浙江省宁波市山第三中学2022年高二数学文期末试卷含解析

浙江省宁波市山第三中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列求导运算正确的是（）A．（log2x）′= B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=参考答案：A【考点】63：导数的运算．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：=，=1﹣，（cosx）′=﹣sinx，=，可知：只有A正确．故选：A．2.

以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆面积的最大值为(

).

A、

B、

C、

D、参考答案：C3.在中，，是边的中点，，交的延长线于，则下面结论中正确的是（

）A．∽

B．∽C．∽

D．∽参考答案：C4.设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆 B．半圆 C．直线 D．射线参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．5.直线kx-y+1=0，当变动时，所有直线都通过定点（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.复数z满足?（1+2i）=4+3i，则z等于(

)A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵?（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题7.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C8.若关于x的不等式的解集为，则a=（

）A.－2 B.2 C.－3 D.3参考答案：C【分析】原不等式等价于，分，，三种情况讨论即可.【详解】不等式可化为，当时，恒成立，不等式的解集为，不合题意；当时，则不等式的解为，故，无解；当时，则不等式的解为，故，解得；综上，，故选C.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，注意合理去除绝对值的符号及对参数的合理分类讨论.9.若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A． B．（y≠0）C．（y≠0） D．（y≠0）参考答案：D【考点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】由△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10＞8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴顶点C的轨迹方程为．故选：D．10.函数f（x）=2sin（3x+φ）的图象向右平移动个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+φ），图象向右平移动个单位吗，可得2sin（3x++φ），得到的图象关于y轴对称，则+φ=，k∈Z．∴φ=，当k=0时，可得|φ|的最小值为．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．参考答案：a【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．12.在数列{an}中，已知其前n项和为，则an=

．参考答案：时，两式相减可得，时，，，故答案为.

13.在△ABC中，若c2＞a2+b2，则△ABC必是

（填锐角，钝角，直角）三角形．参考答案：钝角【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用余弦定理求得cosC＜0，可得△ABC必是钝角三角形．【解答】解：△ABC中，若c2＞a2+b2，则由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC必是钝角三角形，故答案为：钝角．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．14.根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i为________．参考答案：715.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入

参考答案：

或16.若a10=，am=，则m=

．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数与对数的互化，直接求解m的值即可．【解答】解：a10=，am==，可得=a2m．即2m=10，解得m=5．故答案为：5．17.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若，则|AF|—|BF|=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.参考答案：19.如图，平面α截三棱锥P﹣ABC得截面DEFG，设PA∥α，BC∥α．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）设PA=6，BC=4，PA与BC所成的角为600，求四边形DEFG面积的最大值．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出DG∥EF，GF∥DE，由此能证明四边形DEFG为平行四边形．（2）设DG=x（0＜x＜6），推导出DE=GF=，∠GDE=60°，四边形DEFG面积S=DG?DE?sin60°，由此能求出四边形DEFG面积取最大值．【解答】证明：（1）∵面α截三棱锥P﹣ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．平面PAB∩截面DEFG=DG，∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，同理，GF∥DE，∴四边形DEFG为平行四边形．解：（2）设DG=x（0＜x＜6），则，∴，∴DE=GF=，∵PA∥DG，BC∥DE，PA与BC所成的角为600，∴∠GDE=60°，∴四边形DEFG面积S=DG?DE?sin60°=x??sin60°=﹣（x﹣3）2+3．∴当x=3时，四边形DEFG面积取最大值3．20.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求在这60名学生中分数在[60，90）的人数．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】（1）根据频率和为1，求出分数在[70，80）内的频率以及，补全频率分布直方图；（2）求出分数在[60，90）的频率与频数即可．【解答】解：（1）根据频率和为1，得；分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，在频率分布直方图中，分数在[70，80）内的数据对应的矩形高为=0.030，补全这个频率分布直方图，如图所示；（2）这60名学生中分数在[60，90）的频率为（0.015+0.030+0.025）×10=0.7，所求的人数为60×0.7=42．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．21.已知是奇函数

（Ⅰ）求的值，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断在上的单调性，并给出证明.参考答案：解:（Ⅰ）是奇函数,

,即

则，即，--------------------3分当时，，所以---------------4分

定义域为：-------------------------6分（Ⅱ）在上任取，并且，则---------8分又，又，-----10分所以，所以在上是单调递减函数-----12分略22.如图，已知直线l1：kx+y=0和直线l2：kx+y+b=0（b＞0），射线OC的一个法向量为=（﹣k，1），点O为坐标原点，且k≥0，直线l1和l2之间的距离为2，点A、B分别是直线l1、l2上的动点，P（4，2），PM⊥l1于点M，PN⊥OC于点N；（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，求?的最大值；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【分析】（1）若k=1，则可得|OM|=．|ON|=3，进而得到|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，利用柯西不等式可得≤32；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，当且仅当B取点（0，﹣2）时，|BM|+|QB|取得最小值．【解答】解：（1）∵k=1．∴射线OC的一个法向量为=（﹣1，1），∴射线OC的斜率为1，射线OC的方程为：y=x（x≥0）．∴|PN|==，|OP|==2，∴|ON|==3．直线l1：x+y=0，|PM|==3，∴|OM|==．∴|OM|+|ON|=4．（2）k≥0，b＞0，直线l1和l2之间的距离为2，∴=2，化为：b2=4（k2+1）．设A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．∵P（4，2），|+|=8，∴=（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），则（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（k