得a2=5，b2=4，∴双曲线方程为．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用．22.已知椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且.

（1）求的值与椭圆的方