中考综合模拟考试-数学试题-含答案解析

一、选择题1.如图,是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是()A. B. C. D.2.年”五一”假日期间全国国内旅游接待总人数亿人次,按可比口径增长；实现旅游收入亿元,按可比口径增长．用科学记数法表示亿为()A. B. C. D.3.下列图案：其中,中心对称图形是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④4.式子有意义,则实数a的取值范围是()A.a≥-1 B.a≠2 C.a≥-1且a≠2 D.a＞25.若用湘教版初中数学教材上使用的某种计算器进行计算,则按键的结果为()A.21 B.15 C.84 D.676.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是()A.或 B. C. D.或7.如图,在中,,以顶点为圆心,适当长为半径画弧,分别交边、于点、,再分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,作射线交边于点,若,,则的面积是()A B. C. D.8.若关于x,y的方程组满足1<x+y<2,则k的取值范围是()A.0<k<1 B.–1<k<0 C.1<k<2 D.0<k<9.如图,在矩形中,、相交于点,点是边上的一点,若,则的度数为()A. B. C. D.10.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα) B.(cosα,cosα) C.(cosα,sinα) D.(sinα,cosα)11.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.412.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x＝1,下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是()A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④二、填空题13.若函数y=与y＝x+2图象的一个交点坐标为(a,b),则的值是_____．14.因式分解：________．15.如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片,为求其外圆半径,小林在外圆上任取一点A,然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D,作CD⊥AB交外圆于点C,测得CD＝15cm,AB＝60cm,则这个摆件的外圆半径是_____cm．16.若5个正整数从小到大排序,其中中位数是4,如果这组数据的唯一众数是5,当这5个正整数的和为最大值时,这组数据的方差为______．17.如图,A点的坐标为(﹣1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,﹣1),小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是_____________．18.如图,在直角边分别为和的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为,,,,,则________．三、解答题19.网上购物已经成为人们常用的一种购物方式,售后评价特别引人关注,消费者在网店购买某种商品后,对其有”好评”、”中评”、”差评”三种评价,假设这三种评价是等可能的．(1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计,并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了多少个评价；②请将图1补充完整；③求出图2中”差评”所在扇形圆心角的度数．(2)若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品,请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给”好评”的概率．20.”节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求：(1)A型自行车去年每辆售价多少元；(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．21.如图1是一把折叠椅子,如图2是椅子完全打开支稳后侧面示意图,表示地面所在的直线,其中和表示两根较粗的钢管,表示座板平面,,交于点F,且,长,,长24cm,长24cm,(1)求座板的长；(2)求此时椅子的最大高度(即点D到直线的距离).(结果保留根号)22.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF．(1)求证：CB是⊙O切线；(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积．23.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数)．(1)直接写出每天游客居住房间数量y与x的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为W元,当每个房间定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少；(3)某日,宾馆了解当天的住宿情况,得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人．24.如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时,如图2,BD=CF成立吗？若成立,请证明,若不成立,请说明理由；(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2,AD=3时,求线段DH的长．25.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(1)求点A,B,C的坐标；(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析一、选择题1.如图,是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,故选B．考点：简单组合体三视图．2.年”五一”假日期间全国国内旅游接待总人数亿人次,按可比口径增长；实现旅游收入亿元,按可比口径增长．用科学记数法表示亿为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数．确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时,是正数；当原数的绝对值时,是负数．【详解】解：亿=117670000000=故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值．3.下列图案：其中,中心对称图形是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念：绕某点旋转180°,能够与原图形完全重合的图形．可知①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．故选D．考点：中心对称图形4.式子有意义,则实数a的取值范围是()A.a≥-1 B.a≠2 C.a≥-1且a≠2 D.a＞2【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.【详解】解：由题意得,解得,a≥-1且a≠2,故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围,属于基础题目,比较容易掌握.5.若用湘教版初中数学教材上使用的某种计算器进行计算,则按键的结果为()A.21 B.15 C.84 D.67【答案】D【解析】试题解析：由题意得,算式为：+43=3+64=67．故选D．考点：实数的运算.6.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是()A.或 B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到△,解得；再根据根与系数的关系得,则,解方程得,,然后根据的取值范围确定满足条件的的值．【详解】解：根据题意得△,解得；根据根与系数的关系得,则,整理得,即,解得,,则．故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为,,则,．要注意根据一元二次方程根的判别式对m的值进行取舍．7.如图,在中,,以顶点为圆心,适当长为半径画弧,分别交边、于点、,再分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,作射线交边于点,若,,则的面积是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作于,根据角平分线的性质得到,根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图,作于,由基本尺规作图可知,是的角平分线,,,,的面积,故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8.若关于x,y的方程组满足1<x+y<2,则k的取值范围是()A.0<k<1 B.–1<k<0 C.1<k<2 D.0<k<【答案】A【解析】【分析】将两不等式相加,变形得到,根据列出关于k的不等式组,解之可得．【详解】解：将两个不等式相加可得,则,,,解得,故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组以及一元一次方程组的解法,正确利用含k的式子表示出的值是关键．9.如图,在矩形中,、相交于点,点是边上的一点,若,则的度数为()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件,判断三角形ABO为等边三角形,△ABE为等腰直角三角形,进而证明△AOE为等腰三角形,进而求出即可.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD=∠ABC=90°AO=CO,∵,∴,∵∴∴∴∴△ABO为等边三角形∴∴又∵∴△ABE为等腰直角三角形∴AB=AE∴AE=AO∴故选：C【点睛】根据角的比例关系可以求出各角的度数,结合矩形的对角线相等且互相平分,60°、45°角可以得到等边三角形,等腰三角形,这是解决问题的关键.10.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα) B.(cosα,cosα) C.(cosα,sinα) D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在直角三角形OPQ中,利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ,即可确定出P的坐标．解：过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=,cosα=,即PQ=sinα,OQ=cosα,则P的坐标为(cosα,sinα),故选C．11.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形,周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD,∵AF=2,AE=1,∴DF=AE=1,∴四边形AEF′D是平行四边形,∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题12.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x＝1,下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是()A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x轴的交点即可解题.【详解】∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ab<0,所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点,∴△=b2-4ac>0,所以②正确；∵x=1时,y<0,∴a+b+c<0,而c<0,∴a+b+2c<0,所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a,而x=-1时,y>0,即a-b+c>0,∴a+2a+c>0,所以④错误．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键.二、填空题13.若函数y=与y＝x+2图象的一个交点坐标为(a,b),则的值是_____．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式,可得b=,b=a+2,进而得出ab=3,b-a=2,即可求解．【详解】∵函数y＝与y＝x+2图象的一个交点坐标为(a,b),∴b＝,b＝a+2,∴ab＝3,b﹣a＝2,∴＝=．故答案为．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题,根据函数解析式得到ab=3,b-a=2是解决本题的关键．14.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】根据多项式特点,进行分组,两次运用公式法分解因式即可.【详解】解：故答案：【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式,结合式子特点,对多项式分组,两次运用公式法进行分解,要注意符号问题,正确分组是解题关键.15.如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片,为求其外圆半径,小林在外圆上任取一点A,然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D,作CD⊥AB交外圆于点C,测得CD＝15cm,AB＝60cm,则这个摆件的外圆半径是_____cm．【答案】37.5【解析】【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm,然后根据勾股定理得出方程,解方程即可求得半径．【详解】如图,设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,∵CD＝15cm,AB＝60cm,∵CD⊥AB,∴OC⊥AB,∴AD＝AB＝30cm,∴设半径为rcm,则OD＝(r﹣15)cm,根据题意得：r2＝(r﹣15)2+302,解得：r＝37.5,∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm,故答案为37.5．【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16.若5个正整数从小到大排序,其中中位数是4,如果这组数据的唯一众数是5,当这5个正整数的和为最大值时,这组数据的方差为______．【答案】1.36【解析】【分析】根据中位数和众数的意义先求出后三位数,由和为最大值求出前两个数,然后求方差即可.【详解】解:因为五个正整数从小到大排列后,其中中位数是4,这组数据的唯一众数是5.所以这5个数据分别是x,y,4,5,5,且,当这5个整数的和最大时,整数x,y取最大值,此时,所以这组数据的平均数,=1.36【点睛】此题考查了中位数、众数的概念,牢记方差公式是解题关键.17.如图,A点的坐标为(﹣1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,﹣1),小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是_____________．【答案】(1,1)或(4,4)【解析】【详解】解：①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,如图1所示,∵A点的坐标为(﹣1,5),B点的坐标为(3,3),∴E点的坐标为(1,1)；②当点A的对应点为点D时,连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,如图2所示,∵A点的坐标为(﹣1,5),B点的坐标为(3,3),∴M点的坐标为(4,4)．综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4)．故答案为(1,1)或(4,4)．【点睛】本题考查坐标与图形变化中的旋转．18.如图,在直角边分别为和直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为,,,,,则________．【答案】π【解析】【分析】图1,作辅助线构建正方形,设圆的半径为,根据切线长定理表示出和的长,利用列方程求出半径、是直角边,为斜边),运用圆面积公式求出面积；图2,先求斜边上的高的长,再由勾股定理求出和,利用半径、是直角边,为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和；图3,继续求高和、,利用半径、是直角边,为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和；据此规律进行求解即可.【详解】图1,过点做,,垂足为、,则四边形为矩形矩形为正方形设圆的半径为,则,,,图2,由由勾股定理得：,由(1)得：的半径,的半径图3,由由勾股定理得：,由(1)得：的半径,的半径,的半径图4中的则故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆,这是一个图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径、是直角边,为斜边)；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长．三、解答题19.网上购物已经成为人们常用的一种购物方式,售后评价特别引人关注,消费者在网店购买某种商品后,对其有”好评”、”中评”、”差评”三种评价,假设这三种评价是等可能的．(1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计,并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了多少个评价；②请将图1补充完整；③求出图2中”差评”所在扇形圆心角的度数．(2)若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品,请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给”好评”的概率．【答案】(1)①150人,②见解析,③48°；(2)列表见解析,【解析】【分析】(1)①用中评和差评的总数除以它们所占的百分比可得到评价的总数；②先计算出好评的数量,然后补全条形统计图；③先计算差评所占百分百,再用360°乘以百分比即可；(2)画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出两人中至少有一个给”好评”的结果数,然后利用概率公式求解．【详解】解：(1)①小明统计的评价一共有：(个)；②”好评”一共有(个),补全条形图如图：③”差评”所在扇形圆心角的度数：(2)列表如下：好中差好好,好好,中好,差中中,好中,中中,差差差,好差,中差,差由表可知,一共有种等可能结果,其中至少有一个给”好评”的有种,两人中至少有一个给”好评”的概率是．【点睛】本题为统计概率的综合题,题目中给出的两幅统计图均不完整,关键要找出两幅统计图提供的共同条件,之后根据题意解题是关键．在列表或画树状图求解时要注意说明9种结果为等可能结果．20.”节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求：(1)A型自行车去年每辆售价多少元；(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1)2000元；(2)A型车20辆,B型车40辆．【解析】【分析】(1)设去年A型车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x﹣200)元,由卖出的数量相同列出方程求解即可；(2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60﹣a)辆,获利y元,由条件表示出y与a之间的关系式,由a的取值范围就可以求出y的最大值．【详解】解：(1)设去年A型车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x﹣200)元,由题意,得,解得：x=2000．经检验,x=2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；(2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60﹣a)辆,获利y元,由题意,得y=a+(60﹣a),y=﹣300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,∴60﹣a≤2a,∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0,∴y随a的增大而减小．∴a=20时,y最大=30000元．∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．21.如图1是一把折叠椅子,如图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,表示地面所在的直线,其中和表示两根较粗的钢管,表示座板平面,,交于点F,且,长,,长24cm,长24cm,(1)求座板的长；(2)求此时椅子的最大高度(即点D到直线的距离).(结果保留根号)【答案】(1)的长为；(2)【解析】【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．(2)作BH⊥AC于H,DK⊥AB于K．想办法求出AH,CH,AD即可解决问题．【详解】解：(1)∵EF∥AB,∴==,∵AB=48cm,∴EF=16cm,∴GE=FG+EF=24+16=40cm．(2)作BH⊥AC于H,DK⊥AB于K．在Rt△ABH中,∵AB=48cm,∠A=60°,∠AHB=90°,∴∠ABH=30°,AH=AB=24cm,BH=24cm,∵∠ABC=75°,∴∠CBH=∠BCH=45°,∴BH=CH=24cm,∴AD=AH+CH+CD=(48+24)cm,在Rt△ADK中,DK=AD•sin60°=(48+24)•=(36+24)cm．【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．22.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF．(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题．(2)首先证明S阴=S扇形ODF,然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】(1)证明：连接OD,与AF相交于点G,∵CE与⊙O相切于点D,∴OD⊥CE,∴∠CDO=90°,∵AD∥OC,∴∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DOC=∠BOC,在△CDO和△CBO中,,∴△CDO≌△CBO,∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是⊙O的切线(2)证明：由(1)可知∠DOA=∠BCO,∠DOC=∠BOC,∵∠ECB=60°,∴∠DCO=∠BCO=∠ECB=30°,∴∠DOC=∠BOC=60°,∴∠DOA=60°,∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形,∴AD=OD=OF,∵∠GOF=∠ADO,在△ADG和△FOG中,,∴△ADG≌△FOG,∴S△ADG=S△FOG,∵AB=6,∴⊙O的半径r=3,∴S阴=S扇形ODF==π．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质与扇形面积的计算．熟练掌握基本公式是解题关键23.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；(2)设宾馆每天利润为W元,当每个房间定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少；(3)某日,宾馆了解当天的住宿情况,得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人．【答案】(1)y=50-x,(0≤x≤50,且x为整数)；(2)每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元；(3)20人．【解析】【分析】(1)根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题．(2)构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题．(3)根据条件列出不等式组即可解决问题．【详解】解：(1)根据题意,得：y=50﹣x,(0≤x≤50,且x为整数)；(2)W=(120+10x﹣20)(50﹣x)=∵a=﹣10＜0,∴当x=20时,W取得最大值,W最大值=9000元．答：当每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元；(3)由解得20≤x≤40．当x=40时,这天宾馆入住的游客人数最少,最少人数为2y=2(﹣x+50)=20(人)．【点睛】本题考查二次函数的应用；一元一次不等式组的应用；二次函数的最值；最值问题．24.如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时,如图2,BD=CF成立吗？若成立,请证明,若不成立,请说明理由；(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2,AD=3时,求线段DH的长．【答案】(1)BD=CF,理由见解析；(2)①证明见解析；②DH=．【解析】【分析】(1)、根据旋转图形的性质得出AC＝AB,∠CAF＝∠BAD＝θ,AF＝AD,从而得出三角形全等；(2)、①、根据全等得出∠HFN＝∠ADN,结合已知得出∠HFN+∠HNF＝90°,从而得出结论；②、连接DF,延长AB,与DF交于点M,根据正方形的性质得出AM=DM,然后根据Rt△MAD的勾股定理得出答案.【详解】解：(l)、BD＝CF成立．由旋转得:AC＝AB,∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,∴△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①、由(1)得,△ABD≌△ACF,∴∠HFN＝∠ADN,